История проблемы V постулата Евклида

Данное утверждение, известное под названием «пятый постулат», было сформулировано величайшим древнегреческим учёным Евклидом (ок. 365 — 300 до н. э. ) в его знаменитом труде «Начала». И более двух тысяч лет не смолкали научные споры: является ли это утверждение истинным или оно ошибочно, существует ли доказательство этого факта или его следует признать аксиомой? Мало найдется других объектов, вызвавших столько дискуссий на протяжении столь продолжительного времени и занимавших умы самых (и не только самых) выдающихся учёных всего мира.

А что мы, современники, не один год изучавшие евклидову геометрию в школе, знаем о пятом постулате?

Наверное, немного

А ведь это была полная драматизма великая эпопея жарких научных споров и гениальных открытий. Всепоглощающая идея, в костре которой сгорали жизни выдающихся людей. История триумфов и разочарований, доказательств и опровержений.

Чем же завершилась эта история длиною в 2000 лет?

И завершилась ли?

И что же всё-таки такое «пятый постулат Евклида» - аксиома или теорема?

Вступление

Работа состоит из пяти глав, подразделяющихся на 21 параграф, в которых раскрывается смысл проблемы, её историческое развитие, современный взгляд на роль V постулата Евклида в сегодняшней геометрии.

В работе рассматривается история появления V постулата, разбираются достоинства и недостатки возникшей в глубокой древности и систематизированной Евклидом геометрической науки. Дается подробное описание попыток доказательства V постулата как в глубокой древности, так и в наше время. Делается разбор самых важных и значимых результатов, полученных в процессе решения этой проблемы, выявляются и анализируются факты, долгое время служившие причиной ошибок при различных попытках доказательств V постулата Евклида.

Количество приведенных доказательств кому-то может показаться избыточным. Однако после долгих размышлений авторы решили сохранить их для читателя.

Уже само по себе чудо, что эти доказательства (а многим из них сотни лет!) «дожили» до нашего времени, и мы со всеми подробностями можем с ними ознакомиться. Считаем, что не имеем права лишать и нашего читателя этой возможности.

А что выберет пользователь продукта - историю развития рассматриваемой проблемы или её математическое наполнение – это зависит от его предпочтений.

В работе также дается краткое описание ряда эквивалентов V постулата Евклида и доказательства пяти из них.

Заключение работы посвящено вкладу ученых современности в рассматриваемый вопрос и, наконец, завершению тысячелетних споров о V постулате Евклида.

Исторические предпосылки появления «Начал» Евклида.

Первые геометрические представления возникли у людей в эпоху палеолита (древний каменный век). В эпоху неолита (новый каменный век), около 10 тыс. лет назад, стали возникать деревни и развиваться ремесла (гончарное, ткацкое, плотницкое и т. д. ) и торговля, что способствовало формированию числа. Появилась необходимость измерить длину, площадь и объем предметов.

В процессе практической деятельности людей постепенно вырабатывались представления о плоских и пространственных фигурах и подмечались их простейшие свойства.

Дошедшие до нас памятники древнейших культур Вавилона и Египта показывают, что в этих странах геометрия имела грубо эмпирический характер и представляла собой собрание частных решений отдельных задач.

Вавилонская геометрия, как и египетская, развивалась на основе практических задач измерения. В математике древнего Востока (Вавилон, Египет) нет никаких доказательств, а только правила: «делай так-то».

В VII веке до н. э. начинается развитие геометрии греческими учеными.

К началу III века до н. э. греки имели большой запас геометрических фактов и методы их доказательств. В это время возникла задача собрать этот геометрический материал и расположить его в логическом порядке. Такую задачу пытались решить многие греческие авторы (Гиппократ, Федий и др. ), но их сочинения не дошли до нашего времени и были забыты после появления «Начал» Евклида.

В «Началах» Евклида дано первое, дошедшее до нас логическое построение геометрии, выполненное с таким большим мастерством, что многие века преподавание геометрии велось по этому сочинению.

2. Немного о Евклиде.

Прежде чем изучать историю пятого постулата, неплохо было бы познакомиться с самим автором столь прославленного и нашумевшего в веках предложения, а также поинтересоваться его не менее, а возможно, и более известным произведением «Начала», с которого, собственно, всё и началось.

Евклид - знаменитейший ученый Древней Греции. Предположительно родился в Александрии, учился в Афинах. Вернувшись в родной город, основал в нем научную школу. Кроме математики, занимался оптикой и музыкой.

О жизни Евклида сохранилось очень мало сведений.

До нас дошли только отдельные легенды. Даже первый комментатор «Начал» Диадох Прокл (411 - 485) не мог указать, где и когда родился и умер Евклид. По Проклу, «этот ученый муж» жил в эпоху царствования Птолемея I. Некоторые биографические данные сохранились на страницах арабской рукописи XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира.

Одна из легенд рассказывает, что основатель династии египетских царей Птолемеев царь Птолемей I (правил в 306–283 гг. до н. э. ), чтобы возвеличить свое государство, привлекал в страну ученых и поэтов, создав для них храм муз — Мусейон. Здесь были залы для занятий, ботанический и зоологический сады, астрономический кабинет, астрономическая башня, комнаты для уединенной работы и главное — великолепная библиотека. В числе приглашенных ученых оказался и Евклид, который основал в Александрии — столице Египта — математическую школу и написал для ее учеников свой фундаментальный труд, объединенный под общим названием «Начала» — главный труд его жизни.

Царь Птолемей решил изучить геометрию. Но оказалось, что сделать это не так-то просто. Прокл упоминает о разговоре Евклида с Птолемеем I, будто бы он спросил Евклида, нет ли более короткого пути для изучения геометрии, чем изложенный в «Началах», на что Евклид ответил:

«В геометрии нет царской дороги»!

Поясним, что царские дороги (в прямом смысле – дороги!) в Египте, в отличие от прочих дорог, были ровными и широкими.

Так в виде легенды дошло до нас это ставшее крылатым выражение.

По сие время элементарная геометрия в большинстве учебников излагается почти «по Евклиду»! Предшественники Евклида — Фалес, Пифагор, Аристотель и другие — много сделали для развития геометрии. Но все это были отдельные фрагменты, а не единая логическая схема.

3. «Начала» Евклида. Достоинства и недостатки. Историческое значение.

Главный 13-томный трактат «Начала» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) Евклида (полагают, что он был написан около 325 года до нашей эры) сыграл огромную роль в аксиоматическом построении геометрии.

При раскопках античных городов было найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты Начал Евклида. Самый известный был найден в «городе папирусов» Оксиринхе в 1896—1897.

Греческий текст Начал Евклида известен по византийским манускриптам, из них самые известные: MS D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford, MS Vaticano, numerato 190, 4to, в 2 томах (Ватиканский манускрипт).

«Начала» пользовались исключительной популярностью и имели свою, весьма примечательную историю. С книги было снято множество копий трудолюбивыми писцами в разных городах и странах. Позднее «Начала» с папируса перешли на пергамент, а затем на бумагу. На протяжении четырех столетий «Начала» публиковались 2500 раз: в среднем выходило ежегодно 6—7 изданий.

«Начала» Евклида были основательно изучены арабами, а позднее европейскими учеными. Они были переведены на основные мировые языки. Первые подлинники были напечатаны в 1533 году в Базеле.

Любопытно, что первый перевод на английский язык, относящийся к 1570 году, был сделан Генри Биллингвеем, лондонским купцом.

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. В течение двух тысяч лет «Начала» являлись настольной книгой школьников, использовалась как начальный курс геометрии. До XX века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием евклидовой геометрии. Она описывает метрические свойства пространства, которое современная наука называет евклидовым пространством.

Евклидово пространство является ареной физических явлений классической физики, основы которой были заложены Галилеем и Ньютоном. Это пространство пустое, безграничное, изотропное, имеющее три измерения. Евклид придал математическую определенность атомистической идее пустого пространства, в котором движутся атомы.

Простейшим геометрическим объектом у Евклида является точка, бесконечность пространства характеризуется первыми тремя постулатами. Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат определяют свойства евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

Конечно, все особенности евклидова пространства были открыты не сразу, а в результате многовековой работы научной мысли, но отправным пунктом этой работы послужили «Начала» Евклида. Знание основ евклидовой геометрии является ныне необходимым элементом общего образования во всем мире.

«Начала» состояли из 13 книг (глав), из которых геометрии посвящены книги 1-4 и 6, где излагается планиметрия, а также 11-13, охватывающие стереометрию, остальные книги посвящены арифметике в геометрическом изложении.

Книги I—IV, охватывающие геометрию, содержанием восходили к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах Х—ХІІ содержались определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в Х книге); в XIII книге помещались исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

Евклид с величайшим искусством расположил материал по 13 книгам так, чтобы трудности не возникали преждевременно. Каждая книга «Начал» начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, в первой книге даны 23 определения, например, такие:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия есть длина без ширины.

3. Прямая есть линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем ее точкам.

4. Две прямые, принадлежащие одной плоскости, называются параллельными, если при продолжении не встречаются.

После определений Евклид указывает предложения, принимаемые без доказательства, которые он разделяет на постулаты и аксиомы, например:

Постулат 1. Требуется, чтобы от всякой точки до всякой другой точки можно было провести прямую линию.

Постулат 2. Требуется, чтобы каждую (ограниченную) прямую можно было неопределенно продолжить.

Постулат 3. Требуется, чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.

Постулат 4. Требуется, чтобы все прямые углы были равны.

Постулат 5. Требуется, чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекаются с той стороны, где эта сумма меньше двух прямых.

Аксиома 1. Равные порознь третьему равны между собой.

Аксиома 2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.

Аксиома 7. И совмещающиеся равны.

Затем Евклид излагает теоремы геометрии и задачи на построение под общим названием предложения, располагая их в строгой последовательности так, что доказательство (решение) каждого последующего предложения опирается только на предыдущие теоремы, постулаты и аксиомы. Вот некоторые из этих предложений:

. Параллельные прямые образуют с любой секущей равные соответственные углы и сумма внутренних односторонних углов равна двум прямым.

