Способы извлечения квадратных корней

Методы решения математических задач имеют большую степень универсальности. Основой этой универсальности является язык математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной и той же проблеме совершенно по-разному, видят разные ее особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на математический язык сразу выявляет общие закономерности, и даже может дать уже практически готовое решение, полученное ранее где-то в другой отрасли знаний и для других целей.

Внедрение вычислительной техники, «информатизация» различных областей науки, проникновение математических и информатизационных методов во многие сферы человеческой деятельности, быстрый прогресс привели к тому, что навыки устного счета, навыки вычисления с помощью ручки и листа бумаги отходят на второй план.

Для современного человека самый простой способ – взять калькулятор и, в зависимости от даваемой им точности, произвести необходимые вычисления. Это умеет делать каждый.

При изучении дополнительной литературы я столкнулся с тем, что одна из тем алгебры 8 класса – «Квадратные корни», служит примером того, что вычисления проводятся чаще всего с помощью микрокалькулятора. А можно ли обойтись без калькулятора? Как в таком случае выходили из положения математики, когда калькулятор еще не был изобретен?

Цель моей работы – найти и показать те способы извлечения квадратных корней, которыми пользовались раньше и которыми можно будет воспользоваться в настоящее время, не имея под рукой калькулятора.

В процессе подготовки работы я использовал следующие методы: изучение и анализ дополнительной литературы, собеседование с учителями математики и физики, анкетирование обучающихся 9-х классов.

Из истории возникновения квадратных корней.

Точно датировать возникновение важнейших понятий — целого числа, величины, фигуры — невозможно. Когда возникла письменность, представление о них уже сложилось. К этому времени были выработаны и различные системы письменной нумерации целых чисел.

Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н. э. благодаря вавилонянам и египтянам.

2000—1700 гг. до н. э. — первые дошедшие до нас математические тексты: два египетских папируса и многочисленные глиняные таблички из древнего Вавилона, содержащие формулировки и решения задач. Наиболее замечательное достижение этого периода — создание в древнем Вавилоне элементов алгебры и открытие правила решения квадратных уравнений. Вавилоняне умели также находить приближенные значения квадратных корней из неквадратных чисел. Им были известны правила суммирования арифметической прогрессии и ряда квадратов натуральных чисел.

Математические знания излагались в эту эпоху в виде рецептов, правильность которых не доказывалась; обычно приводились однотипные числовые примеры и их решения. Математики как науки еще не было.

I—II вв. н. э. — широкое развитие вычислительно-алгебраических методов в античной математике.

Около 628 г. — Брахмагупта, оперируя отрицательными числами, дал единое правило для решения любого квадратного уравнения, сформулировал правила действий с нулем, который благодаря этому стал числом, равноправным с другими числами. Брахмагупта пользовался алгебраической символикой: специальными знаками для неизвестных и их степеней, знаками для корня квадратного, для операций сложения и вычитания.

XII в. — Бхаскара-акарья сформулировал все правила действий с отрицательными числами. Бхаскара знал, что благодаря двузначности квадратного корня квадратное уравнение может иметь два решения.

XIV—XV вв. — усовершенствована алгебраическая символика, введены обозначения для степени, для радикала и степеней неизвестного.

Этот знак называется «квадратным корнем», обозначается следующим образом:

Знак корня происходит от начальной буквы r латинского слова radix которое в переводе на русский как раз и означает корень. Происхождение этого термина станет понятнее, если мы представим себе, как квадрат «вырастает» на своей стороне.

В эпоху Возрождения европейские математики обозначали корень латинским словом radix, а затем сокращенно буквой R (отсюда произошел термин «радикал», которым принято называть знак корня). Некоторые немецкие математики XV века для обозначения квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили перед числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точки стали ставить , впоследствии знак V и над выражением, из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак V и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии» Декарта и «Всеобщей арифметике» Ньютона. Современная запись корня появилась в книге «Руководство алгебры» французского математика М. Ролля (1652 – 1719).

Результат изучения литературы, найденной мной по вопросам нахождения квадратных корней, привел меня к выводу, что алгоритмов извлечения квадратных корней существует много. Я хочу показать вам некоторые из них.

