Дом  ->  Домашние животные  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Старинные занимательные задачи на уроках математики

Одним из наиболее распространённых способов включения историко-математического материала в содержание уроков математики является решение старинных задач занимательного содержания. Основными условиями включения таких задач в содержание курса математики являются: соответствие метода (способа) решения задачи уровню знаний учащихся, возможность сравнить старинный способ решения задачи с современным, возможность использования наглядности в процессе анализа условия задачи, информационно-познавательная (в историческом, мировоззренческом, философском плане) компонента содержания задачи, создание на уроке так называемой ситуации успеха, позволяющей каждому ученику принять посильное участие в решении задачи, знание учителем не только осовремененной, но и старинной трактовки задачи, возможность вернуться к задаче при дальнейшем изучении математики.

Проиллюстрируем один из способов работы с исторической задачей.

Задача. В одном городе у великой реки люди очень любили кошек. В семи домах этого города держали по стройной изящной гладкошёрстной кошке в каждом. Эти кошки были превосходными охотницами и очень любили ловить мышей. Однажды каждая из них поймала и съела по семь толстых мышек. Каждая из мышек до этого успела уже съесть по семь колосков, каждый из которых, не будь он съеден мышкой, дал бы по семь мер зерна земледельцу. Хотелось бы знать, сколько всего было в семи домах города у великой реки стройных кошек, сколько они однажды съели толстых мышей, сколько всего колосков успели съесть пойманные кошками мышки и сколько мер зерна не досчитались в урожае земледельцы благодаря зловредному аппетиту съеденных грызунов?

Впервые к этой задаче можно обратиться уже во втором классе, когда изучается умножение чисел, и вырабатываются умения по решению «задач на умножение», имеющих структуру:

Штук в одном объекте – количество объектов – всего штук.

Эту же структуру имеют следующие виды задач: Цена – количество – стоимость;

Скорость – время – расстояние; Производительность – время – объём работ.

Детей на данном этапе обучения математике учат распознавать задачи указанных видов и использовать для решения следующую таблицу:

Штук в одном объекте умножить количество объектов равно всего штук а ( в = с

5 ( 17 = ?

5 ( 17 = 85

? ( 17 = 85

5 ( ? = 85

Для того, чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. 85 : 17 = 5 и 85 : 5 = 17

В дальнейшем учащимся предлагается использовать сокращенный вариант таблицы:

Штук в одном объекте количество объектов всего штук

5 ( 17 = 85

? 17 85

85 : 17 = 5

85 : 5 = 17

Данная выше историческая задача удовлетворяет всем условиям её включение в содержание школьного курса.

Условие (1) выполняется, поскольку данная задача разбивается на четыре задачи изученного ранее вида (задачи структуры Штук в одном объекте – количество объектов – всего штук), решение каждой из которых опирается на результат предыдущей задачи.

Таблица 1

Штук в одном объекте количество объектов всего штук

Кошек в 1 доме количество домов всего кошек

1 ( 7 = 7 (стройных кошек)

Мыши, съеденные 1 кошкой количество кошек всего съедено мышей

7 ( 7 = 49 (толстых мышей съели кошки)

Колоски, съеденные 1 мышью количество мышей всего съедено колосков

7 ( 49 = 343 (колосков успели съесть мыши)

Мер зерна с 1 колоска количество колосков всего мер зерна

7 343 ?

7 ( 343 = 2401 (мер зерна не досчитались в урожае земледельцы)

Информационно-познавательная компонента присутствует в содержании задачи, и именно с неё начинается (Эта задачка из очень старого учебника математики, составленного когда-то в Древнем Египте и сохранившегося до наших дней на одном из папирусов. В XVIII веке до нашей эры этот папирус был переписан с какого-то ещё более древнего папируса, оригинал которого не сохранился) и ею заканчивается знакомство с задачей (Кроме самой задачки, в папирусе есть и совершенно правильное её решение, которое вполне по силам любому современному школьнику, знакомому с умножением, так что, кто хочет, может убедиться в этом сам. Заметим только, что автор, живший на берегах Нила около четырёх тысячелетий тому назад, придумал эту задачку не просто так. Её решение образует строгую геометрическую прогрессию со знаменателем равным 7. О том, что такое прогрессия мы с вами узнаем только составленное с её помощью алгебраическое выражение в 8(9) классе. В стране неучей, где не знают математических законов, не овладели навыками арифметики, такой задачи просто не может быть. Из этого легко сделать почти математический по точности вывод: Египет страной неучей не был, и математику там знали совсем неплохо. Да и странно было бы в том усомниться, увидев египетские пирамиды совершенно правильной формы, с чётко выверенными сторонами и углами, где каждый камень лежит на своём месте и всё доведено почти до совершенства). Можно сказать, что условие (4) включения задачи в содержание школьного курса математики выполняется.

