История появления текстовых задач

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. Применение текстовых задач идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников. Долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями.

Одна из причин повышенного внимания к текстовым задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным набором вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В <<Арифметике>> Л. Ф Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа (не просто (1/2), а (1/2) рубля, пуда и т. п. ), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными, например: <<Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км. ), которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играла также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин.

Вот как описывал И. В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: <<Учеников - в том или ином порядке - знакомят с соответствующими <<типами>> задач, причем обучение решению задач, сплошь и рядом сводится к <<натаскиванию>>, к пассивному запоминанию учениками небольшого количества стандартных примеров решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае. Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге - полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач.>> К середине 50-х годов ХХ века текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось.

Есть еще один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие ребенка во многом напоминают этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет мотивацию учения, развивает творческий потенциал. Кроме того, разнообразные способы решения будят фантазию детей, позволяют организовать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения.

В середине ХХ века в СССС возобладал узко практический подход в использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении.

Традиционные для российской школы арифметические способности решения задач считались устаревшими и перешли к раннему использованию уравнений. Такой подход казался более современным и научным.

Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

1. Летела стая гусей, а навстречу ей один гусь. <<Здравствуйте 100 гусей>>, - говорит он, а вожак стаи отвечает: <<Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да еще пол столько, да еще четверть столько, да еще ты, гусь, то нас было бы 100 гусей>>.

1 способ: арифметический

100 гусей можно выразить как 234 стаи да еще один гусь (234=1+1+12+14).

Тогда 234 стаи - это 99 гусей, откуда нахожу, что в стае 99: 234=36 гусей.

2 способ: подбора

Попробую подобрать ответ. В задачах такого рода, используются только целые числа. Т. к. в условии встречается упоминание о половине и четверти стаи, то предположу, что число гусей в стае делится на 4, а значит, и на 2. Число гусей в стае не может быть более 40, т. к. 40+40+20+10+1>100.

Это число не может быть и слишком маленьким, оно больше, например, 24: 24+24+12+6+1<100.

Осталось проверить три варианта: 28,32,36, из которых верен только один: 36+36+18+9+1=100.

3 способ: наглядно-геометрический

Изображу стаю гусей в виде прямоугольника. Его размеры можно выбрать произвольно, но т. к. нам надо будет изображать половину и четверть стаи, то удобно взять его длину, равную 4 клеткам или 4 см.

Большой прямоугольник изображает 99 гусей, а в нем 11 четвертей стаи. Значит, одна четверть стаи - 9 гусей. В большом прямоугольнике 4 четверти, поэтому в стае 9х4=36 гусей.

4 способ: алгебраический

Пусть в стае было х гусей. Тогда получим уравнение х+х+х2+х4+1=100, корнем которого х=36.

Ответ. В стае 36 гусей.

2. Один пассажир начал спускаться по эскалатору, одновременно с ним другой начал подниматься. Пассажиры поравнялись через 40 секунд. Чему равна длина эскалатора, если скорость его равна 45 м/мин?

1 способ:

Эта задача имеет решение, если пассажиры не имеют собственной скорости, т. е. спокойно стоят, а не бегут по эскалатору. В этом случае пассажиры встретятся на середине эскалатора, т. к. движутся с одинаковой скоростью и начали двигаться одновременно. Значит, на то, чтобы проехать половину эскалатора, понадобится 40 с. Т. е. по всей длине эскалатора пассажир будет двигаться 80 с или 1 мин 20 с. Известно, что за 1 мин пассажир проезжает 45 м, поэтому за 1 мин 20 с он проедет 60 м.

2 способ:

1 мин=60 с или 60 с=20 с+20 с +20 с.

Пассажиры ехали 40 с (40 с=20 с+20 с).

Значит, за 20 с каждый пассажир проезжает 15 м,а за 40 с - 30 м (30 м=15 м+15 м).

Пассажиров было двое, и они ехали навстречу друг другу, значит, их пути надо сложить: 30 м+30 м=60 м.

3 способ:

Пассажиры поравнялись через 40 с, и их было двое. Значит, весь путь занимает 80 с.

2х40 с=80 с.

Скорость эскалатора 45 м/мин или 45 м за 60 с.

80 с=60 с+20 с

20 с - это третья часть минуты.

Значит, за 80 с пассажиры проедут 45 м и еще третью часть от 45 м.

Третья часть от 45 м составляет 15 м.

45 м+15 м=60 м.

Ответ. Длина эскалатора 60 метров.

3. Из пункта М и Н одновременно выехали два мотоциклиста навстречу друг другу и встретились в 70 км от М. В конечных пунктах они отдохнули по часу и выехали назад с прежними скоростями. Вторая встреча произошла в 40 км от М. Найдите расстояние от М и Н.

Р е ш е н и е:

Если отбросить не играющий никакой роли 1 час, истраченный на отдых, то время до 2 встречи в 3 раза больше времени до 1 (следует из того, что до 1 встречи мотоциклисты проедут вместе путь МН, а до 2 - три таких пути). Значит, мотоциклист, выехавший из М, проедет до 2 встречи 70х3=210 км. Если прибавить оставшиеся 40 км, то полученные 250 км составят два расстояния МН. Следовательно, МН=125 км.

4. По преданию, на могильном камне имелась такая надпись:

<<Путник! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в глубокой старости. Шестую часть своей долгой жизни он был ребенком, двенадцатую - юношей, седьмую - провел неженатым. Через 5 лет после женитьбы у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца. Через 4 года после смерти сына уснул вечным сном и сам Диофант, оплакиваемый своими близкими. Скажи, если умеешь считать, сколько лет прожил Диофант?>> Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть Диофант прожил х лет. Тогда получаю уравнение: х6+х12+х7+5+х2+4=х, корень которого х=84.