Если в двух треугольниках две стороны одного равны двум сторонам другого, то и углы, содержащиеся между равными сторонами, равны, то и основание одного треугольника равно основанию другого, и один треугольник равен другому, и остальные углы одного треугольника равны остальным углам другого, именно равны углы, противолежащие равным сторонам.

Внешний угол треугольника больше любого противоположного внутреннего. (Предложение 16)

Евклид первым поставил задачу обоснования геометрии, т. е. перечисления определений и аксиом, на основе которых можно развивать геометрию строго логическим путем. В этом его историческая заслуга перед наукой.

Логическое построение геометрии было проведено Евклидом для его времени чрезвычайно точно. Но, с точки зрения современной математики, изложение «Начал» надо признать неудовлетворительным. Данные в первой книге определения геометрических объектов являются скорее описанием их, причем далеко не совершенным. Так, например, определение 3 прямой линии содержит упоминание о длине и ширине, которые сами нуждаются в определении. Целый ряд определений, в том числе окружности, треугольника, прямого, острого и тупого угла, либо безупречны, либо содержат легко устранимые недостатки. Если при этом учесть, что свойства геометрических объектов, содержащиеся в дефектных определениях, нигде в доказательствах не используются, то эти определения могут быть опущены без ущерба для изложения.

Что касается постулатов и аксиом, то их формулировки безупречны, содержащиеся в них утверждения существенны и составляют основу следующих за ними доказательств.

Обратимся к доказательствам. По замыслу автора «Начал», доказательства всех предложений должны, в конечном счете, опираться на свойства геометрических объектов, определяемых постулатами и аксиомами. Но в этих доказательствах неоднократно используются такие свойства геометрических объектов и отношений между ними, которые не выясняются ни постулатами, ни аксиомами. Во времена Евклида некоторые понятия геометрии («лежать между», «движение», «непрерывность» и др. ) еще не были разработаны. Итак, было найдено, что список предложений, принятых без доказательства (постулатов и аксиом), является недостаточным, чтобы на его основе можно было построить геометрию строго логическим путем.

Таким образом, «Начала» Евклида не дают безупречного логического обоснования геометрии.

Но логическое построение «Начал», аксиоматика Евклида воспринималась математиками как безупречное вплоть до 19 века, когда начался период критического отношения к достигнутому. Изложение геометрии в «Началах» считалось образцом, которому стремились следовать ученые за пределами математики.

В течение двух тысяч лет геометрию узнавали либо из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных на основе этой книги, лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Апполония и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называть евклидовой в отличие от появившихся в 19 веке «неевклидовых геометрий».

«Начала» Евклида не дошли до нас в подлиннике. Двенадцать столетий отделяли от Евклида самые старые известные списки, семь столетий — сколько-нибудь подробные сведения о «Началах». В средневековую эпоху интерес к математике был утрачен, некоторые книги «Начал» пропали и потом с трудом восстанавливались по латинским и арабским переводам. А к тому времени тексты обросли «улучшениями» позднейших комментаторов. Едва ли можно указать в истории какую-либо другую книгу, которая могла бы сравниться с «Началами» Евклида по длительности своего влияния на культуру и науку цивилизованных народов, по той роли учебника в течение тысячелетий, как это имело место с «Началами» Евклида.

2. 4 V постулат Евклида.

Некоторые из указанных выше недостатков «Начал» Евклида были отмечены уже древними греками, в связи с чем, предпринимались попытки улучшить изложение «Начал». Так Архимед (287-212 г. г. до н. э. ) добавил следующую аксиому («аксиому Архимеда»):

Для любых данных отрезков АВ и СD существует натуральное число n: n[AB]>[CD].

Главная задача, которую ставили ученые древности, заключалась в том, чтобы свести систему постулатов и аксиом Евклида до минимума. Естественный путь для решения этой задачи состоит в том, чтобы некоторые из постулатов и аксиом вывести из остальных. Именно таким путем «Начала» были освобождены от четвертого постулата, в котором речь идет о равенстве всех прямых углов. Было замечено, что 4 постулат является лишним, так как это утверждение может быть доказано. Большинство последующих сочинений по основаниям геометрии ставило задачей доказать V постулат Евклида (IV постулат удалось доказать!). Однако, все попытки освободиться таким образом от пятого постулата были безрезультатными.

Пятый постулат органически связан с теорией параллельных прямых. Основываясь на теореме о том, что внешний угол треугольника больше каждого из внутренних углов, с ним смежных (предложение 16 из 1-ой книги), Евклид в предложениях 27 и 28 книги 1 доказывает известную теорему:

Если при пересечении двух прямых, лежащих в одной плоскости третьей прямой имеет место одно из соотношений: а) соответствующие углы равны между собой; б) внутренние накрест лежащие углы равны между собой; в) внешние накрест лежащие углы равны между собой; г) два внутренних односторонних угла в сумме составляют 2d; д) два внешних односторонних угла в сумме составляют 2d; то прямые параллельны.

Таким образом, каждое из указанных 5 соотношений является достаточным для параллельности данных двух прямых. Естественно, возникает вопрос: будет ли верна обратная теорема:

Если две данные прямые параллельны, то имеют место указанные 5 соотношений.

Иначе говоря, будет ли каждое из пяти соотношений не только достаточным, но и необходимым условием параллельности данных прямых?

Чертеж нам как будто показывает, что обратная теорема также будет справедлива.

Но оказывается, что доказательство этого обратного предложения наталкивается на непреодолимые трудности. Такое доказательство искали еще до Евклида, но усилия оставались безуспешными.

В связи с этим Евклид вынужден был принять обратное предложение в качестве постулата, фактически же он в качестве постулата принял равносильное предложение, а именно предложение, противоположное изложенной выше теореме прямой, а это и есть V постулат Евклида:

Если какая-нибудь прямая пересекает две другие прямые, образуя с последними по одну сторону такие внутренние углы, что сумма их меньше 2d, то обе прямые, при продолжении в ту же сторону, пересекутся.

Во-первых, утверждение о пересечении двух прямых, содержащееся в V постулате, не имеет столь очевидного и простого характера, какой имеют прочие постулаты. Действительно, если упомянутые две прямые расположены близко друг к другу и сумма внутренних односторонних углов значительно отличается от 2d, то наше пространственное воображение легко соглашается с утверждением V постулата. Но представим себе, что эти две прямые чрезвычайно удалены друг от друга, а сумма внутренних углов меньше 2d на такой маленький угол (например, на сотую долю секунды), что для нашего глаза он будет не ощутим. Тогда очевидность этого постулата делается сомнительной, ибо нашему пространственному представлению доступна весьма ограниченная часть пространства.

Во-вторых, формулировка V постулата, в отличие от прочих постулатов Евклида, носит довольно сложный и громоздкий характер.

В силу этих причин уже с давних времен стремились заменить V постулат каким-либо другим предложением, ему равносильным, но более очевидным и простым по формулировке.

В-третьих, Евклид использует V постулат не сначала, а пользуется им впервые лишь при доказательстве 29 предложения (обратного прямой теореме о параллельных). Большинство следующих предложений доказывается или при его помощи, или при помощи теорем, основанных на применении V постулата. Таким образом, применение V постулата в «Началах» Евклида резко разграничивает геометрические предложения на две категории.

В результате такого использования Евклидом V постулата создается впечатление, что он стремится сначала изложить по возможности все то, что допускает доказательство без применения V постулата, и отодвинуть это применение как можно дальше, и только тогда, когда уже без этого постулата нельзя обойтись, Евклид вводит его в действие.

Благодаря такому позднему применению V постулата, некоторые вопросы рассматриваются Евклидом дважды: без помощи V постулата, а затем с использованием его.

Например, в 16-ом предложении 1 книги доказывается, что внешний угол треугольника больше внутреннего, с ним не смежного, а в 17-ом, что сумма двух внутренних углов треугольника меньше двух прямых углов. Эти предложения не зависят от V постулата. Затем Евклид возвращается к этому вопросу и в 32-ом предложении уже на основе V постулата доказывает, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных, и что сумма всех трех внутренних углов треугольника равна 2d.

Изложенные особенности V постулата имели большое значение для последующего развития геометрии. Исследователи, жившие после Евклида, и комментаторы «Начал» стали рассматривать V постулат в силу его особенностей как предложение, которое не следует помещать среди постулатов, а необходимо доказать как теорему, они были убеждены в его доказуемости.

Преклоняясь перед строгостью «Начал» и авторитетом Евклида, стали видеть в V постулате чуть ли не единственное «темное пятно» евклидовой системы, не замечая ее действительных «пятен», то есть тех недостатков, о которых говорилось выше. Потому усилия многих поколений математиков были направлены главным образом на то, чтобы устранить это «пятно», доказав V постулат при помощи остальных постулатов и тем самым свести его в разряд теорем.

Глава III.

Попытки доказательства V постулата Евклида.

Изложенные выше особенности V постулата Евклида, как уже говорилось, постоянно обращали на себя внимание математиков последующих веков. Если при этом учесть, что вплоть до конца XIX века царила та точка зрения, что безусловным и неотъемлемым признаком аксиом и постулатов является их непосредственная очевидность, то станут понятными упорно стремление и не прекращавшиеся в течение двух тысячелетий попытки доказательств V постулата, то есть сведение его в разряд теорем.

Таким образом, наряду с тремя знаменитыми задачами древности (квадратуры круга, трисекции угла, удвоения куба) возникла не менее знаменитая проблема доказательства V постулата.

Попытки доказательств V постулата наталкивались на огромные трудности, причем эти трудности были специфическими, так как были связаны с нашими основными понятиями и пространственными представлениями, с основами самой геометрической науки, они требовали особой проницательности и силы отвлеченной логической мысли, особенно глубокого проникновения в структуру геометрии. За разрешение этой проблемы брались математики самых различных рангов, но все попытки оказались тщетными.

