Современная гипотеза возникновения цифр

Первые представления о числе приобретены людьми еще задолго до нашей эры. У людей возникла необходимость подсчитывать количество добычи, вести счет времени и т. п. результатом счета являются числа. Из потребности практической деятельности людей возникла наука, изучающая простейшие свойства чисел и правила вычислений – АРИФМЕТИКА. Название «арифметика» произошло от греческого слова `((((((((((, состоящего из двух частей: `((((((( - число и ((((( - искусство. Следовательно: арифметика – это наука о числах.

В арифметике как науке рассматриваются все виды чисел от натуральных до комплексных (целые, дробные, действительные, комплексные, натуральные, простые, рациональные, иррациональные).

Сначала людям были известны только натуральные числа, но позже жизнь заставила расширить понятие числа, рассматривать и дробные числа. Когда впервые появилось понятие дроби, не известно. Но исследования показывают, что древние египтяне, китайцы, хорезмийцы за много веков до нашей эры были знакомы с дробными числами и умели выполнять простейшие арифметические действия над ними.

Первые книги, содержащие учение о счете и вычислениях, появились еще за несколько веков до нашей эры. Много арифметических сведений есть в «Началах» Евклида (III в. до н. э. ), в «Арифметике» Диофанта (III в. н. э. ) и других книгах древнегреческих математиков.

Известный хорезмский математик Мухаммед ибн Муса (около 780 – 850 гг. ), использовал известные ему работы греческих и индийских математиков, написал книгу по арифметике, которая в латинском переводе попала в Европу в XII в. и содействовала распространению десятичной позиционной нумераций.

В Киевской Руси были широко распространены элементарные сведения из области арифметики, включая действия с обыкновенными дробями, что доказывается наличием косвенных источников. От XVII вв. сохранились рукописи математического содержания, из анализа которых явствует, что познания в арифметике на Руси того времени соответствовали уровню, достигнутому в Западной Европе. В начале XVIII в. появляются и печатные учебники по арифметике.

Особенно важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Арифметика, или наука числительная», написанная Леонтием Филипповичем Магницким (1669-1739 гг. ). «Арифметика» Магницкого была издана при Петре І, и долгое время была настольной книгой всех образованных русских людей.

В 1703 г. была издана «Арифметика» Л. Ф.  Магницкого, это первый русский печатный учебник математики (так как напечатанная в 1689 г. в Амстердаме на русском языке краткая арифметика И. Ф.  Копиевича (или Копиевского) распространения не получила). Л. Ф.  Магницкий опубликовал громадную книгу под длинным названием:

«Арифметика, сиречь наука числительная, с разных диалектов на славянский язык преведенная и во едино собрана и на две книги разделена

Сочинися сия книга через труды Леонтия Магницкого».

Л. Ф.  Магницкий понимал, что нельзя предложить русскому читателю книгу, не учитывающую вековое самобытное развитие русского народа. Поэтому он широко использовал русскую математическую литературу, добавив к ней достижения мировой научной мысли, переработанные и приспособленные к потребностям русского читателя. Он подчеркивал, что

«Разум весь собрал и чин

Природно русский, а не немчин».

«Арифметика» Л. Ф.  Магницкого самая популярная книга на протяжении первой половины XVIII в. , которую М. В.  Ломоносов называл «вратами своей учености». Этот учебник энциклопедического содержания, кроме арифметики, включал элементы геометрии и технических наук.

Вот что пишет автор учебника: «Арифметика или числительница есть художество честное, независтное, всем удобопонятное, многополезнейшее и многохваленнейшее. ». Тут слово «художество» употреблено в смысле «искусство». Греческие авторы употребляли выражение «арифметике техне», т. е. «числовое искусство» («арифмос» - число, «техне» - искусство).

На первой странице книги изображен дворец науки. На престоле сидит царевна «Арифметика», в ее правой руке символический ключ - это ключ ко всем знаниям. Без арифметики нет доступа к другим наукам. К познанию арифметики ведут пять ступеней: счисление, сложение, вычитание, умножение и деление.