2 способ: наглядно-геометрический

Т. к. в задаче речь идет о 16 ;112;17 и 12 частях жизни, то число лет, прожитых Диофантом, надо делить на 6,12,7,2. Изображу всю жизнь Диофанта в виде прямоугольника размером 7х12 клеток (рисунок 2).

Тогда 16 ;112 и 12 части жизни изображу легко; 17 жизни можно изобразить, например, прямоугольником 3х4 клетки. Оставшаяся заштрихованная часть из 9 клеток соответствует 9 годам жизни Диофанта (4+5=9).

Итак, 1 клетка соответствует одному году жизни, всего же получается 7х12=84 клетки.

3 способ: подбора

Число лет Диофанта делится на 6,12,7,2;

НОК(6;12;7;2)=НОК(12;7)=84.

Преимущество этого способа очевидно.

Ответ. Диофант прожил 84 года.

5. Тиран острова Самос Поликрат однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. <<Охотно скажу тебе, о Поликрат, - отвечал Пифагор. - Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Сколько учеников веду я к рождению вечной истины>>. Сколько учеников у Пифагора?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть у Пифагора было х учеников. Составлю уравнение: х2+х4+х7+3=х.

Его корень равен 28.

2 способ: подбора

НОК(2;4;7)=НОК(4;7)=28.

3 способ: арифметический

12+14 +17=2528, т. е. 328 от общего числа учеников Пифагора составляют трое юношей, таким образом, 128 - это один человек, значит, 2828=1 - это 28 человек.

Ответ. У Пифагора было 28 человек.

6. Древнегреческая задача о статуе Минервы (Минерва - в греческой мифологии богиня мудрости, покровительница наук, искусств и ремесел).

Я - изваяние из злата. Поэты то злато

В дар принести: Харизий принес половину своей жертвы,

Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.

Часть двадцатая - жертва певца Фемисона, а девять

На завершивших талантов - обе, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть поэтами в дар принесены х талантов. Составлю уравнение: х2+х8+х10+х20+9=х, х=40

2 способ: наглядно - геометрический

Изображу все злато, которое было принесено в дар, в виде круга

Тогда принесенные дары можно изобразить в виде секторов: 12 - половина круга; 18 - это половина четверти круга, т. е. сектор с углом 45°; 110 - сектор с углом 36° (360:10=36);

120 - сектор с углом 18° (360:20=18)

Итак, Аристоник дал 9 талантов, что соответствует сектору с углом 81°: 360-(180+45+36+18)=81

Тогда 1 талант - это сектор с углом 9°, значит, полный круг (360°) соответствует 40 талантам (360:9=40).

3 способ: подбора

НОК (2;8;10;20)=НОК(8;20)=40. Допускаю, что злато для статуи составляет 40 талантов, проверим условия задачи:

402+408+4010+4020+9=20+5+4+2+9=40 (подходит).

Ответ. 40 талантов злата принесли в дар.

7. Древнеиндийская задача.

Есть кадамба цветок.

На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашла себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралось?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть всего было х пчел. Тогда получим уравнение х5+х3+3(х3-х5)+1=х

Корень уравнения х=15.

2 способ: подбора

НОК(3;5)=15. Поверю число 15:

155+153+3(5-3)+1=3+5+6+1=15 (подходит).

Ответ. Было 15 пчел.

8. Капитан на вопрос о том, сколько людей в его команде, ответил: <<25 моей команды в карауле, 27 - в работе, 14 - в лазарете, да 27 налицо>> Сколько людей в команде?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть в команде х человек. Получаю уравнение:

25х+27х+14х+27=х , решая которое нахожу корень, равный 420.

2 способ: подбора

НОК (5;7;4)=140. Допускаю, что в команде 140 человек. Проверка:

25∙140+27∙140+14∙140+27=56+40+35+27!=140.

Будем проверять числа, кратные 140:

280: 112+80+70+27!=280;

420: 168+120+105+27=420 (подходит).

3 способ: наглядно-геометрический

Пусть вся команда - это прямоугольник размером 7х20 клеток (удобнее делить на 7, 5 и 4 равные части)

Тогда 25 команды - прямоугольник 7х8 клеток; 14 команды - прямоугольник 7х5 клеток; 27 команды - прямоугольник 2х20 клеток, его изобразить нельзя, не затрагивая уже отмеченные части, но можно заменить на фигуру, состоящую из 40 клеток.

Остались неотмеченными 9 клеток, а это 27 человек. Значит, 1 клетка - это 3 человека. Всего в прямоугольнике 140 клеток (7∙20=140), тогда в команде 420 человек 3∙140=420.

Ответ. В команде было 420 человек.

9. По контракту работнику причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивают 12 франков. Через 30 дней работник узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней работал работник в течение этих 30 дней?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть работник работал х дней, тогда (30-х) дней он не работал. Получил уравнение:

48х-12(30-х)=0, его корень равен 6.

2 способ: арифметический

За каждый отработанный день работник получает в 4 раза больше денег, чем с него взыскивают за каждый неотработанный день (48:12=4). Значит, если он отработает один день, а затем 4 дня не будет работать (всего 5 дней), то он ничего не получит. Всего он может себе позволить 6 раз за 30 дней (30:5=6), и каждый раз он отработает всего один день.