Типичной ошибкой большинства доказательств V постулата являлось сознательное или бессознательное использование какого-либо утверждения, не содержащегося явно в остальных постулатах и аксиомах и не вытекающего из них. Обычно автор доказательства незаметно для себя опирался на некоторое допущение, которое оказывалось еще одним эквивалентом V постулата.

Допуская, что V постулат не верен, геометры пытались прийти к логическому противоречию, которое и доказывало бы истинность V постулата.

Наиболее интересные попытки доказательства V постулата заслуживают хотя бы краткого знакомства с ними.

3. 1 Постулат о параллельных линиях у греков.

3. 1. 1 Прокл

Прежде всего, следует сказать об одном из древнегреческих геометров-комментаторов, «Начал» - Прокле (410 – 485 г. г. н. э. ). В своих комментариях на первую книгу «Начал» Евклида он не только сам пытается доказать V постулат, но и сообщает ценные сведения о таких попытках, сделанных до него.

Сам Прокл дает доказательство V постулата исходя из следующего, принимаемого им за очевидное.

Это предложение может быть доказано и без помощи V постулата и принадлежит абсолютной геометрии. На основании этого предложения Прокл доказывает теорему:

Доказательство:

Пусть a1, a2, b, c – прямые, причем a1 параллельна b,a2, b, c пересекаются в точке А.

Возьмем на a2 точку В и опустим перпендикуляр из нее на b.

Докажем, что a1 пересекается с a2 в точке С.

Так как при удалении точки B от точки A, ее расстояние от b неограниченно растет, а расстояние между параллельными прямыми a1 и b конечно, то на a2 найдется точка С – точка пересечения прямых a1 и a2 – искомая.

Здесь Прокл пользуется предпосылкой, что расстояние между параллельными конечно. Использованное в этом доказательстве свойство параллельных прямых не содержится явно в остальных постулатах и аксиомах. Более того, оно из них не может быть выведено, так как является новым постулатом, равносильным пятому. 1

3. 1. 2 Птолемей.

Доказательство:

Пусть AB, CD – параллельные прямые, а FG – секущая, тогда ( и (– внутренние левосторонние углы, (1 и (1 – внутренние правосторонний углы.

Докажем, что сумма (+ ( = 2d (или (1 + (1 = 2d).

Допустим, что сумма (+ ( будет либо > 2d, либо < 2d, либо = 2d. Допустим, что если для одной пары параллельных прямых имеет место первый случай ((+ ( > 2d), то он верен и для всякой другой пары.

Но, так как FB параллельна GD (в силу параллельности FA и GC), то из того, что ( + ( > 2d следует, что (1 + (1 >2d.

Отсюда: ( + ( + (1 + (1 > 4d, но это, очевидно, противоречит действительности.

Поэтому не может быть, чтобы ( + ( было бы > 2d.

Таким же образом доказывается невозможность того, что ( + ( < 2d.

Следовательно: (+ ( = 2d ((1 + (1 = 2d).

Из этого результата легко вывести V постулат Евклида.

Но Прокл опроверг доказательство Птолемея, доказав противоположную теорему.

Доказательство:

Пусть AB, CD – прямые, AC - секущая. Обозначим середину AC точкой E.

Докажем, что AB не пересекается с CD.

Отложим по ту сторону, где сумма внутренних односторонних углов < 2d, на AB и CD отрезки AF = AE, CG = AE.

Две прямые AB и CD не могут пересечься между точками A, F и C, G, потому что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Соединим точки F и G, обозначим середину отрезка FG точкой H.

Аналогично отложим на AB и CD отрезки FK = FH и GL = FH.

Две прямые AB и CD не могут пересечься между точками F, K и G, L.

Т. к. этот процесс может повторяться бесконечно, то можно заключить, что прямые AB и CD никогда не встретятся.

Основная ошибка этого доказательства состоит в использовании понятия бесконечности, т. к. отрезки AF, FK путем последовательного уменьшения могли стремиться к нулю, а сумма их в то же время оставаться конечной.

Изобретатель этого парадокса воспользовался тем же принципом, при помощи которого Зенон (495-435 гг. до н. э. ) пробовал доказать, что Ахилл не мог бы догнать черепахи, даже передвигаясь со скоростью в два раза большей, чем она.

Прокл сказал, что таким образом доказано только, что при помощи этого процесса нельзя достигнуть точки пересечения, но не то, что ее не существует вообще.

3. 1. 3 Аганис

Другое очень древнее доказательство V постулата принадлежит Аганису (IX век н. э. ). Это доказательство основывается на предположении, что существуют прямые, равноотстоящие друг от друга, то есть параллельные. Из этого предположения он выводит:

1) кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми есть отрезок, перпендикулярный обеим прямым;

2) две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей, друг другу параллельны;

3) две параллельные прямые, пересеченные третьей, образуют внутренние односторонние углы, взаимно дополняющие друг друга до двух прямых углов и наоборот.

Теперь рассмотрим, как Аганис строит точку пересечения двух прямых неравно отстоящих друг от друга. То есть с помощью построения он доказывает свое предложение.

Доказательство:

Пусть AB, CD - прямые; EZ- трасверсаль.

Раз прямые пересекаются, то сумма углов AEZ + EZD < 2d.

Пусть угол AEZ будет прямой.

Построим точку C – точку пересечения прямых AB и ZD.

Возьмем на ZD произвольную точку T и проведем перпендикуляр TL к ZE.

Точка P делит отрезок EZ пополам, а точка M делит отрезок PZ пополам.

То есть имеем: (EP( = (PZ( и (PM( = (MZ(.

То есть, продолжая процесс, нашли точку, которая попала на отрезок LZ.

Пусть это точка M.

Проведем перпендикуляр MN к EZ так, что MN пересечется с ZD в точке N.

Отложим на ZD отрезок ZC так, чтобы он относился к ZN так, как ZE относится к ZМ.

В нашем случае: ZC = 4ZN.

Полученная таким путем точка C будет точкой пересечения прямых AB и ZD.

Чтобы это показать, надо доказать, что проекции последовательно равных отрезков ZN, NS, прямой ZD на прямую ZE равны.

Построение Аганиса основывалось на аксиоме Архимеда (стр. 12), так как (MZ( = n(EZ( ((MZ( < (LZ().

3. 2 Постулат о параллельных линиях у арабов.

Нассир-Эддин

Арабский ученый Нассир-Эддин пользуется критерием Аганиса.

Отсюда следует теорема 1 Нассир - Эддина.

Доказательство:

Пусть дан отрезок BB1 и ему перпендикулярные равные между собой отрезки AB и A1B1.

Докажем, что отрезок AA1 перпендикулярен AB и A1B1 и равен BB1.

Допустим, что угол A не прямой. если угол A - острый, то на основании вышеуказанной предпосылки имеем: (A1B1( < (AB( ; если же угол A - тупой, то имеем: (A1B1( > (AB(.

И то, и другое противоречит условию, значит, (A1B1( = (AB(, следовательно, угол A - прямой.

Аналогично доказываем, что угол A1 тоже прямой. Проведем диагональAB1. Получим равные треугольники ABB1 и AA1B1, как имеющие совпадающие гипотенузы и равные катеты: AB = A1B1, значит и AA1 = BB1.

Доказано существование прямоугольника, то есть четырехугольника с равными противоположными сторонами и четырьмя прямыми углами, значит можно доказать еще одну теорему.

Доказательство:

Действительно, сумма углов прямоугольника равна 4d.

Следовательно, сумма углов прямоугольного треугольника равна 2d.

Значит, сумма углов любого треугольника равна 2d, так как его можно разделить на два прямоугольных треугольника, проведя одну из высот. 2

Доказательство:

Пусть AB,CD, AC - прямые, из которых: CD перпендикулярна AC, AB наклонная к AC, а AC – секущая прямых AB и CD.

Нужно доказать, что CD пересекается с AB.

Отложим на AB отрезок AH, проведем отрезок HH1 перпендикулярно AC.

Если точка H1 совпадет с точкой C, или упадет по другую сторону точки C, то AB и CD пересекутся

Это утверждение у Нассир-Эдина основано на наглядности, но оно может быть обосновано аксиомой Паша: если прямая пересекает сторону треугольника, не проходя ни через одну из его вершин, то она пересекает одну из двух других сторон треугольника.

Если же точка H1 лежит между A и C, то проведем отрезок AL перпендикулярно к AC, причем (AL( = (HH1(.

Соединим точки H и L прямой, получим (на основании теоремы 2 Нассир-Эддина) прямоугольник HLAH1, у которого (HL( = (АH1(. Отложим, далее, отрезок HK = AH и проведем перпендикуляр КK1 к AC. Легко показать, что (KK1( > (HH1(.

Отложим отрезок K1L1 = HH1 и соединим точки H и L1. Cнова получим прямоугольник K1L1 HH1.

Tочки L1, H, L расположены на одной прямой, следовательно, треугольники AHL и HL1K равны (по гипотенузе и острому углу: угол L1HK = углу AHL , как вертикальные), значит, (L1H( = (HL(, отсюда:(K1H1( = (H1A(. Далее, откладываем отрезок KM = HK, аналогично доказываем, что (M1K1( = (K1H1( = (H1A(

Продолжая этот процесс (на основе аксиомы Архимеда), получим, наконец, столь большой отрезок AO1, кратный AH1, что точка O1 окажется вне отрезка AC по другую сторону точки C.

Следовательно, прямая CD не может встретиться с прямой O1O , так как CD перпендикулярна AC и O1O перпендикулярна AC, то есть CD встретит гипотенузу OA прямоугольного треугольника AOO1.

Доказательство:

Пусть AB, CD, EF – данные три прямые, не параллельные друг другу, причем EF - секущая прямых AB и CD.

Надо доказать, что прямые AB и CD пересекаются.

Пусть угол EFB – острый. Проведем EG перпендикулярно AB, получим треугольник EFG.

Так как сумма углов треугольника = 2d, то угол FEG + угол GFE = d, следовательно, и угол DEG – острый.