В первой части первой книги «Арифметика» изложена нумерация целых чисел и все действия с целыми числами, а во второй части рассматриваются числа ломаные, т. е. дроби. На вопрос, что есть число ломаное, автор отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи. ».

Книга Магницкого называлась «Арифметика», но кроме арифметики там были начала алгебры, геометрии, тригонометрии и даже немного мореходной астрономии. Это была настоящая энциклопедия по математике, в которой каждое правило, каждый прием подробно разъяснялся и подкреплялся решением примеров и практических задач.

В 1740 г. было напечатано «Руководство к арифметике» Л.  Эйлера. Во второй половине XVIII в. вышли из печати учебники арифметики, написанные академиками С. К.  Котелышкоиым, С. Я.  Румовским и другими авторами. Широко распространены были в то время «Универсальная арифметика» Н. Г.  Курганова, а также «Теоретическая и практическая арифметика» профессора Московского университета Д. С.  Аничкова.

В 1866 г. были изданы «Руководство арифметики» и «Собрание арифметических задач» А. Ф.  Малинина и К. П.  Буренина, по которым учились в русских средних школах на протяжении полустолетия. Во второй половине XIX в. вышли в свет учебники по арифметике Ф. И.  Симашко, В. А.  Латышева, В. А.  Евтушевского и других авторов. В 1884 г. издана «Арифметика» А. П.  Киселева, на которой воспиталось несколько поколений русских, а затем и советских специалистов и которую только недавно заменил учебник «Арифметикам И. II.  Шевченко.

История возникновения чисел

Давным-давно, многие тысячи лет назад, наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по полям и лесам, по долинам рек и ручьев, разыскивая себе пищу. Питались листьями, плодами и корнями - различных растений. Иногда ловили рыбу, собирали ракушки или охотились. Одевались в шкуры убитых зверей. Жизнь первобытных людей мало, чем отличалась от жизни животных. Да и сами люди отличались от животных только тем, что владели речью и умели пользоваться простейшими орудиями труда: палкой, камнем или камнем, привязанным к палке.

Первобытные люди, так же как и современные маленькие дети, не знали счета. Но теперь детей учат считать родители и учителя, старшие братья и сестры, товарищи. А первобытным людям не у кого было учиться. Их учителем была сама жизнь. Поэтому и «обучение» шло медленно.

Наблюдая окружающую природу, от которой полностью зависела его жизнь, наш далекий предок из множества различных предметов сначала научился выделять отдельные предметы. Из стаи волков - вожака стаи, из стада оленей - одного оленя, из выводка плавающих уток - одну птицу, из колоса с зернами - одно зерно.

Поначалу они определяли это соотношение как «один» и «много».

Частые наблюдения множеств, состоявших из пары предметов (глаза, уши, рога, крылья, руки), привели человека к представлению о числе. Наш далекий предок, рассказывая о том, что видел двух уток, сравнивал их с парой глаз. А если он видел их больше, то говорил: «Много». Лишь постепенно человек научился выделять три предмета, ну а затем четыре, пять, шесть и т. д.

Учиться считать требовала жизнь. Добывая пищу, людям приходилось охотиться на крупных зверей: лося, медведя, зубра. Охотились наши предки большими группами, иногда всем племенем. Чтобы охота была удачной, нужно было уметь окружить зверя. Обычно старший охотник ставил двух человек за берлогой медведя, четырех с рогатинами - против берлоги, трех - с одной стороны и трех - с другой стороны берлоги. Для этого он должен был уметь считать, а так как названий чисел тогда еще не было, он показывал число на пальцах.

И пальцы ног, кстати сказать, сыграли немалую роль в истории счета, особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две - 10. Когда рук не хватало, в ход шли и ноги. Две руки и одна нога - 15, две руки и две ноги - 20.

Следы счета на пальцах сохранились во многих странах. Так, в Китае и Японии предметы домашнего обихода (чашки, тарелки и др. ) считают не дюжинами и полудюжинами, а пятерками и десятками. Во Франции и в Англии и поныне в ходу счет двадцатками.

Специальные названия чисел имелись - поначалу только для одного и двух. Числа же больше двух называли с помощью сложения: 3 - это два и один, 4 - это два да два, 5 - это два, еще два и один.