Ответ. Работник отработал 6 дней из 30.

10. Отцу 26 лет, сыну 6 лет. Через сколько лет отец будет второе старше сына?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть отец будет в 3 раза старше сына через х лет. Тогда ему будет (26+х) лет, а сыну (6+х) лет.

Составлю уравнение:

26+х=3(6+х),откуда нахожу х=4.

2 способ: подбора

Когда отец станет старше сына, его возраст, очевидно, должен делиться на 3. Сначала это наступит через год, т. е. отцу будет 27 лет, а сыну 7 лет (не подходит); затем - через 4 года, т. е. отцу 30, сыну - 10 лет. Теперь все подходит!

Ответ. Через 4 года отец будет втрое старше сына.

11. Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько отец будет в 10 раз старше сына?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть отец будет в 10 раз старше сына через х лет. Тогда составлю уравнение:

32+х=10(5+х), корень которого х=-2.

<<Через -2>> фактически означает <<два года назад>>. Таким образом, такая ситуация в будущем невозможна.

Ответ. Отец был в 10 раз старше сына два года назад.

12. Однажды Черт предложил Бездельнику заработать.

-Как только ты перейдешь через этот мост, сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это по 24 копейки.

Бездельник согласился и. после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег у него было сначала?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть сначала у Бездельника было х копеек. Тогда (2х-24) копейки стало у него после первого перехода через мост и расчета с Чертом;

2(2х-24)-24=4х-72 копейки стало у него после второго перехода и расчета с Чертом;

2(4х-72)-24=8х-168 копейки стало у него после третьего перехода и расчета по договору.

Уравнение выглядит так:

8х-168=0, откуда х=21.

2 способ: арифметический

Решу задачу с конца по схеме:

После третьего перехода через мост у Бездельника было 24 копейки. Т. к. деньги при переходе удваиваются, то до этого перехода у него было 12 копеек. К тому же 24 копейки он отдал Черту, значит, до этого расчета у Бездельника было 36 копеек(12+24=36). Переходя через мост, он удваивал деньги, следовательно, до второго перехода у него было 18 копеек (36:2=18). А до расчета с Чертом - 42 копейки (18+24=42). Таким образом, перед первым переходом у него была 21 копейка (42:2=21).

3 способ: подбора

Ясно, что у Бездельника было меньше 24 копеек - иначе бы он не обанкротился. С удвоением денег, видимо, удваивался и дефицит денег, и после третьего удвоения он составил как раз 24 копейки. Значит, дефицит сначала был равен 24:8=3 копейкам, т. е. у Бездельника было 24 - 3 =21 копейка. Этот результат легко можно проверить.

Ответ. У Бездельника была 21 копейка.

13. У фермера имеются куры и кролики. Всего у него 50 голов и 140 ног. Сколько кур и сколько кроликов имеет фермер?

Р е ш е н и е:

1 способ: алгебраический

Пусть у фермера было х кур и, значит, (50-х) кроликов. Вычислю общее количество ног и составлю уравнение:

2х+4(50-х)=140, корень которого х=30.

Следовательно, было 30 кур и 20 кроликов.

2 способ: подбора

Рассмотрим таблицу:

Число кур

Число кроликов

Число ног

Решение угадано, но такой способ не всегда может быстро привести к правильному ответу.

3 способ: арифметический

Допускаю, что фермер застал кроликов в странной позе: они все стояли на задних лапках. В этом случае общее число ного на земле в 2 раза превышает количество голов, т. е. 100 ног на земле. Значит, в воздухе находится 40 ног (140-100=40). У каждого кролика в воздухе 2 ноги, следовательно, всего имеется (40:2=20) кроликов. Тогда число кур равно 30 (50-20=30).

Ответ. У фермера было 30 кур и 20 кроликов.

14. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а вместе троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

Р е ш е н и е:

1) 38-28=10 (лет) - Любе;

2) 23-10=13 (лет) - Наде;

3) 28-13=15 (лет) - Вере.

Ответ. Любе 10 лет, Наде 13 лет, Вере 15 лет.

15. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино - 21 человек, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Р е ш е н и е: а) М-23 К-21 б) М-23 К-21 в) М-23 К-21

1) 30-5=25 (чел. ) - ходили в кино, или на экскурсию;

2) 25-23=2 (чел. ) - ходили только в кино;

3) 21-2=19 (чел. ) - ходили и в кино, и на экскурсию.

Ответ. 19 человек.

16. Дачник пришел от своей дачи на станцию через 12 минут после отхода электрички. Если бы он на каждый километр тратил на 3 минуты меньше, то пришел бы как раз к отходу электрички. Далеко ли от станции живет дачник?

Р е ш е н и е:

Тратя на каждый километр на 3 минуты меньше, дачник мог бы сэкономить 12 минут на расстоянии 12:3=4 км. Он живет в 4 км от станции.

Ответ. 4 км

17. Родник в 24 минуты дает бочку воды. Сколько бочек воды дает родник в сутки?

Р е ш е н и е:

Узнаю, за сколько минут наполнится 5 бочек: за 24∙5=120 минут, или 2 часа. Тогда за сутки наполнится в 24:2=12 раз больше бочек, чем за 2 часа, т. е. 5∙12=60 бочек.

Ответ. 60 бочек.

18. На некотором участке железной дороги меняют старые рельсы длиной 8 метров на новые длиной 12 метров. Сколько потребуется новых рельсов вместо 240 старых?

