Hi-Tech  ->  Программы  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

История открытия функции

На протяжении всего школьного курса мы сталкиваемся с функциями и графиками. До 11 класса – это простые функции, в 11 классе изучаются сложные функции, однако, им уделяется не так уж много внимания. Особенно это касается методов построения графиков таких функций. А ведь это, пожалуй, один из самых интересных вопросов в курсе алгебры. Более того, графики сложных функций чаще всего получаются очень красивыми и необычными, поэтому изучение этого материала приносит не только практическую пользу, но и в какой-то мере эстетическое удовлетворение. Я решила написать этот реферат с целью заполнить такой обидный пробел в школьном курсе и ознакомить учащихся с методами построения графиков сложных функций.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их предметы взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что:

• чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода;

• чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела;

• чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

Когда возникли первые цивилизации, образовались большие армии, началось строительство гигантских пирамид, древние учёные стали составлять таблицы для облегчения вычислений. В Древнем Вавилоне были составлены таблицы для функций y=, y=, y=, y=.

Понятие переменной величины было введено в науку французским учёным и математиком Рене Декартом (1596-1650). Он ввёл идею числовой функции числового аргумента. При записи зависимостей между величинами Декарт стал применять буквы. Он начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа.

Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик – Пьер Ферма (1601-1665). Он был советником тулузского парламента и занимался математическими исследованиями лишь в свободное время. Тем не менее, Ферма получил ряд первоклассных результатов в различных областях математики.

Термин «функция» начал применять в конце XVII века Лейбниц (1646-1716) и его ученики.

Определение функции, приближенное к современному, дал Иоганн Бернулли: «Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

2. 2 Определение функции и графика. Свойства функции

Современное определение функции разительно отличается от определения, данного Бернулли. Функция, или функциональная зависимость – это такая зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является значением функции.

В математике есть 4 способа задания функции:

1. С помощью таблицы.

2. Графический.

3. С помощью формулы.

4. Описательный.

Подробнее всего функцию описывает график. Графиком функции называют множество точек координатной плоскости вида , где - любое число из области определения функции. Область определения – это все значения, которые может принимать независимая переменная (аргумент функции). Кроме области определения существует ещё и область значений – это все значения, которые может принимать зависимая переменная. Эти свойства функции являются важнейшими, но есть и другие немаловажные свойства: промежутки знакопостоянства, монотонность, нули функции, разрывность, периодичность, ограниченность, чётность/нечётность. С помощью графика можно исследовать практически все свойства функции. В качестве примера рассмотрим график функции - тангенсоиду. Область определения этой функции , область значений (изменения) , она нечётная (так как ), периодическая с главным периодом (то есть ), непрерывна на интервале , возрастает на интервале, равна нулю при =0+πk.

2. 3 Виды функций

Существуют разные виды функциональных зависимостей: линейная, квадратичная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, степенная и многие другие. Однако эти являются самыми известными. Например, график квадратичной функции выглядит следующим образом .

Но есть и необычные, малоизвестные графики функций. К таким графикам относится трактриса или собачья кривая. Открытие трактрисы, произошедшее случайно, принадлежит немецкому учёному Готфриду Вильгельму Лейбницу. Этот математик предложил своим ученикам задачу: «пусть по оси абсцисс бежит собака, а ее хозяин (первоначально находившийся на оси ординат) бежит за ней так, что поводок все время натянут. В этом случае поводок будет направлен по касательной к пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки». Из задачи и пришло название «собачья кривая». Выглядит она следующим образом .

Все выше рассмотренные функции являются простыми. Однако существуют и сложные функции, которые называют также суперпозицией нескольких функций. Пусть функция определена на множестве G и функция определена на множестве X и множество всех её значений принадлежит множеству G. Тогда любому X функция ставит в соответствие число G, а этому числу u функция f ставит в соответствие число y, то есть y является функцией от на множестве X. Другими словами, получена функция , определенная на множестве X.

Сложной функцией называется не только суперпозиция нескольких простых функций. Кусочно-заданная функция тоже относится к сложным функциям. Простейшим примером такой функции является функция , которая определяется так:

График этой функции представлен на рисунке 4. Ещё яркими примерами кусочно-заданной функции являются («сигнум» x - знак x) и функция Дирихле. Фукнкция задается следующим образом:

Построение графиков сложных функций отличается от построения графиков простых функций. Для этого используются методы, описанные далее.