Значит, прямые AB и CD пересекаются, так как AB перпендикулярна EG, а CD наклонна к EG (по теореме 3 Нассир-Эддина). 3

Итак, Нассир-Эддин доказал V постулат Евклида, пользуясь предположением, которое равносильно V постулату и может быть доказано, если V постулат принять в качестве исходного предположения.

Эти доказательства длинные и сложные, но они содержат идеи, отчетливо выдвигающие вопрос о связи суммы углов треугольника с V постулатом Евклида, который лег в основу позднейших выдающихся исследований Саккери и Лежандра.

3. 3 Постулат о параллельных линиях в эпоху Возрождения в XVII веке.

3. 3. 1Джордано Витале.

Джордано Витале (1633-1711), снова примыкая к понятию о равенстве расстояний, данному Посейдонием, признает вместе с Проклом, что необходимо отказаться от того, что параллельные линии могут иметь асимптотическое соотношение. С этой целью он определяет параллельные линии, как линии, равноотстоящие, и старается доказать теорему.

Доказательство основывается на лемме:

Прямая, о которой говорится в лемме, не произвольна, она строится следующим образом: из точки В дуги АС проводим BD перпендикулярно хорде AC; в т. А восставляем перпендикуляр AG к AC;

3) отложим на перпендикулярах равные отрезки AG и DF, соединим их концы G и F;

4) GF – искомая прямая.

Эту прямую и рассматривает Джордано в своем доказательстве, - прямую, по отношении к которой дуга АВС не будет линией равноотстоящей. Но при доказательстве теоремы Джордано прилагает предшествующую лемму к чертежам, для которых не имеют места соотношения, существующие между дугой АВС и прямой GF, а поэтому следствия, которые он выводит относительно существования равноотстоящих прямых, на самом деле недопустимы. Доказательство Витале не представляет интереса, но в нем содержится теорема, которую мы будем рассматривать и дальше.

Доказательство:

Пусть ABCD – данный четырехугольник, в которoм стороны AD и BC равны и углы A и B равны d.

Построим перпендикуляр HK к основаниям четырехугольника, получим два новых четырехугольника ADHK и KHCB.

Джордано Витале доказывает, что они подобны, то есть, что углы D и C равны d, а также, что CD равноотстоит от AB, так как (HK( = (AD( и углы D и C равны d (и равны между собой).

При помощи этой теоремы Джордано сводит вопрос о равноотстоящих прямых на доказательство существования на DC точки H, расстояние которой от AB было бы равно отрезку AD или CB.

Это самый интересный результат из всех, что были достигнуты в теории параллельных линий к тому времени.

3. 3. 2Джон Валлис.

Джон Валлис (1616 – 1703) отбросил понятие о равенстве расстояний, к которому безуспешно прибегали предшествующие геометры, и дал новое доказательство V постулата, которое основывается на следующей теореме.

Доказательство:

Пусть a, b, c - прямые, c - секущая a и b: в точке A c пересекается c a; в точке B c пересекается с b. Углы ( и ( – внутренние односторонние. Тогда докажем, что прямые a, b, c, пересекаясь, образуют вершины подобных треугольников.

Проведем через точку A прямую b1 так, чтобы b и b1 образовали с c равные соответственные углы, значит прямая b1 пройдет внутри угла, смежного с (.

Заставим прямую b непрерывно перемещаться так, чтобы точка B пробегала отрезок AB и чтобы угол, образованный c c, все время оставался равным (.

Следовательно, прямая b, прежде чем достичь конечного положения b1, непременно пересечет a.

Таким образом, определяется треугольник AB1C1 , у которого угол A = (, угол B = (.

По предположению Валлиса о существовании подобных фигур на стороне АВ (аналогично AB1) можно построить треугольник ABC, подобный AB1C1, то есть прямые a и b пересекутся в точке C и так далее.

3. 4 Общие характерные черты и ошибки доказательств.

Все рассмотренные попытки доказательства V постулата носят некоторые общие характерные черты.

Во-первых, авторы всех этих доказательств исходили из уверенности о единственной возможности и абсолютной истинности V постулата и не мыслили себе другой возможности: авторитет Евклида был для них незыблемым.

Во-вторых, все они считали, что предложения, принятые в качестве аксиом, обязательно должны быть непосредственно очевидными, и поэтому были убеждены в доказуемости V постулата при помощи остальных постулатов. На этом пути их всегда постигала неудача. Вводя в рассуждение предположение, равносильное V постулату, они считали, что достигли, наконец, желаемого результата. Но затем оказывалось, что найденное доказательство ошибочно, так как использованная в нем предпосылка сама является следствием V постулата, и, значит, их усилия не достигали цели.

В самом деле, в чем заключается правильная постановка проблемы доказательства V постулата?

Она состоит в том, чтобы доказать V постулат, основываясь исключительно на остальных постулатах и аксиомах Евклида (лежащих в основе абсолютной геометрии), не вводя для этой цели новых специальных постулатов. Как раз несоблюдением этого требования и грешат все рассмотренные выше попытки доказательства V постулата.

В-третьих, все попытки доказательств V постулата отражают отсутствие правильной постановки самой проблемы доказательства V постулата.

Что же мешало этой правильной постановке?

Дело в том, что она требовала знания полного списка аксиом, на которых покоится геометрия Евклида, между тем основным недостатком «Начал» как раз и является неполнота списка аксиом. Это обстоятельство и стояло препятствием к правильному разрешению вопроса о доказуемости V постулата.

Мысль об этом пробеле ни к кому не приходила, и разработка полной системы аксиом геометрии явилось делом лишь конца XIX и начала XX века.

Однако, несмотря на безрезультатность и тщетность всех попыток доказательств V постулата, они все же не были бесполезны. Наоборот, они сыграли весьма положительную роль в развитии геометрии, ибо в результате этих многовековых поисков были выяснены логические зависимости между некоторыми важными геометрическими предложениями.

В частности, были открыты предложения, эквивалентные V постулату.

Все это подготавливало почву для правильного решения проблемы параллельных и содействовало дальнейшему более глубокому анализу оснований геометрии.

В XVIII веке произошло существенное продвижение в постановке вопроса о методах доказательства V постулата. Этот процесс связан с именами трех человек: итальянского ученого иезуита Джироламо Саккери, немецкого ученого Иоганна Генриха Ламберта и французского ученого Андриана Мари Лежандра.

Основная идея их исследований заключалась в попытках доказать V постулат методом от противного.

Эта идея оказалась очень плодотворной, ибо непосредственно подвела к окончательному решению проблемы V постулата в XIX столетии.

3. 5 Предшественники неевклидовой геометрии.

3. 5. 1 Джироламо Саккери

В своей книге «Евклид, очищенный от всяких пятен, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии», изданной в 1733 году, Джироламо Саккери (1667 – 1733) в качестве исходной фигуры берет четырехугольник с двумя прямыми углами и двумя равными боковыми сторонами, называемый в честь автора четырехугольником Саккери.

Саккери рассуждает: если предположить ложность V постулата Евклида, то путем получения противоречия можно доказать его истинность.

Саккери пользуется 16 предложением Евклида: внешний угол треугольника больше каждого противоположного внутреннего.

При доказательстве его Евклид в скрытом виде допускает, что прямая бесконечна (он признает, что существует отрезок, в два раза больше данного).

Также Саккери пользуется аксиомой Архимеда (стр. 12) и предположением о непрерывности прямой для того, чтобы распространить на все фигуры данного типа все свойства, известные для одной.

Рассмотрим свойства четырехугольника Саккери.

Доказательство:

Пусть ABCD - данный четырехугольник, у которого сторона AB = CD, угол A = B = d.

Докажем, что угол C = D.

Восстановим в середине O отрезка AB перпендикуляр OO1 к AB. Прямая OO1 пересекает сторону AC треугольника ACD и не проходит ни через одну из его вершин. Следовательно, по аксиоме Паша (стр. 21), OO1 пересечет либо сторону BC, либо сторону AC.

Пусть OO1 пресекает AC в некоторой точке E.

Опять видим, что прямая OO1 пересекает сторону AC треугольника ACD и не проходит ни через одну из его вершин. Следовательно, OO1 пересечет DC в некоторой точке O1, так как AD, перпендикулярную AB, она пересечь не может.

Соединим точку O1 с A и B, получим треугольник AOO1 = BOO1 (по двум катетам), значит, (AO1( = (BO1( и угол OAO1 = углу OBO1, а значит, угол DAO1 = углу CBO1, как углы, дополняющие первые до d.

Рассмотрим теперь треугольники ADO1 и BCO1, видим, что они равны (по двум сторонам и углу, заключенному между ними), откуда имеем: угол C = углу D и, сверх того, (DO1( = (O1C( ,то есть точка O1 – середина стороны DC.

Доказательство:

Пусть ABCD – четырехугольник, у которого сторона AD < BC, углы при основании AB: угол A = B = d.

Докажем, что угол D > угла C.

Отложим отрезок BE = AD.

На основании теоремы 1 Саккери, угол ADE = углу BED, но угол BED, внешний к треугольнику DEC, следовательно, угол BED > угла C, значит, и угол D > угла C

(легко доказать от противного и обратные предложения).

Все это приводит к справедливости леммы, которая относится к абсолютной геометрии.

Имеют место и обратные предложения.

Далее Саккери, говоря о величине углов C и D, принимает три гипотезы:

1. Угол C = углу D = d – гипотеза прямого угла.

2. Угол C = углу D < d – гипотеза острого угла.

3. Угол C = углу D > d – гипотеза тупого угла.

Рассмотрим эти три гипотезы.

1. Что касается гипотезы прямого угла, то она, как доказал Саккери, равносильна

V постулату Евклида (ее можно также приравнять к доказательству Нассир-Эддина).

2. Следовательно, если удастся доказать, что гипотезы острого и тупого угла приводят к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида или ранее доказанными теоремами, то тем самым будет доказана справедливость гипотезы прямого угла, а вместе с тем и V постулата.