Названия чисел - у многих народов указывают на их происхождение.

Так, у индейцев два - глаза, у тибетцев – крылья. У других народов один - луна, пять - рука и т. д. У тех народов, которые еще сохранили первобытный уклад жизни, такие названия чисел используются до сих пор. Например, у одного из австралийских племен счет ведется так: 1 - энэа, 2 - петчевал, 3 - петчевал-энэа, 4 - петчевал-петчевал. А в другом племени считали так: 1 - мал, 2 - булан, 3 - гулиба, 4 - булан-булан, 5 - булан-гулиба, 6 - гулиба-гулиба. А на берегах реки Амазонки было обнаружено племя, которое знало только три числа - 1, 2 и 3, причем число 3 называлось «поэттаррароринкоароак».

Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел. Так, например, выражение, которое должно соответствовать числу 11 – «десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге» - упрощалось в «палец на ноге»; для выражения числа 23 вместо слов «десять пальцев на обеих руках, десять пальцев на обеих ногах и три пальца на руке другого человека» говорилось просто: «три пальца другого человека».

Подобного рода сокращения в то же время приводили как бы к выделению единиц из высшего разряда. В самом деле, такие называния, как «рука» - для обозначения пяти, «две руки» - для обозначения десяти, «нога» - для обозначения пятнадцати «человек» - для обозначения двадцати и т. п. , служили для обозначения единиц высшего разряда, чем пальца, а пальцы играли роль единиц низшего разряда.

В этом смысле выражение «один на другой руке», означающее «шесть» можно рассматривать как «один из второго пятка» или как «пять и один», т. е. «рука» - единица высшего разряда. Точно также наименование «два на ноге», означающее «двенадцать», указывало на то, что две единицы взяты из второго десятка; это можно было бы передать и такой фразой: «две руки и два пальца», где «две руки» играют роль единицы высшего порядка по отношению к пальцам.

В силу необходимости вести счет любых групп реальных предметов возникли натуральные числа: 1, 2, 3, 4. На первых стадиях культурного развития человечества натуральный ряд состоял из немногих чисел. В дальнейшем он обогащался все новыми и большими числами. Долгое время, однако, натуральный ряд считался конечным, т. е. люди считали, что существует какое-то последнее, наибольшее число. В Древней Руси, например, одно время число 104, названное «тьма», считалось трудным для представления большим числом. О числе 1012, названном «тьма тем», говорилось в старинных русских памятниках: «Больше сего числа несть человеческому уму разумети. ».

Однако в ходе общественного развития человеческому уму пришлось «разуметь» все большие и большие числа и полностью отказались от мысли, будто бы в натуральном ряду существует наибольшее число. К сознанию этого факта разные народы приходили в разное время. Следовательно, число - это количественная характеристика множества предметов (группы).

Первые попытки специального анализа проблемы количества восходят к пифагорейцам, которые изучали природу чисел. Как особую категорию количество рассматривал Аристотель: «Количеством называется то, что может быть разделено на составные части, каждая из которых, будет ли их две или несколько, является чем-то одним, данным налицо. То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это — величина, если его можно измерить. Множеством при этом называется то, что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною,- то, что (делится) на части непрерывные». В связи с развитием естествознания и математики в истории нового времени проблема количества занимает особое место. Р.  Декарт рассматривал количество как реальную пространственную и временную определённость тел, которая выражается через число, меру, величину. По Г. Гегелю, количество отличается от качества тем, что в то время как последнее однозначно характеризует вещь, так, что при изменении качества вещи она становится другой, — количественное же изменение до поры до времени может и не превращать её в другую вещь.

ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЕЛ

Современная гипотеза возникновения цифр

Арабские цифры 1,2,3,4,5 придумали вовсе не арабы, они пришли к нам из Индии. Просто арабы принесли оттуда эту форму записи чисел, которая потом распространилась через Северную Африку и Испанию в Европу.