III. Способы нахождения квадратных корней.

III. 1. Способ извлечения квадратного корня, который применяли еще в Древнем Вавилоне.

Этот способ извлечения квадратного корня подробно описан древнегреческим ученым Героном Александрийским (I век до н. э. ). Рассмотрим этот способ на примере. Пусть надо извлечь квадратный корень из 2. Иначе говоря, решить уравнение: х2 = 2.

Разделим правую и левую части уравнения на х: х = , х 0.

Получается, что извлечь корень – это то же самое, что разделить данное число на другое число, но делитель надо найти такой, чтобы он был равен частному. Попробуем – наугад – разделить 2 на 1,5:

_2 (_1,5_

1,5 ( 1,33

Мы взяли делитель 1,5, частное получилось 1,33. Эти числа, к сожалению, не равны, одно велико, другое мало (вообще-то они никогда не окажутся в точности равными, потому что не существует числа, квадрат которого был бы равен 2, иначе говоря, число 2 не является рациональным), Возьмем приближенное значение их среднего арифметического:

(1,5 + 1,33) : 2 = 1,415.

Будем теперь делить 2 на это число:

_2 (_1,415_

1,415 ( 1,4134

На этот раз, взяв делителем число 1,415, мы получили частное 1,4134. Первые три цифры делителя и частного совпали, это и есть первые три цифры искомого корня. Ели вас устраивает такая точность, то можно остановиться, а если нет – действуйте по тому же правилу:

_2 (_1,4142_

1,4142 ( 1,41422

_ 32120

Теперь совпали уже пять цифр делимого и частного, мы получили уже пять цифр искомой непериодической бесконечной десятичной дроби – иррационального числа. Если достаточно такой точности, то можно остановиться, если нет – продолжать делить 2 на 1,41421, т. е. на полусумму новых делителя и частного. Таким образом можно получить квадратный корень любой точности!

III. 2. Квадратный корень как сторона квадрата.

Решим задачу: «Известно, что площадь некоторого квадрата равна 25. Требуется определить, чему равна сторона этого квадрата». Я легко смог решить задачу: подобрал число, которое при умножении само на себя дает 25. Это число 5. Хотя – 5 при умножении само на себя также дает число 25, но сторона квадрата не может измеряться отрицательным числом. Поэтому ответ задачи – число 5.

III. 3. Нахождение квадратных корней методом подбора последовательных приближений.

можно найти, вспомнив таблицу умножения; ясно, что так можно действовать в случае небольших чисел, являющихся квадратами некоторых натуральных чисел. Задача оказалась бы более сложной, если бы площадь данного квадрата была бы равна в ней, к примеру, 19. Ясно, что сторона такого квадрата больше 4 (поскольку 42 = 16) и меньше 5 (поскольку 52 = 25); но как ее найти?

Далее перед нами встают две задачи. Во-первых, надо уметь извлекать квадратные корни из достаточно больших чисел. Конечно, мы всегда можем применить для этого калькулятор; но интересно научиться извлекать квадратные корни без калькулятора. Во-вторых, надо разобраться с квадратными корнями из таких чисел, которые не являются полными квадратами.

Подбор последовательно улучающихся значений для квадратного корня мы можем осуществить с помощью десятичных дробей. В основу этого приема заложено следующее соображение: чем больше число, тем больше его квадрат. Сначала мы устанавливаем, что

4 << 5, потом разбираемся с десятыми и выясняем, что

4,3 << 4,4

(поскольку 4,32 = 18,49, а 4,42 = 19,36); потом переходим к сотым и выясняем, что

4,35 << 4,36

(поскольку 4,352 = 18,9225, а 4,362 = 19,0096); и так далее. Впрочем, не будем дальше упорствовать, а воспользуемся калькулятором:

4. 35889894354067355223698198385962

Конечно, здесь не видно и намека на периодичность, но вдруг у этой дроби очень длинный период?