Эту задачу и поставил себе Саккери. И если бы ему это удалось, то получилось бы безупречное доказательство от противного V постулата Евклида.

Рассмотрим несколько простейших теорем, доказанных Саккери, в предположении той или иной гипотезы.

Доказательство:

1 случай.

Действительно, в случае гипотезы прямого угла угол C = D = d. Применяя лемму Саккери к основанию AD, предположим, что (AB( ( (CD(, угол C ( B, но = d, но это противоречит условию.

2 случай.

В случае гипотезы острого угла имеем: угол С = D, но < d.

Пусть ABCD – четырехугольник, у которого угол A = B = d.

Докажем, что (AB( < (CD(.

Проведем перпендикуляр OO1 к AB, где точка O – середина AB.

Мы видим, что O1 – середина DC.

Из равенства треугольников OAD и OBC (по двум катетам) следует равенство (OD( и (OC(, то есть треугольник ODO1 = OCO1 (по трем сторонам) и угол OO1D = углу OO1C, то есть OO1 перпендикулярна DC. Так как угол D < A, но = d, по лемме Саккери, применяемой к основанию OO1, имеем: (AO( < (DO1(, а, значит, (AB( < (CD(.

3 случай. Аналогично, при условии, что угол C = D, но > d верно, что (AB( > (CD(.

Методом от противного легко доказать и обратные предположения:

Если (AB( <, = или > (CD(, то имеет место соответственно гипотеза острого, прямого или тупого угла.

Дальше Саккери доказывает сформулированную выше теорему 3.

Пусть справедлива гипотеза прямого угла в одном четырехугольнике, то она справедлива и в другом таком же четырехугольнике.

Доказательство:

Пусть ABCD – исходный четырехугольник, у которого угол A = B = d, угол C = D = d.

Докажем, что для любого четырехугольника, подобного ABCD, верна гипотеза прямого угла.

Возьмем на AD и BC точки H и K так, что (AH( = (BK(.

Получим четырехугольник AHKB.

Если KH перпендикулярна AH и KH перпендикулярна BK, то в новом четырехугольнике AHKB вновь верна гипотеза прямого угла.

В противном случае: пусть угол AHK – острый, значит, смежный с ним угол DHK – тупой, то есть в четырехугольнике ABKH, по гипотезе острого угла, (AB( < (HK(, в то же время в четырехугольнике HKCD, по гипотезе тупого угла, (HK( < (DC(.

Из того, что (AB( < (HK( и (HK( < (DC(, получим: (AB( < (CD(, но это противоречит условию, так как (AB( = (CD(. Значит, угол AHK не может быть острым, то есть и тупым он тоже быть не может (аналогично), значит, верна гипотеза прямого угла.

Она будет верна также и для четырехугольника ABNM, где точки M и N лежат на продолжении AD и BC и (AM( = (BN(.

Эту теорему Саккери доказывает сразу методом от противного.

Доказательство:

Пусть ABCD - исходный четырехугольник, у которого угол A = B = d, угол C = D > d, (AD( = (BC(.

Докажем, что эти условия сохраняются в любом таком же четырехугольнике.

Возьмем на AD и BC точки H и K так, что (АН( = (BK(, в силу теоремы 3 (1 случай):

HK не перпендикулярна AD, и HK не перпендикулярна BC.

Предположим поэтому, что угол KHA < d.

Тогда по гипотезе острого угла, (HK( > (AB( и в то же время, в силу гипотезы тупого угла, для четырехугольника ABCD: (AB( > (CD(.

Отсюда получаем: (HK( > (CD(.

Таким образом, если передвигать прямую HK непрерывно так, чтобы она оставалась перпендикулярной к OO1 основного четырехугольника,то отрезок HK, заключенный между противоположными сторонами AD и BC, > AB в начальном положении, должен стать < AB в конечном положении CD.

В силу постулата непрерывности должно существовать некоторое промежуточное положение H1K1, для которого (H1K1( = (AB(, следовательно, в четырехугольнике ABK1H1 должна быть верна гипотеза прямого угла, которая по теореме 3 (1 случай) делает невозможным применение к ABCD гипотезы тупого угла.

Рассуждение это верно, и когда отрезки AH > AD, BK > BC, значит, невозможно, чтобы угол AHK был острым. Итак, в ABKH, как и в ABCD имеет место гипотеза тупого угла4.

Итак, теоремы-гипотезы доказаны. Из них Саккери получает важный вывод относительно треугольников.

Дока зательство:

Пусть ABC – треугольник, в котором угол B = d.

Докажем, что для различных гипотез верны соответственно соотношения:

1) сумма углов A + B + C = 2d;

2) сумма углов A + B + C < 2d;

3) сумма углов A + B + C > 2d.

Дополним треугольник ABC до четырехугольника, проведя отрезок AD = BC и перпендикулярный AB, соединим точки D и C:

1) по гипотезе прямого угла: (AB( = (DC( ; угол D = d и треугольник ABC = треугольнику ACD, значит, угол BAC = углу DCA и в треугольнике ABC: сумма углов A + B + C = 2d.

2) по гипотезе острого угла: (AB( < (DC(; угол ACB < угла DAC, то есть в треугольнике ABC: сумма углов A + B + C < 2d.

3) по гипотезе тупого угла: (AB( > (DC(; угол ACB > угла DAC, поэтому в треугольнике ABC: сумма углов A + B + C > 2d.

Саккери легко доказывает эту теорему, затем ей обратную путем приведения к абсурду; и, как следствие этих выводов, он получает следующую теорему:

Если в одном треугольнике сумма углов равна двум прямым углам, больше или меньше двух прямых углов, то и во всех других треугольниках сумма улов будет та же (и для всех прямоугольных треугольников, как частного случая, и для всех остальных - общего случая, ибо произвольный треугольник можно разложить на два прямоугольных, проведя высоту5).

Таким образом, Саккери доказал эквивалентность предложения о сумме внутренних углов треугольника, соответствующей гипотезе об углах четырехугольника Саккери.

Доказательство:

Пусть AВC – треугольник, у которого угол C=d, точка H – середина стороны AB, отрезок KH перпендикулярен стороне AC.

Докажем верность данных соотношений:

1) доказательство, относящееся к гипотезе прямого угла, очевидно;

2) гипотеза острого угла доказывается аналогично 3);

3) примем гипотезу тупого угла. Сумма углов четырехугольника HКCL будет при этом > 4d.

Имеем так же: угол AHK < HBC.

Опустим перпендикуляр HL на BC, тогда треугольники АHK и HBL (имеющие равные гипотенузы) на основании данных соотношений, дадут место неравенству: (AK( < (HL(.

В четырехугольнике с тремя прямыми углами НKCL: четвертый угол H > d (по гипотезе тупого угла), значит, (HL( < (KC( отсюда: (AK( < ( KC(.

Далее Саккери расширяет лемму следующим образом:

Затем Саккери доказывает теорему 3 Нассир-Эддина (частный случай) для гипотез.

Доказательство:

Пусть AB, CD, AC - прямые, причем AC – секущая.

Нужно доказать справедливость V постулата относительно двух принятых гипотез: прямого угла и тупого угла.

Предположим, что сумма углов BAC + АСD < 2d (в силу V постулата).

Тогда один из углов BAC, ACD будет острым: пусть это будет угол BAC.

Oпустим перпендикуляр CH на AB, тогда в треугольнике ACH, в силу принятых гипотез, сумма углов A + C + H = или > 2d, но, согласно другому предположению, сумма углов BAC + ACD < 2d.

Сопоставляя эти соотношения, имеем: угол H > угла HCD.

Но так как угол H = d, угол HCD должен быть < d, поэтому, в силу теоремы 6 Саккери, прямые CD и AB пересекутся.

Этот результат позволяет Саккери заключить, что гипотеза тупого угла не верна.

В самом деле: при этой гипотезе имеет место V постулат Евклида, значит, справедливы и обычные теоремы, выводимые из этого постулата. Но в таком случае, сумма углов в основном четырехугольнике равна 4d, значит, справедлива гипотеза прямого угла.

Саккери, чтобы доказать, что V постулат справедлив, безусловно, старается разрушить также гипотезу острого угла.

На этом пути он открывает много интересных теорем, связанных с допущением гипотезы острого угла и парадоксальных с точки зрения обычной геометрии.

Доказательство:

Пусть ABC – треугольник, в котором угол C = d, BD - прямая и угол ABD = углу BAC.

Докажем, что прямые AC и BD не пересекаются.

Так как мы допустили справедливость гипотезы острого угла, то сумма углов в треугольнике ABC будет < 2d.

Поэтому, в силу того, что угол C = d, сумма углов CAB + CBA < d, вместе с чем, сумма углов DBA + ABC = углу DBC < d.

Таким образом, прямая AC перпендикулярна BC, BD - наклонная к BC. И все же они не пересекаются, так как, допустив противное, мы получим треугольник, для которого угол CAB – внешний.

И в то же время он равнялся бы внутреннему углу DBA, что не возможно6.

Развивая дальнейшие следствия из гипотезы острого угла, Саккери, в частности приходит к построению, которое положил в основу своей геометрической системы Лобачевский. Саккери показал, что в случае гипотезы острого угла в множестве прямых, проходящих через точку А, лежащую вне прямой a, имеются две прямые p,q, асимптотические к а, обе они разделяют пучок А на две части, из которых одна состоит из прямых, пересекающих а, а другая – из прямых, имеющих с а общий перпендикуляр.

Саккери показал также, что в случае гипотезы острого угла перпендикуляр к стороне острого угла сначала пересекает вторую сторону, а потом по мере удаления от вершины, перестает ее пересекать, при этом существует предельный первый не пересекающий перпендикуляр.

Саккери открыл тот факт, что в случае гипотезы острого угла геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая.

Будучи, однако, убежденным, что никакой другой геометрии, кроме Евклида, существовать не может, Саккери после весьма длинного исследования различных следствий гипотезы острого угла, в конце концов, приходит к ложному заключению, что гипотеза острого угла приведена к противоречию, и что она «противоречит природе прямой линии».