Р е ш е н и е:

На участке длиной 24 метра вместо 3 старых рельсов проложат 2 новых. Рельсы заменят на 240:3=80 таких участках, а положат на 80∙2=160 новых рельсов.

Ответ. Потребуется 160 новых рельсов.

19. В булочной было 654 кг черного и белого хлеба. После того как продали 215 кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну. Сколько кг черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?

Р е ш е н и е:

1) 215+287=502(кг) - продали хлеба;

2) 654-502=152 (кг) - хлеба осталось продать;

3) 152:2=76 (кг) - белого (и черного) хлеба осталось продать;

4) 215+76=291 (кг) - черного хлеба было первоначально;

5) 287+76=363 (кг) - белого хлеба было первоначально.

Ответ. 291 кг, 363 кг.

20. Купили 60 тетрадей - в клетку было в 2 раза больше, чем в линейку. Сколько частей приходится на тетради в клетку; на тетради в линейку; на все тетради? Сколько купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?

Р е ш е н и е:

При решении задачи буду опираться на схему:

Пусть тетради в линейку составляют одну часть, тогда тетради в клетку составляют 2 части.

1) 1+2=3 (части) - приходится на все тетради;

2) 60:3=20 (тетр. ) - приходится на 1 часть;

3) 20∙2=40(тетр. ) - приходится на 2 части (тетради в клетку).

Ответ. Куплено 40 тетрадей в клетку и 20 тетрадей в линейку.

21. В будущем году(1892) думаю провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведу в деревне. Сколько времени я проведу в Петербурге?

Р е ш е н и е:

Т. к. 1 час=60 минут и число минут равно числу часов , то человек в деревне проведет в 60 раз больше времени, чем в Петербурге (время на переезд не учитывается). Если число дней, проведенных в Петербурге, составляет 1 часть, то число дней, проведенных в деревне, составляет 60 частей. Т. К. речь идет о високосном годе, то на 1 часть приходится 36660+1)=6 дней.

Ответ. Человек собирается провести в Петербурге 6 дней.

22. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Ервый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Р е ш е н и е:

С помощью уравнения легко найти решение, но предлагаю арифметический способ, т. к. легче не всегда полезнее.

1) 26∙2=52(версты) - на столько второй поезд отстал от первого;

2) 39-26=13 (верст) - на столько второй поезд отставал за 1 час от первого поезда;

3) 52:13=4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;

4) 39∙4=156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

Ответ. Расстояние от Москвы до Твери 156 верст.

23. В школе равное количество девочек и мальчиков. Я принес 234 ореха, и каждому мальчику досталось по 5 орехо, каждой девочке по 4 ореха. Но девочки обиделись, и в другой раз я принес столько орехов, что всем досталось по 6. Сколько орехов я принес?

Р е ш е н и е:

1) 5+4=9 (орехов) - досталось каждой паре мальчик-девочка;

2) 234:9=26 (пар) - мальчик-девочка было всего;

3) 26∙2=52 (чел. ) - было всех мальчиков и девочек;

4) 52∙6=312 (орехов) - было принесено во второй раз.

Ответ. Принесено 312 орехов.

24. Пять братьев разделили наследство отца поровну. В наследстве было 3 дома. Три дома нельзя было делить , их взяли три старших брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти деньги между собою, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Р е ш е н и е:

1) 3∙800=2400 (руб. ) - дали старшие братья младшим;

2) 2400:2=1200 (руб. ) - получил каждый из младших братьев;

3) 1200+800=2000 (руб. ) - стоил каждый дом.

Ответ. 2000 рублей стоил дом.

25. Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий - втрое больше второго, четвертый - вчетверо больше третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?

Р е ш е н и е:

Пусть первый дал 1 часть, тогда второй 2 части, третий 6 частей, четвертый - 24 части, а всего 1+2+6+24=33 части. Тогда первый дал 132:33=4.

Ответ. Первый дал 4.

26. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких - по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Р е ш е н и е:

Допускаю, что со всех больших пирамид снимаю по 2 кольца. Тогда всех колец было бы 20х5=100, а по условию задачи их 128. То есть я снял 128-100=28 колец. Т. к. с каждой большой пирамиды я снял по 2 кольца, то больших пирамид было 28:2=14.

Ответ. Было 14 больших пирамид.

27. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рубля? (1 аршин =71 см).

Р е ш е н и е:

1) 138х3=414(руб. ) - заплатили бы, если бы сукно было черное;

2) 540-414=126 (руб. ) - переплата за все синее сукно;

3) 5-3=2 (руб. ) - переплата за 1 аршин синего сукна;

4) 126:2=63 (аршина) - было синего сукна;

5) 138-63=75 (аршина) - было черного сукна.

Ответ. 63 аршина и 75 аршина.

28. Три утенка и 4 гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2 кг 400 г. Сколько весит один гусенок?

Р е ш е н и е:

Запишу коротко условие задачи:

3у+4г=2500 (1)

4у+3г=2400

Сложив эти уравнения, получаю: 7у+7г=4900, следовательно, 1у+1г=700.

3у+3г=2100(2).

Сравнивая уравнения(1) и (2), имею вес одного гусенка - 400 г.

Ответ. Гусенок весит 400 г.

29. Алеша и Борис вместе весят 82 кг, Алеша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алеша, Вова и Боря?

Р е ш е н и е:

1 способ:

Сравнивая два первых условия имею, что Боря легче Вовы на 1 кг, а вместе они весят 85 кг. Боря весит (85-1):2=42 кг, а Алеша, Боря и Вова вместе весят 42+83=125 кг.