2. 4 График сложения и вычитания функций

Рассмотрим сложную функцию. Она состоит из двух простых функций: и. Сначала построим график. Он представляет собой биссектрису и четвертей координатной плоскости. Затем построим в той же координатной плоскости график функций. Теперь следует сложить эти графики для получения графика заданной сложной функции. Для этого необходимо: а) найти общую область определения этих функций. В данном случае ; б) произвести сложение ординат точек графиков, входящих в область определения.

В итоге, мы получили синусоиду, вытянутую вдоль биссектрисы и четвертей координатной плоскости .

Вычитание – действие обратное сложению. Для того чтобы вычесть графики функций необходимо произвести те же операции, что и при сложении графиков. В качестве примера рассмотрим сложную функцию. Разобьем её на две более простые функции: и. Построим графики в одной координатной плоскости. Их общая область определения. Теперь следует произвести вычитание ординат точек графиков .

2. 5 График умножения и деления функций

Пусть даны функции и. Тогда функция имеет область определения (существования) X, а имеет область определения , которая есть пересечение областей существования функций и. Значит, для построения графика нужно: а) найти общую область определения функций, входящих в сложную функцию; б) произвести умножение или деление ординат точек, входящих в эту область определения.

Рассмотрим график функции. Для этого разобьём эту функцию на три более простые функции: , и. Найдём пересечение областей существования этих графиков, то есть область определения сложной функции. Затем построим эти графики и перемножим их ординаты. В итоге, график окажется таким .

Теперь построим график функции. Вновь разобьем функцию на две простых. в данном случае будет равна. Построим оба графика и ординаты поделим .

2. 6 Красивые графики

Как уже говорилось во введении, графики сложных функций могут принести и эстетическое удовольствие. Например, график функции. Его части несколько похожи на змей, поднявших голову.

Заключение

Надеюсь, что в своей работе я сумела достаточно понятно изложить методы построения графиков сложных функций и разобрать их. С подобными графиками мы неоднократно встречаемся на уроках физики при изучении волновых явлений, кинематики и динамики, а так же при изучении многих других дисциплин. Думаю, что мой реферат поможет учащимся лучше освоить этот материал и

Приложение

1. Бернулли Иоганн (1667-1748 гг. )

Швейцарский математик. Был сотрудником Лейбница в разработке дифференциального и интегрального исчислений, в области которых им был сделан ряд открытий. Дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений, продвинул разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашел характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение.

2. Декарт Рене (1596-1650 гг. )

Французский философ, математик, физик. Он является одним из основоположников аналитической геометрии. В его главном математическом труде "Геометрия" (1637) впервые введено понятие переменной величины, создан метод координат (декартовы координаты), введены общепринятые теперь значки для переменных величин (x,y,z,. ) буквенных коэффициентов (a,b,c,. ), степеней (x3, a5,. ). Декарт положил начало ряду исследований свойств уравнений; сформулировал правило знаков для определения числа положительных и отрицательных корней (правило Декарта); поставил вопрос о границах действительных корней и выдвинул проблему приводимости (представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения двух функций такого же рода); указал, что уравнение третьей степени разрешимо в квадратных радикалах и его корни находятся с помощью циркуля и линейки, когда оно приводимо.

3. Ферма Пьер (1601-1665 гг. )

Французский математик. Получил важные результаты в теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятности. Автор ряда выдающихся работ. Ферма является одним из создателей теории чисел, с его именем связаны великая и малая теоремы Ферма. Вместе с Декартом является основоположником аналитической геометрии. В области метода бесконечно малых дал общее правило дифференцирования степенной функции, которое распространил на любые рациональные показатели.

4. Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 гг. )

Немецкий математик. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. Впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда (так называемый признак Дирихле), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функций, имеющей конечное число максимумов и минимумов.

5. Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716 гг. )

Немецкий математик, физик, философ, изобретатель, историк, языковед. В математике его важнейшей заслугой является разработка (наряду с Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления. Дал определения дифференциала и интеграла, разработал правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного любой постоянной степени, дал определения экстремальных точек и точек перегиба, установил взаимно обратный характер основных операций анализа - дифференцирования и интегрирования. Заложил основы теории рядов и теории дифференциальных уравнений. Им предложены математические символы и термины, вошедшие во всеобщее применение - функция, дифференциал, дифференциальные уравнения, алгоритм, координаты, алгебраические и трансцендентные кривые, модель и др. Изобрел счетную машину и первый интегрирующий механизм, предвосхитил некоторые идеи матлогики, изложил начала теории определителей.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)