Арабские цифры происходят от индийских символов для записи чисел. В Индии в V веке было открыто и формализовано понятие нуля («шунья»), которое позволило перейти к позиционной записи чисел. В позиционной системе счисления «вес» цифры определяется ее положением. Так, 5 в числе 15 означает всего лишь пятерку, а в числе 2523 - пять сотен (ведь 2523 - это 2 раза по тысяче, 5 раз по сто, 2 раза по десять и 3).

Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас арабских учебников арифметики был написан аль-Хорезми около 825. В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу. Искаженный вариант имени аль-Хорезми дошел до нас в слове «алгоризм», которое при дальнейшем смешении с греческим словом аритмос превратилось в термин «алгоритм».

Арабские цифры — традиционное название набора из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ныне использующийся в большинстве стран для записи чисел в десятичной системе счисления.

 Все мы с детства, знакомы с цифрами. Это десять знаков, которые используются для записи чисел. Набор из десяти знаков, ныне использующийся практически во всём мире для записи чисел в десятичной системе счисления.

Название «арабские цифры» — дань исторической роли арабской культуры в популяризации десятичной позиционной системы.

Это одна из существующих в настоящее время версий появления цифр.

С нашей точки зрения вызывает интерес исследование И.  Любовинкина.

Пойдем по порядку, так сказать, от меньших – к большим.

1. Число один – цифра единица (1). Это слегка подправленное написание скорописной строчной буквы «Е» с вензелем внизу в виде петли.

Кстати, латинская строчная буква «l»(читается «эль»), очень похожа на единицу, скорописная «l» пишется как русская скорописная «Е». Все кто изучал хоть один европейский язык, подтвердят это. Т. е. написание «Е» в виде единицы было очевидным для времени создания десятичной системы.

2. Число два – цифра двойка (2). Нас учили писать строчную скорописную букву «Д» в первом классе. Это кружок в строке и удлиненная петля вниз. Теперь давайте мысленно приподнимем букву над строкой, а петлю заменим вензелем с волнистым хвостиком. Получится двойка.

С тройкой, пятеркой и шестеркой все несколько сложнее. Но и тут русские названия проглядывают своими первыми буквами из цифр.

3. Число три – цифра тройка (3). Это повернутая на 90 градусов скорописная буква «Т». Это также проглядывает в традиции писать тройку с прямой или извилистой чертой с верху.

4. Число четыре – цифра четвёрка (4). Название начинается на букву «Ч». Сегодняшнее написание четверки практически абсолютно повторяет написание Русской буквы «Ч». Таким образом, цифра написанием повторяет первую букву своего названия на Русском языке.

5. Число пять – цифра пятёрка (5). Это повернутая на 90 градусов скорописная буква «П». Невозможно утверждать однозначно: то ли «П» писали с горизонтальной черточкой, то ли на пятерке она появилась уже виде вертикальной – но сходство при повороте становится очевидным.

6. Число шесть – цифра шестёрка (6). Вот тут, с написанием буквы «Ш», есть сложности. В шестерке проглядывается написание строчной буквы не по тем правилам, что мы учили в школе, хотя тоже присутствует поворот на 90 градусов. Можно поэкспериментировать с написанием «Ш» по весьма старинной технологии. Нарисуйте дугу, а в центре дуги нарисуйте вертикальную черту. Получилась скорописная буква  «Ш», как ее писали когда-то. А теперь попробуйте написать целую строчку таких букв, но по возможности быстро. Получились лежащие на боку шестерки.

7. Число семь – цифра семёрка (7). Здесь вообще детективная история. Оказывается, семерка не всегда писалась в виде перечеркнутой кочерги. В 15-16 вв. и в отдельных случаях вплоть до конца 18 века она писалась в виде буквы «С» с вензелем в виде волнистой и маленькой петли сверху. Именно эта информация и натолкнула на догадку, которую вы можете увидеть.

8. Число восемь – цифра восьмерка (8). Здесь все просто, буква «В» явственно проглядывает в очертаниях восьмерки.

9. Число девять – цифра девятка (9). Конечно, это строчная буква «Д», недорисованная двойка, без петель и волнистых.