2 способ:

Если записать краткое условие задачи так:

И сложить левые и правые части равенств, то получаю:

2(А+Б+В) =250, откуда А+Б+В=125.

Ответ. Мальчики вместе весят 125 кг.

30. Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

Р е ш е н и е:

1 способ:

1) 30:10=3 (ч)

2) 5∙3=15 (км)

3) 30-15=15 (км)

4) 10+5=15(км/ч)

5) 15:15=1(ч)

6) 3+1=4(ч)

2 способ:

Решение задачи можно упростить, заметив, что в задаче речь идет о движении навстречу друг другу с удвоенным расстоянием.

1) 30∙2=60 (км)

2) 10+5=15 (км/ч)

3) 60:15=4(ч)

Ответ. Велосипедисты встретились через 4 часа.

31. Одна бригада может выполнить задание за 9 дней, а вторая - за 12 дней. Первая бригада работала над выполнением этого задания 3 дня, потом вторая бригада закончила работу. За сколько дней было выполнено задание?

Р е ш е н и е:

1) 1:9=1/9 (задания) - выполнит первая бригада за 1 день;

2) 19∙3=13 (задания) - выполнила 1 бригада за 3 дня;

3) 1-1/3=2/3 (задания) - выполнила 2 бригада;

4) 1:12=1/12 (задания) - выполнит 2 бригада за 1 день;

5) 2/3:1/12=8 (дней) - работала 2 бригада;

6) 3+8=11 (дней) - затрачено на выполнение задания.

Ответ. Задание выполнено за 11 дней.

32. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза - за два месяца, овца - за три месяца. За какое время лошадь, овца и коза съедят такой же воз сена?

Р е ш е н и е:

Пусть лошадь, коза и овца съедят воз сена за 6 месяцев. Тогда лошадь съедает 6 возов, коза - 3, овца - 2. Всего 11 возов, значит, в месяц они съедают 116воза, а один воз съедят за 1: 116 =611месяцев.

Ответ. За 611месяца.

33. Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить дом за 1 год, второй - за 2 года, третий - за 3 года, четвертый - за 4 года. Спрашивается, за сколько лет они построят дом при совместной работе?

Р е ш е н и е:

За 12 лет каждый плотник в отдельности сумеет построить: первый 12 домов, второй - 6 , третий - 4, четвертый -3. Т. о. , за 12 лет они могут построить 25 домов. Следовательно, один дом все вместе они сумеют построить за 265∙12/25=175,2 дней.

Ответ. Дом построят за 175,2 дней.

34. Катер проплывает некоторое расстояние по озеру за 6 часов, а по течению реки - за 5 часов. Сколько времени потребуется плоту на такое же расстояние?

Р е ш е н и е:

1 способ: арифметический

Приму все расстояние за 1, тогда за 1 час катер проходит по течению 1/5, а по озеру 1/6 всего расстояния; по течению на 1/5-1/6=1/30 расстояния больше - это и есть часть расстояния, на которую в час течение сносит все предметы. Значит, то же расстояние плот проплывет за 30 часов.

2 способ: арифметический

1) 1:5=1/5

2) 1:6=1/6

3) 1/5-1/6=1/30

4) 1:1/30=30

3 способ: алгебраический

Пусть х км - данное расстояние, тогда

1) х:5=х/5(км/ч) - скорость катера по течению;

2) х:6=х/6(км/ч) - скорость катера в стоячей воде;

3) х/5-х/6=х/30(км/ч) скорость течения;

4) х:х/30=30(км/ч) потребуется плоту на такое же расстояние.

Ответ. Плоту потребуется 30 часов.

35. За 1 час прогулочный катер может проплыть 10 км против течения или 15 км по течению реки. На какое наибольшее расстояние он может удалиться от пристани и вернуться обратно во время часовой прогулки?

Р е ш е н и е:

На 1 км по течению и 1 км против течения катер тратит 1/10+1/15=1/6 часов. Тогда за 1 час катер может удалиться от пристани на 1:1/6=6 км и вернуться обратно.

Ответ. Катер удалится на расстояние 6 км.

36. Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады - за 18 дней; первая и третья - за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

Р е ш е н и е:

1) 1:9=1/9 (задания) - выполняют 1 и 2 бригады за 1 день;

2) 1:18=1/18(задания) - выполняют 2 и 3 бригады за 1 день;

3) 1:12=1/12 (задания) - выполняют 1 и 3 бригады за 1 день;

4) (1/9+1/18+1/12):2=1/8(задания)-выполняют три бригады за 1 день совместной работы.

5) 1:1/8=8 (дней) - время выполнения задания тремя бригадами.

Ответ. Потребуется 8 дней.

37. Теплоход от Киева до Херсона идет трое суток, а от Херсона до Киева четверо суток (без остановок). Сколько времени будут плыть плоты от Киева до Херсона?

Р е ш е н и е:

1 способ: арифметический

Пароход в сутки проходит по течению реки 1:3=1/3 пути, а против течения 1:4=1/4 пути. Вычту (1/4) из 1/3, получу 1/12, но это еще не скорость течения: полученный результат надо разделить на 2. Плоты за сутки проходят 1/24 пути, значит, весь путь пройдут за 1:1/24=24 дня.

2 способ: алгебраический

Пусть х км- расстояние от Киева да Херсона, тогда скорость парохода по течению х3 км/сут, против течения х4 км/сут.

1) х3- х4 =х12 (км/сут) - удвоенная скорость течения;

2) х12:2=х24 (км/сут) - скорость течения;

3) х:х12 =24 (сут. ) - время движения плота.