III. 4. Квадратный корень как среднее пропорциональное.

Рассмотрим следующую задачу: «Найти число, которое во столько же раз больше 25, во сколько раз 49 больше самого этого числа». Составим пропорцию:

; перемножив ее члены крест – накрест, получим уравнение:

, откуда.

Число с, образующее с числами а и b пропорцию , называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) между а и b.

Основываясь на понятии среднего геометрического, можно определить как среднее пропорциональное между 1 и а. в самом деле, пусть число х таково, что

; тогда х2 = а, и х =.

III. 5. Извлечение квадратного корня уголком.

Опишем здесь способ извлечения квадратных корней, не приводя для него никаких теоретических обоснований. Чтобы извлечь из данного числа квадратный корень, прежде всего надо разбить число на группы по две цифры в каждой, считая от запятой влево. В самой левой грани могут оказаться одна или две цифры. Затем следует в частном надписать цифру, квадрат которой равен или является ближайшим по недостатку к цифрам или цифре, предшествующим первой группе. После вычитания этого квадрата остальные цифры корня находят с помощью одного и того же приема: сначала мы делим остаток на удвоенную величину уже извлеченной части корня, и находим очередную цифру, а затем вычитаем из остатка произведение последней найденной цифры на число, составленное из удвоенной величины уже извлеченной части корня и приписанной к ней последней найденной цифры.

К примеру, чтобы извлечь корень из 98596, сначала разобьем число на части, как было сказано. Затем найдем число, квадрат которого равен первой цифре 9, то есть 3. запишем его в частном и вычтем 32 = 9. в остатке будет 0, рядом с которым запишем две следующие цифры, то есть 85. не обращая внимания на последнюю цифру 5, спросим: сколько раз удвоенное 3, или 6, содержится в первой цифре 8? Ответ: 1. поэтому, записав в частном 1, отнимем от 85 произведение. В остатке будет 24, к чему присоединим последние цифры 96, так что получится 2496. с этим числом нужно произвести то же действие. Итак, не обращая внимания на последнюю цифру 6, спросим: сколько раз удвоенное 31, или 62, содержится в 249? Ответ: 4. запишем в частном 4, отнимем произведение. В остатке получился 0, откуда видно, что действие закончено и корень равен 314.

_9 85 96 ( 3 1 4

Если корень не извлекся нацело, можно продолжить процедуру его извлечения, приписывая два нуля в следующие два разряда. В качестве примера показано извлечение квадратного корня из числа 19:

_19 (4 3 5 8 8 9

_ 783600

8625600

III. 6. Извлечение квадратного корня, используя «степенные ряды».

А теперь познакомимся с самым мощным способом извлечения корней. Только сначала давайте проверим, что любое число всегда можно представить в виде: а = b2(1 + х), где , причем всегда можно сделать так, чтобы слагаемое х было правильной дробью. Например, 5 = 22 ; 7 = 32 и т. д.

Нам было бы интересно извлечь корень из 23 – следующего за 19 простого числа. Запишем:

23 = 52 = 52(1 – 0,08).

Оказывается, существует замечательное правило:

Это правило взято из математического анализа, там такие «степенные ряды» встречаются почти на каждом шагу. Обратим внимание на особенность записи. После слагаемого х4, написано многоточие. Это означает, что число слагаемых бесконечно, т. е. за каждым уже написанным слагаемым можно написать еще одно. И это же означает, что в результате не может получиться рационального числа – будет всегда получаться непериодическая бесконечная десятичная дробь.

Из второго множителя мы и будем извлекать корень с помощью степенного ряда, имея в виду, что х = 0,08, и не забывая, что перед этим числом стоит знак минус:

Здесь после пятого слагаемого поставлена точка, но зато вместо знака равенства перед единицей стоит знак приближенного равенства. Это означает, что пяти членов ряда - так мы решили – будет достаточно для обеспечения необходимой нам точности. Впрочем, если вам захочется получить более точный результат, можете сами дописать еще столько членов, сколько вам будет нужно. Вычисления расположим так:

0,0000016

0,0000320

0,0008000

0,0400000

0,0408336

- 1,0000000

0,9591664

4,7958320

Обратите внимание на саму, как говорят, «технику» вычислений. Начали мы с пятого члена – это дало нам возможность сразу установить количество цифр после запятой. Значение каждого члена подписывали строго под другим членом – это дало возможность обойтись без лишних записей. Конечно, как всегда при письменных и устных вычислениях, мы старались использовать индивидуальные свойства чисел. Вычитание пришлось делать «наоборот» - вычитаемое оказалось записанным выше уменьшаемого, зато не надо было переписывать.