Задача для второклассников, безусловно, сложна, так как требует выделения ряда подзадач. Объём оперативной памяти в этом возрасте у детей недостаточен для того, чтобы совершить требуемое выделение мысленно. Следовательно, необходимы средства наглядности, помогающие совершить данную операцию. Предлагаем для этого использовать схематическую запись условия задачи и применением стилизованных изображений (рисунков). В схеме стрелками обозначены связи между объектами. Наличие одной стрелки соответствует логической связке «для каждого – одно». Наличие нескольких стрелок соответствует логической связке «для каждого столько сколько стрелок».

Можно использовать другие способы установления вязи между объектами, главное, довести до сознания каждого ученика смысл вводимых условных обозначений.

Процесс «рисования условия» задачи поможет младшим школьникам лучше осознать её суть и понять решение. Кроме того, учащиеся находятся при этом в такой ситуации, когда деятельность (рисование) каждого ученика «по решению задачи» можно считать успешной.

Таким образом, выполняются 3) и (5) условия включения задачи в содержание школьного курса математики.

К данной задаче можно вернуться в 4-6 классах, когда учащиеся решают сложные (в несколько действий) задачи, используя в процессе поиска решения соответствующие таблицы. На этом этапе обучения дети знакомятся с различными математическими (алгебраические выражения, уравнения) и информационными (схемы и таблицы) моделями; учатся представлять данные задачи, используя различные модели; переходить от одних моделей к другим с учётом принципа рациональности решения. Именно теперь становится актуальной идея выбора более рационального (простого, красивого, компактного и т. д. ) решения, выполняется условие (2) включения задачи в содержание школьного курса математики.

Итак, учащиеся могут предложить следующие варианты записи условия и решения и обосновать свой выбор (или отметить достоинства и недостатки выбранного способа решения): таблица 1 (самая простая, но уж очень подробная: слишком много строк); схема и решение по действиям (самое наглядное и простое решение, каждое действие – ответ на вопрос задачи, но запись занимает много времени и места); схема и составленное с её помощью алгебраическое выражение (это всего лишь два различных способа записи условия задачи, вычислив значение составленного выражения мы найдём ответ на четвёртый вопрос задач, а как же первые три?), таблица 2 и решение по действиям (таблица – в 2 строки, что удобно, но вопрос в таблице один, а в тексте задачи – четыре вопроса), таблица 2 и составленное с её помощью алгебраическое выражение (ещё один вариант двух различных способов записи условия задачи, ответов на требования задачи нет), таблица 3 и решение по действиям (таблица – в 2 строки, но шапку таблицы составить было непросто, зато эта таблица включает в себя все требования задачи, каждое действие – ответ на вопрос задачи, наверное, это и есть самое рациональное решение), таблица 3 и составленное с её помощью алгебраическое выражение (ещё один вариант двух различных способов записи условия задачи, которую ещё предстоит решить).

Таблица 2

Меры Количество Всего мер с 1 колоска колосков, съеденных мышей, съеденных кошек домов

1 мышью 1 кошкой в 1 доме

7 7 7 1 7 ?

Решение.

1 · 7 = 7, – было стройных кошек;

7 · 7 = 49, – было толстых мышей;

49 · 7 = 343, – съедено колосков;

343 · 7 = 2401, – количество мер, которых не досчитались земледельцы.

Количество мер, которых не досчитались земледельцы, записывается с помощью выражения: 7·7·7·1·7=2401.

Таблица 3

Мер с Количество колосков Всего мер

1 колоска

Колоски, Количество мышей Всего колосков съеден-ные 1

Мыши, съеденные Количество кошек Всего мышей

1 кошкой

Количество кошек Домов у реки Всего кошек в 1 доме

В девятом классе при изучении геометрической прогрессии о задаче можно вспомнить ещё раз и оценить её содержание с новой точки зрения (условие (6)). Учащиеся вспоминают любой из способов записи условия и составляют новую алгебраическую модель задачи. Теперь, её можно сформулировать по-другому.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)