Ответ. Плоту потребуется 24 суток.

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Логика - это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация <<замаскирована>>, представлена неявно, и надо уметь её извлечь. Как известно, видение рождает мышление. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить в виде единой целой. Видеть ход доказательства и решения задач позволяет метод граф - схем, который делает доказательство более наглядным и позволяет кратко и точно изложить доказательства теорем и решения задач.

Что следует понимать под логической задачей? <<Логической задачей в учебной практике обычно называют небольшую проблему, которая в общем случае решается с помощью логических умозаключений, математических действий и эксперимента на основе законов и методов математики>>.

Решение логических задач - одно из важнейших средств развития мыслительных способностей.

Логические задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы. Язык графов прост, понятен и нагляден. Логические задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. С другой стороны, такие задачи труднее поддаются формализации, чем, например, школьные задачи по алгебре, для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку.

РЕШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса решили согласовать по телефону. Было также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Почему сорвалось посещение?

Р е ш е н и е:

Рисую пять точек и обозначаю их буквами А,Б,В,Г,Д (рисунок 7). Это первые буквы имен детей. Затем соединяю те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят. Например: Андрей созвонился с Борисом и Володей, поэтому я провел отрезки АБ и АВ. После того, как я нарисовал все такие отрезки, получился рисунок, из которого видно, что каждый из трех ребят - Андрей, Борис и Володя - созвонился со всеми остальными. Поэтому эти ребята и пришли к кинотеатру. А Галя и Даша не сумели созвониться между собой (точки Г и Д не соединены отрезком) и поэтому в соответствии с договоренностью в кино не пошли.

2. Однажды рано утром кто-то принес букет цветов и поставил его в азу на учительском столе. Когда ребята собрались, учительница спросила: <<А знаете ли вы, кто принес цветы?>>. Ребята стали гадать. Были высказаны различные предположения: цветы принесли Андрей и Борис, Андрей и Даша, Андрей и Сергей, Борис и Даша, Борис и Володя, Володя и Галя, Галя и Даша. Учительница сказала, что в одном из этих предположений одно имя названо правильно, а второе - неправильно. Во всех же остальных предположениях оба имени названы неправильно. Кто же принес цветы?

Р е ш е н и е:

Выполняю рисунок, аналогично предыдущей задаче (рисунок 8). Замечаю, что в высказанных предположениях заслуживает внимание только то, в котором одно из указанных имен названо правильно. Это означает, что я должен получить такой отрезок, одному из концов которого соответствует правильно названное имя. Но этот конец не может быть общим концом нескольких отрезков, так как правильно названное имя содержится только в одном - единственном предположении. Значит, на рисунке надо искать такую точку, которая является концом одного - единственного отрезка. На рисунке только одна такая точка - это точка С. Следовательно, цветы принес Сергей.

3. На соревнованиях по легкой атлетике Андрей, Володя, Сергей и Борис заняли четыре первых места. Но когда девочки стали вспоминать, как эти места распределились между победителями, то мнения разошлись. Было высказано три мнения. Даша сказала, что Андрей был первым, а Володя - вторым. Галя утверждала, что Андрей был вторым, а Борис - третьим. Лена же была убеждена, что Борис был четвертым, а Сергей - вторым. Известно, что эти утверждения противоречат друг другу. Тогда девочки обратились к Асе, которая была судьей на этих соревнованиях и поэтому хорошо помнила, как распределились места. Ася сказала, что каждая из трех девочек сделала одно правильное и одно неправильное заявление. Восстановите истину.

Р е ш е н и е:

Мнения всех девочек изображу графически. Даша сказала, что Андрей был первым, а Володя - вторым. Поэтому я провел одну жирную линию между кружочками А и 1 и другую - между кружочками В и 2. Мнение Гали я отметил пунктирными линиями, а мнение Лены - обычными линиями.

Ася сказала, что каждая девочка сделала только одно правильное заявление. Значит, из каждой пары одинаковых линий - жирных линий, пунктирных линий и обычных линий - надо оставить только по одному компоненту пары. Начну с жирных линий. Возможен только один из двух случаев: либо истинно только А1, либо истинно только В2 (т. е. либо Андрей занял первое место, а Володя второе место не занял, либо, наоборот, Володя занял второе место, но Андрей первое место не занял).

Допустим, что истинно В2, А1 ложно. Так как А1 ложно, то линию А1 надо стереть. Далее, так как В2 истинно, то, кроме Володи, второе место никто занять не мог. Поэтому надо стереть А2 и С2. После этого получится

От каждой пары одинаковых линий осталось по одной. Я из каждой пары сотру тот компонент, который был ложным. Значит все оставшиеся компоненты должны быть истинными (т. к. в каждой паре было ровно по одному правильному заявлению). Но это невозможно, т. к. Борис не мог одновременно занять третье и четвертое места. Значит, мое предположение неверно.

Рассмотрим теперь второй случай. Вернемся к рисунку 9. Допустим, что А1 истинно, а В2 ложно. Значит, В2 надо стереть. Далее, т. к. А1 истинно, то А2 ложно (Андрей не мог занять сразу первое и второе места). Значит, стираем А2. Но если А2 ложно, то второй компонент этой пары Б3 должен быть истинным. А если Б3 истинно, то Б4 ложно. Значит, стираем Б4.

Ответ: А1, С2, Б3, В4.

4. Имелось пять человек: Андреев, Борисов, Иванов, Петров и Сидоров. Профессии у них были разные: один из них - маляр, другой - плотник, третий - штукатур, четвертый - каменщик, пятый - электрик. Они рассказали о себе следующее.