Из выше изложенного следует, возможно, изобретатели десятичной системы счисления разговаривали и писали по РУССКИ, знали кириллицу, и использовали начальные буквы названий цифр для обозначения их в десятичной системе счисления.

Система счисления. Наименования и запись больших чисел

С помощью цифр можно записать любое натуральное число. Экономная запись чисел достигается благодаря применению принципа поместного значения цифр. В зависимости от занимаемого цифрой места она может обозначать то одно, то другое число. Так, например, 327 - триста двадцать семь, 1002 — тысяча два. В приведенном примере цифра 2 в первом случае обозначает двадцать, а во втором - два.

Первая, вторая, третья и т. д. цифры числа, если считать справа налево, называются соответственно цифрами единиц, десятков, сотен и т. д. Их называют еще единицами первого, второго, третьего и т. д. разрядов. Например, в числе 7194 имеется 4 единицы первого, 9 единиц второго, 1 единица третьего и 7 единиц четвертого разрядов. Цифрой «0» - нуль обозначают отсутствие единиц того или иного разряда. В математике принято рассматривать нуль не только как цифру, но и как число. 0 - число не натуральное. Нуль меньше 1 и любого натурального числа.

Десять единиц какого-нибудь разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда. Поэтому говорят, что мы пользуемся десятичной системой счисления. Десятичная система счисления возникла в глубокой древности. Люди стали пользоваться ею потому, что привыкли считать десятками, имея на руках десять пальцев. Однако некоторые народы в свое время создали и недесятичные системы счисления.

Для удобства чтения и запоминания больших чисел их цифры разбивают на классы: справа отделяют три цифры - первый класс, следующие три - второй класс и т. д. Последний класс может иметь три, две или одну цифру. Между классами обычно оставляют небольшие промежутки. Например, число 35461298 записывают так: 35 461298. Здесь 298 - первый класс, 461- второй, 35 - третий. Каждая из цифр класса называется его разрядом; счет разрядов также идет справа. Например, в первом классе 298 цифра 8 составляет первый разряд, 9 - второй, 2 - третий. В последнем классе может быть три, два разряда (в нашем примере: 5 - первый разряд, 3 - второй) или один.

Первый класс дает число единиц, второй - тысяч, третий - миллионов; сообразно с этим число 35 461298 читается: тридцать пять миллионов четыреста шестьдесят одна тысяча двести девяносто восемь. Поэтому говорят, что единица второго класса есть тысяча; единица третьего класса — миллион.

Единица четвертого класса называется миллиардом, или, иначе, биллионом (1 миллиард = 1000 миллионов).

Например, в числе 2 365 423 первый класс дает число единиц, второй - число тысяч и третий число миллионов. Сообразно с этим записанное число читают так: два миллиона триста шестьдесят пять тысяч четыреста двадцать три.

Единицы четвертого, пятого, шестого и т. д. классов называют соответственно: миллиард или биллион — 1 000 000 000, триллион —1000 000000000, квадриллион — 1 000 000 000 000 000, квинтиллион — 1 000 000 000 000 000 000, секстиллион — 1 000 000 000 000 000 000 000, септиллион — 1 000 000 000 000 000 000 000. 000.

Эти названия возникли сравнительно недавно. Существующее сейчас в большинстве европейских языков выражение «миллион» - 106 возникло и Италии в XIII в. Термины «биллион», «миллиард» и т. п. возникли в XVI -XVII вв. , но до сих пор имеют различное (и разных языках) значение. Миллиард обычно означает 109, по то же значение имеет в США и во Франции биллион, тогда, как и Германии биллион означает 1012. Триллион в США и во Франции означает 1012, а и Англии и Германии — 1018. В русских математических рукописях встречаются наименования больших чисел, возникших, по-видимому, не раньше XII в. : тьма -106, легион - 1012, леодр -1024, ворон - 1048, колода - 1049.

Пример. 12 021 306 200 000 читается: двенадцать триллионов двадцать один миллиард триста шесть миллионов двести тысяч.

Считаем, что сведениями из истории математики привлекают внимание учащихся независимо от возраста. Исторические факты и современные исследования истории возникновения чисел и цифр доказывают, что арифметика является старейшей отраслью математики.