Значение Саккери в истории развития геометрии в том, что он первый проложил новый плодотворный путь в исследовании проблемы V постулата.

Он, например, установил, что площадь треугольника пропорциональна разности между 2d и суммой углов треугольника (так называемый дефект треугольника), а так же открыл существование некоторой абсолютной единицы длины.

3. 5. 2 Иоганн Генрих Лáмберт

Ламберт никогда не считал, что доказал V постулат. Он первый заметил, что если на поверхности шара приписать большим кругам роль прямых линий, то гипотеза тупого угла будет полностью реализована на сфере.

Ламберт делает правильное замечание, что сферическая геометрия не зависит от V постулата Евклида.

В конце XVIII века в Европе наблюдается оживленный интерес к исследованиям по основаниям геометрии. Этот интерес, прежде всего, был обусловлен Великой французской революцией 1789 года (деятельностью французских просветителей XVIII века).

3. 5. 3 Адриен Мари Лежандр

Новые принципы преподавания геометрии получили свое наиболее удачное и яркое воплощение в знаменитом сочинении профессора Политехнической школы, члена Парижской Академии наук Адриена Мари Лежандра (1752 – 1833), «Начала Евклида», где он большое внимание уделяет теории параллельности.

Так же как Саккери, Лежандр предпринимает попытку доказать V постулат Евклида от противного.

В отличие от Саккери, в качестве исходной основной фигуры, Лежандр берет треугольник и рассматривает проблему параллельности с точки зрения вопроса о сумме углов треугольника.

Поставив целью доказать V постулат без введения заменяющих его новых постулатов, Лежандр, прежде всего, непосредственно показывает, что если принять без доказательства, что сумма углов треугольника равна 2d, то V постулат может быть доказан как теорема.

Тем самым, Лежандр непосредственно устанавливает эквивалентность этих двух предложений.

Приведем это доказательство.

Доказательство:

Пусть а, b, АВ - прямые, причем, a перпендикулярна АВ, b – наклонная к АВ и угол А = ( < d.

Докажем, что b пересечет а.

Отложим на прямой а n отрезков: ВВ1 = АВ, В1В2 = АВ1, В2В3 = АВ2Вn-1Вn = АВn-1.

Соединим точки В1, В2, В3, Вn с точкой А.

Рассмотрим треугольники АВВ1, АВ1В2, АВ2В3,АВn-1Bn.

По условию сумма углов каждого треугольника = 2d.

Треугольник АВВ1 равнобедренный, прямоугольный и, так как по условию сумма его углов равна 2d, то каждый из его острых углов = d/2 = (/4.

Но угол АВ1В2 – внешний для треугольника АВ1В, значит, он равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных (по условию теоремы).

В силу равнобедренности треугольника АВ1В2 получим, что угол АВ2В = (/8 = (/23.

Рассуждая таким образом, мы получим, что угол АВnВ = (/2n+1.

Но так как сумма углов треугольника равна 2d, то угол ВАВn = (/2 - (/2n+1.

Так как угол ( < d, то можно положить ( = (/2 - (, где 0 < ( < (/2.

Мы всегда можем добиться при достаточно большом n чтобы было (/2n+1 < (, следовательно, при достаточно большом n: ( = (/2 - ( < (/2 - (/2n+1 = углу ВАВn.

То есть прямая в будет проходить внутри угла ВАВn, значит, пересечет противоположную сторону ВВn треугольника ВАВn (это может быть строго доказано при помощи аксиомы Паша (стр. 21)).

Теперь нетрудно доказать V постулат в его общей формулировке (см. у Нассир-Эддина).

Итак, эквивалентность V постулату предложения о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 2d, доказана.

Поэтому Лежандр задается вопросом, что можно сказать о сумме углов треугольника, не зависимо от V постулата, и допускает три гипотезы. Для доказательства V постулата необходимо привести к противоречию вторую и третью гипотезы и этим их устранить. В этом направлении и ведет исследование Лежандр.

Доказательство:

Пусть А1В1А2 – треугольник с углами (,(,(.

Докажем, что сумма его углов ( + ( + ( ( 2d (методом от противного).

Предположим, что ( + ( + ( > 2d.

Продолжим сторону А1А2, на ее продолжении отложим n отрезков = А1А2 так, что А1А2 = А2А3 = = АnАn+1. На этих отрезках построим n треугольников, равных А1В1А2.

Соединим их вершины В1,В2,,Вn отрезками прямых, получим n – 1 треугольников, которые равны между собой по двум сторонам и углу между ними (1.

Следовательно, В1В2 = В2В3 = = Вn-1Вn.

Так как сумма углов ( + ( + ( > 2d, и в то же время ( + (1 + ( = 2d, то угол ( > (1, а поскольку в треугольниках А1В1А2 и В1А2В2 две стороны соответственно равны, но углы между ними не равны, то (А1А2 ( > (В1В2 (.

Далее замечаем, что ломанная А1В1В2ВnАn+1 > А1Аn+1 = n А1А2, то есть А1В1 + (n-1) В1В2 + ВnАn+1 > nА1А2, отсюда в силу равенства ВnАn+1 = В1А2 имеем: n(А1А2 – В1В2) < А1В1 – В1В2 + В1А2.

Так как по доказанному: (А1А2 ( > (В1В2 ( или А1А2 – В1В2 > 0, то полученное неравенство противоречит аксиоме Архимеда, ибо n может быть взято сколь угодно большим, а потому это неравенство не возможно, значит, сумма углов (+(+( ( 2d. 7

Итак, вторая гипотеза устранена, остается привести к противоречию третью гипотезу.

Теоремы 3 и 4 приводят к заключению, что если удастся доказать, хотя бы для одного треугольника, что сумма углов = 2d, то V постулат Евклида будет доказан.

Все такие доказательства Лежандра оказались ошибочными, но, тем не менее, они интересны своим остроумием и изяществом и поучительны в том отношении, что вскрыли ряд эквивалентов V постулата.

На основании всего изложенного можно дать следующую оценку исследованиям Лежандра теории параллельных.

Лежандр по существу проблемы V постулата никаких новых результатов, по сравнению с Саккери, не дал. Все его результаты содержатся у последнего геометра, более того, Саккери ушел гораздо дальше Лежандра в полученных следствиях из гипотезы острого угла.

Тем не менее, заслуга Лежандра заключается в том, что, взяв за исходную фигуру треугольник, он с особенной отчетливостью установил непосредственную связь вопроса о сумме углов треугольника с V постулатом Евклида.

При этом большое значение имеет талантливая и доступная форма изложения, в которую облек свое сочинение Лежандр.

Нужно признать, что трудности в разрешении проблемы параллельных были колоссальны. Они таились в непререкаемости авторитета Евклида, в укоренившихся привычках пространственного представления, подтверждаемых повседневным опытом.

К этому следует добавить значительное тормозящее влияние на умы кантовской философии, рассматривавшей пространство не как нечто объективно существующее, а как априорную форму сознания и считавшей аксиомы геометрии безусловными истинами, данными нам вне или до опыта.

Глава IV. Эквиваленты V постулата Евклида.

4. 1 Понятие эквивалентности аксиом.

Итак, многие доказательства V постулата Евклида страдают общим пороком, состоящим в том, что в рассуждении большей частью молчаливо и незаметно вводим допущение, эквивалентное этому постулату.

Уточним понятие эквивалентности аксиом.

Определение.

Пусть некоторая дедуктивная теория основана на системе аксиом {А1,А2,. Аn} и пусть М и N – две новые аксиомы, связанные между собой так, что если мы к данной основной системе аксиом добавим одну из аксиом М или N, то из системы аксиом {А1,А2,. Аn, N} можно вывести М как теорему; тогда говорят, что предложения М и N эквивалентны друг другу относительно основной системы аксиом {А1,А2,. Аn}.

Рассмотрим теперь этот вопрос применительно к проблеме V постулата.

Откладывая пока точное определение полноты системы аксиом геометрии, скажем лишь, что полнота системы аксиом обеспечивает возможность доказать все теоремы геометрии без обращения к опыту и очевидности, исключительно логическим путем.

В качестве полной системы аксиом геометрии Евклида можно принять систему аксиом Гильберта, выбросив из нее только аксиому параллельности, то есть, оставив лишь аксиомы абсолютной геометрии.

Тогда относительно этой системы будут равносильны друг другу и V постулату Евклида, например, следующие предложения:

1. Через каждую точку, лежащую вне прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (аксиома Прокла-Плейфера).

2. Две параллельные при пересечении их третьей прямой, образуют равные соответственные углы.

3. Сумма внутренних односторонних углов, образованных двумя параллельными при пересечении их третьей прямой, равна 2d (Птолемей).

4. Если какая-нибудь прямая пересекает одну из двух параллельных, то она пересекает и другую (Прокл).

5. Расстояние между двумя параллельными конечно (Прокл).

6. Геометрическое место точек, расположенных по одну сторону прямой на одном и том же расстоянии от нее, есть прямая (Посидоний).

7. Сумма внутренних углов треугольника = 2d (Нассир-Эддин, Саккери, Лежандр).

8. Существуют подобные треугольники (Валлис).

9. Через всякую точку, лежащую внутри угла, можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла (Лежандр).

10. Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружность (Ф. Бойяи).

11. Если из двух прямых r и s одна перпендикулярна, другая наклонна к секущей АВ, то отрезки перпендикуляров, опущенных из точек s на r, меньше АВ с той стороны, с которой АВ образует с секущей s острый угол (Нассир-Эддин).

12. Существует треугольник с произвольно большой площадью.

13. Высоты треугольника всегда пересекаются.

14. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).

15. Сторона вписанного в круг правильного шестиугольника равна радиусу этого круга.

Любое из этих предложений можно положить в основу теории параллельных вместо V постулата, тогда последний может быть доказан, как теорема, а вместе с ним могут быть выведены все зависящие от него теоремы Евклида.