Петров и Иванов никогда не держали в руках малярной кисти. Петров и Борисов живут в одном доме со штукатуром. Андреев и Петров подарили электрику красивую вазу. Борисов и Петров помогали плотнику строить гараж. Борисов и Сидоров по субботам встречаются у электрика, а штукатур по воскресеньям приходит в гости к Андрееву.

Требуется узнать, у кого из них какая профессия.

Р е ш е н и е:

Построю таблицу: фамилия маляр плотник штукатур каменщик электрик

Андреев

Борисов

Сидоров

Рассуждаю следующим образом.

Из первого условия видно, что Петров и Иванов не маляры. Значит, в столбце <<маляр>> против фамилий ставлю прочерки. Из второго условия следует, что Петров и Борисов не штукатуры. Значит, в столбце <<штукатур>> против этих фамилий тоже ставлю прочерки. Аналогично ставлю прочерки, соответственно всем остальным условиям. Я получил картину, зафиксированную в таблице. Теперь видно, что в столбце <<электрик>> есть только одна свободная клетка. Значит, электрик - это Иванов. В соответствующей клетке ставлю точку. Но поскольку Иванов - электрик, то все остальные специальности не его профессии, и поэтому, в строке <<Иванов>> я везде (кроме клетки с точкой) ставлю прочерки.

Замечаю, что в строке <<Петров>> есть тоже только одна свободная клетка. Значит, Петров - каменщик. В соответствующей клетке ставлю точку и в столбце <<каменщик>> прочеркиваю все остальные клетки.

После этого в строке <<Борисов>> окажется только одна свободная клетка. Значит, Борисов - маляр. Ставлю точку в этой клетке и прочеркиваю все остальные клетки столбца <<маляр>>. Поступаю дальше аналогичным образом, узнаю, что Андреев - плотник, а Сидоров - штукатур.

5. Собрались однажды одноклассники: Антонов, Борисов, Кириллов и Дроздов. Выяснилось, что их отцы работают в одном и том же конструкторском бюро, все хотят отдыхать летом и поэтому при составлении графика отпусков у них всегда возникают бесконечные споры. Ребята решили устроить родителям сюрприз и разработать для них такой график, который устраивал бы всех. График составляется на 4 года. Отпуск должен планироваться только на четыре месяца, с мая по август. Продолжительность отпуска - один месяц. В течение каждого месяца в отпуск может пойти только один человек. За четыре года каждый из четырех сотрудников должен получить отпуск по одному разу в каждый из этих месяцев. Кроме того, должны быть соблюдены следующие условия: в первый год Кириллов должен отдыхать в июле. Во второй год Антонову отпуск нужен в мае. В третий год Дроздову отпуск нужен в июне. Борисову на четвертый год надо запланировать отпуск в июле. А в августе все хотят отдыхать следующим образом: в первый год - Дроздов, во второй - Кириллов, в третий - Борисов, в четвертый - Антонов. Возможно ли это.

Р е ш е н и е:

Строю таблицу:

Фамилия

Первый год

Второй год

Третий год

Четвертый год

Антонов

Борисов

Кириллов

Дроздов

Рассмотрю общую часть строки <<Кириллов>> и столбца <<третий год>>. Это пустая клетка. В остальных же клетках этой строки и этого столбца записаны следующие три месяца: июнь, июль, август (август записан даже дважды). Подумаю, какой же месяц можно вписать в пустую клетку, находящуюся на пересечении рассматриваемых строки и столбца. Ни один из перечисленных выше трех месяцев в эту клетку вписать нельзя, т. к. это приведет к тому, что в строке или в столбце название оного из месяцев оказалось бы записанным дважды. Значит, из четырех летних месяцев три перечисленных выше месяца не подходят. Следовательно, в пустую клетку на пересечении строки <<Кириллов>> и столбца <<третий год>> можно вписать только месяц май. После этого в рассматриваемой строке, а также и в рассматриваемом столбце останется по одной свободной клетке, которую теперь легко заполнить. Далее снова обнаруживаются строки или столбцы с одной - единственной свободной клеткой.

Получился следующий график:

Фамилия

Первый год

Второй год

Третий год

Четвертый год

Антонов

Борисов

Кириллов

Дроздов

6. Учащиеся 5 классов в воскресенье посетили университет. Там им показали лабораторию, выступил эстрадный квартет. Это были студенты четырех различных факультетов: математического, физического, исторического и биологического. Их звали Андрей, Леонид, Михаил и Валерий. Один из них был пианистом, другой - саксофонист, третий - контрабасист, а четвертый - ударником. Они рассказали о себе следующее.

Михаил играет на саксофоне, а Леонид - на контрабасе. Пианист - будущий физик, Михаил не историк, Андрей не биолог и не пианист. Ударника зовут не Валерием, и он не историк.

Из этих высказываний трудно было понять, кто из этих ребят на чем играет и где учится. Опять вопрос: кто есть кто?

Р е ш е н и е:

Имя пианист саксофонист контрабасист ударник

Ф-Б (-)

И(-) Б(-)

Валерий

Так как Михаил играет на саксофоне, а Леонид - на контрабасе, в соответствующих клетках ставлю точки. Во всех остальных клетках тех строк и тех столбцов, которые проходят через отмеченные точками клетки, ставлю прочерки. Остались незаполненными только 4 угловые клетки.