Итак,. В последней – седьмой! – цифре после запятой мы не совсем уверены, так как имеется еще бесконечно много неучтенных нами членов, но за шесть предыдущих, не говоря уже о первой, можно поручиться.

III. 7. Геометрическое построение квадратного корня.

Отрезки, длины которых равны квадратным корням из натуральных чисел, легко строятся с помощью теоремы Пифагора: «В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Одно из доказательств этой теоремы приведено на рисунке: здесь один и тот же квадрат разрезается сперва на четыре одинаковых прямоугольных треугольника и квадрат на гипотенузе, а потом – на те же самые четыре прямоугольных треугольника и квадраты на катетах.

Если длина одного катета равна единичному отрезку, а площадь квадрата на другом катете равна N, то площадь квадрата на гипотенузе будет равна N + 1. отсюда возникает идея цепочки построений: если оба катета равны 1, гипотенуза будет равна , если теперь взять один катет равным 1, а другой , гипотенуза будет равна , и т. д.

1 1 1

IV. Квадратный корень: структура математического понятия.

Рассмотрим теперь те различные математические действительности, в которых разворачивается понятие квадратного корня.

Во-первых, это действительность геометрии. Здесь задача «найти квадратный корень из А» в развернутой постановке звучит так: «Даны отрезки 1 и А; требуется построить такой отрезок х, чтобы площадь построенного на нем квадрата относилась к площади единичного квадрата как А : 1». Когда это построение выполнено, квадратный корень уже найден. Но он найден как отрезок, а не как число.

Во-вторых, это действительность арифметики. Задача «найти квадратный корень из А» означает здесь: «Дано неотрицательное число А; требуется найти такое число х, которое, будучи умножено само на себя, даст в результате А». Анализ этой задачи приводит к выводу о существовании иррациональных чисел в арифметике. Знак служит в рамках арифметики обозначением действия точного или приближенного извлечения квадратного корня.

В-третьих, это действительность алгебры. Здесь нас совершенно не интересует, чему равен квадратный корень из А, поскольку мы обходимся с ним как с алгебраическим объектом, то есть со знаком, подчиняющимся правилу. К примеру, мы можем написать, что = 1, нисколько не задумываясь о том, чему равны и в этом выражении.

Все это действительности конечно же не являются изолированными друг от друга. К примеру, только что записанную алгебраическую формулу можно проинтерпретировать и арифметически, и геометрически. Всякое число может мыслиться как отрезок на числовой прямой, и т. д. и все же понимание того, что - это и отрезок, и число, и алгебраический символ, является очень важным для правильного усвоения различных сторон понятия квадратного корня в их взаимосвязи.

Заключение.

В результате проведённого исследования мы пришли к следующим выводам: введение понятия квадратного корня и различные способы его нахождения необходимо в школьном курсе математики, чтобы развивать навыки вычислений. В моей работе я рассмотрел только несколько способов нахождения квадратных корней, применение которых доступно для школьников подросткового возраста. Анкетирование, проведенное среди обучающихся 9-х классов показало, что ученики нашей школы хорошо знакомы и применяют только самые распространенные способы извлечения корней – это методом подбора и с помощью калькулятора.

Анализ проделанной работы позволяет сделать вывод, что умение пользоваться различными вычислительными навыками способствует более внимательному подходу к изучению математики, более глубокому ее усвоению.

Американский ученый, «отец» кибернетики Норберт Винер (1894 – 1964) писал: «Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает». Переиначавая его слова, можно сделать вывод, что несмотря на сложность изучения математики, у того, кто действительно любит ее, меняется не только мировоззрение, но и склад ума. Потому что «математики содержат в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству» (Рихард Курант, немецкий математик, (1888 – 1972)).