Пользуясь определением, можно доказать, что 29 предложение Евклида: параллельные прямые образуют с любой секущей равные соответственные углы и сумма внутренних односторонних углов равна двум прямым эквивалентно V постулату относительно предложений абсолютной геометрии.

Доказательство:

Пусть АА1, ВВ1 – параллельные прямые, АВ – секущая, и угол А1 АС = (, угол В1 ВС = (, причем А1 АС и В1 ВС – соответственные. Докажем, что сумма

( + ( = 2d и угол ( = (. Сумма внутренних односторонних углов ( + ( = 2d, так как в противном случае, по V постулату: АА1 и ВВ1 пересекутся, что будет противоречить условию: АА1 (( ВВ1. Так как углы ( и ( смежные и сумма ( + ( = 2d, то угол ( = (.

Доказательство:

Пусть АА1, ВВ1 – прямые, АВ – секущая (в одной плоскости),углы А1 АВ и В1 ВА – внутренние односторонние, сумма их не равна 2d.

Докажем, что прямые АА1 и ВВ1 пресекутся в некоторой точке D.

Прямые АА1 и ВВ1 не параллельны, так как в противном случае, по 29 - му предложению Евклида, сумма ( + ( = 2d, что противоречило бы условию: сумма ( + ( ( 2d.

Итак, 29 – ое предложение эквивалентно V постулату относительно абсолютной геометрии.

4. 2 Предложение Прокла-Плейфера.

Комментируя 31 - ое предложение I книги «Начал» Евклида, Прокл устанавливает предложение, эквивалентное V постулату Евклида.

В предложении 31 дано решение задачи «через данную точку вне прямой провести прямую, параллельную данной прямой».

Задача решается средствами абсолютной геометрии. В ее формулировке не содержится утверждения о единственности решения, но Прокл в своих комментариях указывает, что из 29 - ого предложения Евклида вытекает единственность решения задачи 31.

Но если принять утверждение о единственности решения задачи, сформулированной в 31 - ом предложении Евклида, то, пользуясь только предложениями абсолютной геометрии, можно доказать V постулат.

Таким образом, V постулат эквивалентен утверждению о единственности решения задачи 31.

В таком виде постулат о параллельности впервые точно сформулирован в школьном издании «Начал», выпущенном англичанином Плейфером, в этом же виде изучается и сейчас в школьном курсе геометрии (основное свойство параллельных прямых).

Доказательство:

Пусть прямые a и b при пересечении прямой c образуют с правой стороны от c внутренние односторонние углы ( и ( , причем сумма ( + ( < 2d.

Проведем через точку M пересечения прямых b и c еще одну прямую e так, чтобы для прямых a и e сумма внутренних односторонних углов ( и (1 = 2d.

Тогда угол (1 > ( и, следовательно, прямые b и e различны.

На основании прямой теоремы о параллельности прямых (стр. 15): a (( e.

Но так как имеет место аксиома параллельности Плейфера, то, кроме прямой e, через точку M не проходит другой прямой, параллельной a, значит, прямая a пересекается с прямой b.

Доказательство:

Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка М.

Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую а и проведем через точку М прямую b, перпендикулярную МР.

Тогда b параллельна а.

Проведем через точку М произвольную прямую c, отличную от b.

Тогда с не перпендикулярна МР, а потому с какой-нибудь стороны от МР образует с ней острый угол (.

Таким образом, прямые а и с при пересечении прямой МР образуют с одной ее стороны внутренние односторонние углы, сумма которых < 2d.

Так как имеет место V постулат Евклида, то прямые а и с пересекаются, то есть прямая с не параллельна прямой а, значит, прямая b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а.

4. 3 Постулат Валлиса.

Доказательство:

Пусть существуют два треугольника АВС и А1В1С1, подобные, но не равные так, что угол А равен углу А1 и угол В равен углу В1, и угол С равен углу С1, но (АВ( ( (А1В1(, (ВС( ( (В1С1(, (АС( ( (А1С1(. Выведем V постулат Евклида.

Допустим, что (АВ( > (А1В1(.

Отложим на стороне АВ отрезок ВК = В1А1. Точка К упадет между А и В.

Проведем прямую КL так, чтобы угол ВКL был равен углу А и углу А1.

На основании прямой теоремы о параллельных (стр. 15), КL (( АС в силу равенства соответственных углов А и ВКL.

Следовательно, КL не может пересечь АС, а потому пересечет сторону ВС в некоторой точке L, лежащей между В и С (на основании аксиомы Паша (стр. 23)).

Полученный треугольник ВКL равен треугольнику А1В1С1 в силу равенства сторон КВ и А1В1 и двух прилежащих к ним углов.

Следовательно, угол ВLК равен углу С1 и равен углу С.

В выпуклом четырехугольнике сумма углов = 4d.

Разобьем его диагональю КС на два треугольника ∆АКС и ∆КСL. Будем иметь: сумма углов треугольника АКС + сумма углов треугольника ∆КСL равна 4d.

Можно сделать предположения:

1) либо сумма углов ∆АКС = 2d, тогда сумма углов ∆КСL = 2d;

2) либо сумма углов ∆АКС > 2d, тогда сумма углов КСL < 2d;

3) либо сумма углов ∆АКС < 2d, тогда сумма углов ∆КCL > 2d.

Но так как мы видели (теорема 2 Лежандра (стр. 36)), сумма углов треугольника не может быть больше 2d, значит предположения 2) и 3) отпадают. Остается то, что сумма углов АКС = 2d, сумма углов КСL = 2d. Отсюда по теореме 1 Лежандра (стр. 36) вытекает справедливость V постулата Евклида. 8

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС и отрезок А1В1, не равный АВ.

Проведем прямые А1К и В1L так, что угол КА1В1 равен углу А и угол LВ1А1 равен углу В.

Так как имеет место V постулат Евклида, то сумма углов треугольника АВС = 2d, а потому сумма углов А + В < 2d.

Следовательно, сумма углов А1 + В1 < 2d,то есть мы имеем две прямые А1К и В1L, пересеченные прямой А1В1, причем сумма внутренних односторонних углов А1 + В1 < 2d.

На основании V постулата Евклида прямые А1К и В1L пересекаются в некоторой точке С1.

Полученный треугольник А1В1С1 подобен данному треугольнику АВС, ибо угол А1 = углу А, угол В1 = углу В, угол С1 = сумме углов треугольника А1В1С1 – угол А1 – угол В1 = 2d – А – В = С.

4. 4 Постулат Бойяи.

В русских источниках встречается множество вариантов написания его фамилии: Больяи, Больяй, Бойаи, Бояи, Бояй и даже Болье.

Доказательство:

Пусть имеет место постулат Ф. Бойяи.

Проведем к отрезку АВ перпендикуляр ВВ’ и наклонную АА’, причем угол А – острый.

Возьмем на прямой АВ внутри или вне отрезка АВ произвольную точку М, а затем построим симметричную ей точку М’ относительно АА’ и симметричную точку М’’ относительно ВВ’.

Так как ММ’ перпендикулярна АА’, то ММ’ не совпадает с АВ, следовательно, точка М’ не лежит на АВ.

А так как точки М и М’’ лежат на АВ, то три точки М, М’, М’’ не лежат на одной прямой, а потому в силу постулата Ф. Бойяи через них проходит окружность, хордами которой являются ММ’ и ММ’’.

Прямые ВВ’ и АА’ являются перпендикулярами к хордам ММ’’ и ММ’, проходящими через их середины, а потому они пересекутся в центре окружности точке О.

Итак, перпендикуляр и наклонная пересекутся, а отсюда вытекает V постулат Евклида.

Доказательство:

Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками, получим треугольник АВС. Для доказательства постулата Ф. Бойяи нужно показать, что существует точка, равноудаленная от вершин этого треугольника А, В, С.

Пусть АВ – наибольшая сторона треугольника, тогда угол В необходимо острый. Через середину Е стороны АВ проведем ЕЕ1 перпендикулярно АВ. Так как имеет место V постулат Евклида, то перпендикуляр ЕЕ1, наклонная ВС обязательно пересекутся в некоторой точке Е1, причем угол ВЕЕ1 – острый, ибо треугольник ВЕЕ1 прямоугольный с углом Е = d.

Проведем теперь через середину F стороны ВС перпендикуляр FF1.

В силу V постулата Евклида перпендикуляр FF1 и наклонная ЕЕ1 пересекутся в некоторой точке D.

Так как точка D лежит одновременно на перпендикулярах ЕЕ1 и FF1, проведенных через середины Е и F сторон АВ и ВС треугольника АВС, то она одинаково удалена от точек А, В, С и является центром окружности, проходящей через эти три точки.

4. 5 Теорема 1 Саккери – Лежандра.

Доказательством является непосредственно рассуждение по теореме 1 Лежандра (стр. 36).

Доказательство:

Пусть АВС – треугольник, образованный тремя прямыми a, b, c.

Отметим середину О стороны АС. Отложим на продолжении отрезка ОВ отрезок ОD = ОВ.

Треугольники АОD и СОВ равны, так как у них углы при вершине О равны как вертикальные,а (ОА( = (ОС( и (ОВ( = (ОD( по построению.

Из равенства треугольников следует равенство углов DАО и ВСО.

Поэтому сумма углов треугольника АВС при вершинах А и С равна углу ВАD.

Для прямых ВС и АD и секущей АС углы ВСА и САD внутренние накрест лежащие.

Так как по доказанному они равны, то по прямой теореме Евклида (стр. 13 ) ВС (( АD, следовательно, так как верен V постулат Евклида, сумма внутренних односторонних углов СВА + DАВ = 2d.

Таким образом, сумма всех углов треугольника АВС = СВА + DАВ = 2d.

Глава V. Заключение.

5. 1 Крутой поворот в истории науки.

Заменив V постулата Евклида его отрицанием (при сохранении остальных аксиом Евклида), можно прийти к новой, неевклидовой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но, тем не менее, не содержит никаких логических противоречий.