Обращаюсь к другим условиям. Пианист - физик. Значит, в столбце <<пианист>> в свободных клетках запишу букву Ф. Михаил не историк. Значит, в строке <<Михаил>> в тех клетках, где нет прочерков, записываю И(-). Андрей не биолог. Значит, в строке <<Андрей>> в клетках без прочерков записываю

Б(-). Известно также, что Андрей не пианист. Значит, в соответствующей клетке ставлю прочерк. Ударник не Валерий. Значит, снова в соответствующей клетке ставлю прочерк. Последнее условие гласит: ударник не историк. Значит, в столбце <<Ударник>> в клетках без прочерков запишу

Теперь вижу, что без прочерков остались только 2 клетки. Значит Валерий - пианист, а Андрей - ударник.

Осталось узнать, кто из них где учится. Известно, что Валерий - физик. Значит, остальные ребята физиками быть не могут, т. к. все они учатся на разных факультетах. Про Андрея известно, что он не историк и не биолог. Но так как он еще и не физик, то остается только одно: Андрей - математик. Значит, оставшиеся двое ребят не могут быть не физиками, ни математиками. Но т. к. известно, что Михаил к тому же еще и историк, то Михаил - биолог. Следовательно, Леонид - историк.

7. Известно, что в классе 36 человек, а кружки посещают: математический - 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10 человек. Возможно ли это? Сколько человек не посещают кружки?

Р е ш е н и е:

На нем большой круг - это количество всех учеников класса. Внутри этого круга я изобразил три круга меньшего диаметра: эти круги изображают соответственно множества членов математического (М), физического (Ф) и химического (Х) кружков.

Общей части всех этих кругов соответствует множество ребят, посещающих все три кружка. Поэтому эту часть я обозначил МФХ. Через МФХ я обозначил ту область, которая изображает множество ребят, посещающих математический и физический кружки, но не посещающих химический кружок. Аналогичным образом обозначены и все остальные области.

В математике рисунки подобного рода используются очень давно. Распространению этого метода во многом способствовал знаменитый математик Леонард Эйлер. Поэтому круги, изображаемые на рисунках подобного рода, часто называют кругами Эйлера.

В область МФХ впишу число 2, т. к. все три кружка посещают 2 человека. Далее известно, что посещающих математический и физический кружки было 8. Значит, в область МФ впишу число 8. Но область МФ состоит из 2 частей: МФХ и МФХ, причем В МФХ входят 2 человека. Значит, на долю МФХ остается 6. Теперь рассмотрю область МХ, на которую приходится 5 человек. Эта область тоже состоит из двух частей. На МФХ приходится 2. Значит, на МФХ приходится 3.

Рассмотрю область М, на которую приходится 18 человек. Эта область состоит из четырех частей. Количественный состав я уже нашел: это соответственно 6, 2 и 3. Значит на четвертую часть приходится 18-(6+2+3)=7 человек.

Аналогичным образом можно вычислить количественный состав всех остальных областей. Теперь можно подсчитать число ребят, посещающих хотя бы один кружок. Для этого надо просто сложит все числа, записанные внутри кругов М,Ф,Х. Получится 28. А всего в классе 36 человек. Значит, на долю области МФХ приходится 8 человек. Следовательно, 8 человек не посещают кружки.

Одним из первых, кто разрабатывал метод решения задач с помощью кругов Эйлера, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 - 1783). Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые <<Письма к немецкой принцессе>>, написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих <<Писем.>> Эйлер как раз и рассказывает о своем методе. После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 - 1848).

Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841 - 1902). Этот метод широко используется в книге <<Алгебра логики>>. Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 - 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге <<Символическая логика>>, изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера - Венна. Эти диаграммы могут быть построены по - разному.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель, которую я поставил перед собой, мной реализована. Работа над проектом вызвала интерес и увлекла меня. Эта работа потребовала от меня не только определенных математических знаний и настойчивости, но и дала мне возможность почувствовать огромную радость самостоятельного открытия.

В своей работе мною решено 44 задачи, для каждой я привожу не все способы решения, а лишь принципиально различные. Алгебраический способ позволяет закрепить навыки решения текстовых задач, приобретенные на уроках. Арифметический способ и способ подбора помогут развитию навыков устного счета, иногда они позволяют значительно упростить решение.

Известно, что решение задач - это практическое искусство, подобное плаванию или игре на фортепиано. Научиться ему можно только подражая хорошим образцам, постоянно практикуясь. В моем проекте нет волшебного ключа, открывающего все двери, позволяющего решать все задачи. Работа над проектом явилась для меня открытием.

Размышляя над тем, что сделано мною для реализации цели, я пришел к выводам:

+ Наблюдение может привести к открытию;

+ Лучший способ изучить что-либо - открыть это самому;

+ Нужно отыскать в задаче то, что может пригодиться при решении других задач (т. е. обнаружить общий метод);

+ Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью я получаю опыт работы с величинами, постигаю взаимосвязи между ними, получаю опыт применения математики к решению практических задач;

+ Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению;

+ Арифметические способы решения текстовых задач позволяют воспитывать логическую культуру;

+ Использование исторических задач обогащает опыт мыслительной деятельности.

В результате изученной темы было выяснено, что существует множество различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также я научился правильно анализировать задачи и решать их разными методами. Арифметические способы решения текстовых задач имеют больший развивающий потенциал, чем универсальный алгебраический способ решения. Тем не менее, в наше время предпочтение отдаётся алгебраическому способу.

Эта работа способствовала более глубокому пониманию школьной программы и расширению кругозора.

Данный материал будет полезен учащимся, интересующимся математикой. Его можно использовать на некоторых уроках и на факультативных занятиях.