Эту простую, но очень дерзкую мысль математики не могли выстрадать в течение двух тысячелетий после появления «Начал» Евклида.

Допустив, что V постулат не верен, математики пытались прийти к логическому противоречию. Они приходили к утверждениям, чудовищно противоречащим нашей геометрической интуиции, но логического противоречия не получалось.

В течение первых же десятилетий XIX века проблема V постулата была решена несколькими лицами почти одновременно и независимо друг от друга, но совершенно не так, как предлагали это прежние ученые: была создана новая геометрия, не зависимая от V постулата, основанная на замене его утверждением, эквивалентным гипотезе острого угла Саккери.

Итак, благодаря проблеме пятого постулата, человечество подошло к новому крутому повороту в своей истории, который дал толчок к зарождению и развитию новых, неевклидовых геометрий, а вместе с тем новый виток развития получил и весь научный мир.

К открытию новой, к так называемой «неевклидовой» геометрии пришли три человека:

1) Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) – великий немецкий математик;

2) Янош Бойяи (1802 – 1860) – венгерский офицер, сын Фаркаша Бойяи, автора рассмотренного нами постулата.

3) Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856) - профессор Казанского университета

Однако вклад в создание новой геометрии, внесенный этими учеными, весьма неравноценен.

Что касается Гаусса, то он совершенно не оставил никаких следов систематического изложения своих открытий в области неевклидовой геометрии и при жизни не опубликовал ни строчки по этому вопросу. То, что Гаусс владел идеями неевклидовой геометрии, было обнаружено лишь после смерти ученого, когда стали изучать его архивы. Гениальный Гаусс, к мнению которого все прислушивались, не рискнул опубликовать свои результаты по неевклидовой геометрии, опасаясь быть непонятым и втянутым в полемику.

Янош Бойяи пришел к открытию неевклидовой геометрии в 1823 году, будучи в возрасте 21 года, но опубликовал свои результаты в 1832 году, позже Лобачевского.

Его отец, известный математик Ф. Бойяи, всю жизнь работавший над теорией параллельных, считал, что решение этой проблемы выше сил человеческих, и хотел оградить сына от неудач и разочарований. В одном из писем он писал ему:

«Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи и всякий светоч, всякую радость жизни в ней похоронил, она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни»

Но Янош не внял предостережениям отца. Вскоре молодой ученый независимо от Гаусса и Лобачевского пришел к тем же идеям. В приложении к книге своего отца, вышедшей в 1832 году, Я Бойяи дал самостоятельное изложение неевклидовой геометрии. В его сочинении излагается абсолютно верное учение о пространстве, независимо от правильности или ложности V постулата Евклида.

Однако все сделанное в области геометрии Гауссом и Я. Бойяи представляет собой лишь первые шаги по сравнению с глубокими и далеко идущими исследованиями Лобачевского, который всю жизнь упорно и настойчиво разрабатывал с разных точек зрения свое учение, довел его до высокой степени совершенства и опубликовал целый ряд крупных сочинений по новой геометрии.

Потому первое место среди лиц, разделяющих славу создания неевклидовой геометрии, следует безраздельно отвести Лобачевскому, имя которого и носит созданная им геометрия.

В ней сохраняются все теоремы, которые в евклидовой геометрии можно доказать без использования V постулата (или аксиомы параллельности – одного из эквивалентов V постулата, - включенной в наши дни в школьные учебники).

Например: вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр; сохраняются также признаки равенства треугольников и др. Однако теоремы, при доказательстве которых применяется аксиома параллельности, видоизменяются.

Теорема о сумме углов треугольника – первая теорема школьного курса, при доказательстве которой используется аксиома параллельности.

Здесь нас ожидает первый «сюрприз»: в геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 2d.

Теоремы о признаках подобия треугольников говорят нам об их существовании в евклидовой геометрии.

В неевклидовой геометрии, то есть в геометрии Лобачевского, подобных треугольников не существует. Здесь мы получаем второй «сюрприз».

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то в евклидовой геометрии равны и третьи углы (тогда треугольники подобны), но в геометрии Лобачевского это не всегда верно. Более того, имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны!

Таким образом, мы получаем «чудовищные» противоречия с нашими геометрическими взглядами, но не видим никаких логических противоречий. Мы кратко коснулись только некоторых фактов геометрии Лобачевского, сознательно не упоминая много других очень интересных и содержательных теорем.

Но это тема дальнейшего разговора, посвященного неевклидовой геометрии.

5. 2 Историческая роль пятого постулата Евклида.

«Напрасное старание со времен Евклида в продолжение двух тысяч лет», - так отозвался о проблеме пятого постулата Николай Лобачевский. Так ли это?

Безуспешные поиски доказательства V постулата Евклида оказались не такими уж безуспешными, если судить о той роли, которую они сыграли в развитии геометрии. Сколько выдающихся теорем, сколько оригинальных идей и гипотез выдвигалось в процессе работы над пятым постулатом! Какой глубокий анализ геометрических фактов был проведен, какой толчок движению научной мысли придал этот многовековой вопрос! Все проведенные исследования великих ученых помогли глубже проникнуть в структуру геометрии, уяснить взаимную связь ее важнейших предложений.

Эти попытки подготовили почву для возникновения у передовых ученых предположения, что V постулат не зависит от остальных аксиом Евклида и не может быть доказан с их помощью, а поэтому, поместив его в числе постулатов, Евклид был полностью прав.

Литература:

1. Бонола Р. Неевклидова геометрия (критико-историческое исследование ее развития) – С. -Петербург, 1910. - 210с.

2. Бахвалов С. В. , Иваницкая В. П. Основания геометрии (аксиоматическое изложение геометрии Евклида). Учебное пособие для студентов педагогических институтов по специальности математика. – М: Высшая школа, 1972. – 279с.

3. Базылев В. Т. , Дуничев К. И. Геометрия. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. – М: Просвещение, 1976. – 363с.

4. Глейзер Г. И. История математики в средней школе. – М: Просвещение, 1970. – 461с.

5. Егоров И. П. Основания геометрии. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. – М: Просвещение, 1984. – 144с.

6. Костин В. И. Основания геометрии. Учебник для педагогических институтов. – М - Л: Учебно-педагогическое издательство, 1946. – 303с.

7. Ливанова А. Три судьбы (жизнь замечательных идей). – М: Знание, 1975. – 198с.

8. Погорелов А. В. Геометрия. – М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 288с.

9. Трайнин Я. Л. Основания геометрии. – М: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1961. – 322с.

10. Фетисов А. И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. – М: Просвещение, 1965. – 234с.

11. Широков П. А. , Каган В. Ф. Строение неевклидовой геометрии. – М - Л: Государственное издательство технической теоретической литературы, 1910. – 181с.

12. Энциклопедический словарь юного математика. – М: Педагогика, 1985. – 256с.

13. http://images. yandex. ru/

Глоссарий

Аксиома – (от греч. «((((((» - «принятое положение» от «(((((» - «считаю достойным, настаиваю, требую») – первоначальный факт, исходное положение, принимаемое без доказательства и лежащее в основе доказательств истинности других положений.

Аксиоматический, аксиоматичный – бесспорный, ясный без доказательств.

Априорный – не опирающийся на знание фактов, чисто умозрительный

Асимптота кривой – (от греч. «((((((((((» - «несовпадающий, не касающийся») - прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.

Постулат – (от лат. «postulatum» - «требование») – в математике, логике исходное положение, допущение, принимаемое без доказательств, употребляемое иногда название для аксиом.

Предложение – то, что предложено, предлагается, то же, что замкнутая формула.

Трансверсаль – (от франц. «transversal», от лат. «transversus» - «поперечный», «скрещённый») – система различных представителей определенного семейства множеств.

Эквивалент – (от лат. «aequus» - «равный» и «valeo» - «имею значение, цену») – нечто равноценное другому, вполне заменяющее его.

Эквивалентность – (от позднелат. «aequivalens») – логическая опрерация, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание «А ( В».

Эмпирический – исследовательский, основанный на описании фактов, без последующих заключений и теоретических обобщений.

Теорема 2 Джордано Витале.

Если в четырехугольнике с двумя прямыми углами и равными боковыми сторонами, перпендикуляр к основаниям разбивает исходный четырехугольник на два, то новые четырехугольники подобны.

Джон Валлис, точнее — Уоллис (John Wallis).

Теорема 2

Джона Валлиса.

Для любой фигуры имеется подобная фигура произвольной величины.

Лемма 1 Саккери

Если в четырехугольнике с прямыми углами А и В стороны AD и BC равны, то угол C равен D. Если же стороны AD и BC не равны, то из двух углов C и D тот больше, который прилежит к меньшей стороне.

Теорема 1 Саккери (частный случай).

Если в четырехугольнике равны боковые стороны и углы при основании равны каждый d, то углы при другом основании также равны между собой.

Теорема 2 Саккери (общий случай).

Если в четырехугольнике одна боковая сторона меньше другой и углы при одном основании равны каждый d, то при другом основании тот угол больше, который прилежит к меньшей стороне.

Теорема 3 Саккери

Если одна из гипотез верна для какого-нибудь одного четырехугольника Саккери, то она будет справедлива и для всех четырехугольников того же типа.

Теорема 4 Саккери

В случае справедливости гипотезы прямого угла в четырехугольнике ABCD имеем: (AB( = (CD(; в случае справедливости гипотезы острого угла имеем: (AB( < (CD(, в случае справедливости гипотезы тупого угла, имеем: (AB( > (CD(, и обратно.

Теорема 3 (2 случай) Саккери

Если гипотеза острого угла верна в одном случае, то она верна и в любом другом случае.

Теорема 3 (3 случай) Саккери

Если гипотеза тупого угла верна в одном случае, то она верна и в любом другом случае.

Теорема 5 Саккери

В соответствии с тем, выполняется ли гипотеза прямого или острого, или тупого угла, сумма углов треугольника = 2d, < 2d или >2d.