Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса

Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, a3x + b3y + c3z = d3.

Систему 1 записывают короче: aix + biy + ciz = di, где i = 1,2,3

Здесь ai, bi, ci, di - некоторые заданные числа, а х, у, z - искомые неизвестные. Как известно, тройка чисел (х0; у0; z0) называется решением системы 1, если при подстановке их в уравнения системы вместо х, у, z получаются верные числовые равенства.

Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнения системы 1 равны нулю: ai = bi= ci = 0, i = 1,2,3.

В этом случае, если все свободные члены уравнений системы равны нулю: d1 = d2 = d3 = 0 , то, очевидно любая тройка чисел (х; у; z) является решением этой системы. Если же не все свободные члены уравнений равны нулю, то система не имеет решений.

Рассмотрим теперь случай, когда не все коэффициенты уравнений системы 1 равны нулю. Пусть, например, с3 = 0, тогда данная система эквивалентна следующей: a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, x + y + z =.

Последнее уравнение этой системы умножим на с1 и вычтем почленно из первого уравнения, в результате получим уравнение:

(а1 - с1) х + (b1 - с1) у = d1 - с1(2)

Аналогично, умножая последнее уравнение на с2 и вычитая почленно из второго уравнения, получаем:

(а2 - с2) х + (b2 - с2) у = d2 - с2(3)

Очевидно, что система

(а1с3- а3с1) х + (b1c3 - b3c1) y = d1c3 - d3c1,

(а2с3- а3с2) х + (b2c3 - b3c2) y = d2c3 - d3c2, x + y + z =. (4) у которой первое уравнение получается из второго, второе - умножением на c3, эквивалентна системе 1.

Таким образом, если c30, то исследование системы 1 сводится к исследованию системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(а1с3- а3с1) х + (b1c3 - b3c1) y = d1c3 - d3c1,

(а2с3- а3с2) х + (b2c3 - b3c2) y = d2c3 - d3c2.

Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнений системы 5 равны нулю. Тогда, если свободные члены системы 5 равны нулю, то любая пара чисел является решением системы 5 и, следовательно, любая тройка чисел (х; у; z), где хR, уR, z = - x - y , является решением системы 1. Если же хотя бы у одного из уравнений системы 5 свободный член отличен от нуля, то система 5, а следовательно, и система 1 не имеют решений.

Рассмотрим случай, когда не все коэффициенты уравнений системы 5 равны нулю.

Пусть, например, b2c3 - b3c20.

Первое уравнение системы 5 умножим на b2c3-b3c2, второе - на (b1c3 - b3c1) и сложим; после очевидных преобразований получим уравнение , где a1 b1 c1n

= a2 b2 c2 a1 b1 c1 a3 b3 c3 x = a2 b2 c2 a3 b3 c3

Таким образом, если b2c3 - b3c20, то система 5 эквивалентна системе: , x + y =.

Если = = 0, то, очевидно, любая пара чисел (х; у), где хR, у = - х, (6) является решением системы 5.

Из 6 и последнего уравнения системы 4 находим z = - х,(7)

Следовательно, если ==0 и b2c3 - b3c20, то любая тройка чисел

(х; у; z), где хR, а у и z находятся по формулам 6 и 7, являются решением системы 1.

Если =0, а 0, то система 5, а следовательно, и система 1 не имеют решений.

Пусть теперь 0. Тогда х =. Подставив это значение x во второе уравнение системы 5, найдем: у = , a1 d1 c1 где = a2 d2 c2

a3 d3 c3

Наконец, подставив полученные значения x и y в третье уравнение системы 4, получим z = , a1 b1 d1 где = a2 b2 d2 a3 b3 d3

Следовательно, если 0, то система 1 имеет единственное решение, которое находится по формулам х = , у = , z =. (8)

Эти формулы называются формулами Крамера. Определитель называется определителем системы 1. Таким образом, доказаны следующие утверждения:

– если определитель линейной системы не равен нулю, то система имеет единственное решение;

– если же определитель системы равен нулю, то она или не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений.

Заметим, что определители , , , входящие в формулы Крамера, получаются из определителя заменой столбца из коэффициентов при соответствующих неизвестных на столбец из свободных членов.

Метод исследования и решения системы 1, который только что рассмотрен, называется методом исключения неизвестных или методом Гаусса.

При условии c3 0 из третьего уравнения системы 1 неизвестное выражается через х и у и это значение для z подставляется в первое и второе уравнения. В результате получается система двух уравнений с двумя неизвестными. В этом случае говорят, что система трех уравнений с тремя неизвестными исключением неизвестного z сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Заметим, что вместо z можно исключить любое неизвестное и что исключаемое неизвестное можно находить из любого уравнения, в которое оно входит.

Пример 1: Решить систему: х=3,

2х+у=8,

4х-2у-z=3.

Решение: подставив х=3 во второе уравнение системы, получим: у=8-2х=8-2 х 3=2. Подставив в третье уравнение системы х=3, у=2, получим: z=4х-2у-3=4 х 3-2 х 2-3=5.

Ответ: х=3, у=2, z=5.

Пример 2. Решить с помощью определителей систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

2х+3у+z=14,

3х-у+2х=5, х+2у-z=7.

Решение: вычислим определитель системы

= 3 -1 2 = 2 х (-3) -3 х (-5) + 1 х 7 =16.

Так как 0, система имеет единственное решение. Вычислим теперь , , :

= 5 -1 2 = 14 х (-3) - 3 х (-19) +1 х 17 = 32.

7. 2 -1

= 3 5 2 = 2 х (-19) - 14 х (-5) + 1 х 16 = 48,

1. 7 -1

= 3 -1 5= 2 х (-17) - 3 Х 16 + 14 х 7 = 16.

Подставив найденные определители в формулы Крамера, получим: х = = ; у = = ; z = =.

Ответ: (2; 3; 1).

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

Пример 1: решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

5x-3y=16, x+2y=11.

Решение: выпишем и вычислим ∆, ∆x, ∆y:

∆= a1b2-a2b1;

∆=5x2-1x(-3)=10+3=13;

∆x=c1b2-c2b1;

∆x=16x2-11x(-3)=31+33=65;

∆y=a1c2-a2c1;

∆y=5x11-1x16=55-16=39; тогда

∆x65 x=, x==5,

∆y39 y=,y==3.

Ответ: x=5; y=3.

Пример 2: решить систему

3x+5y=0,

9x+15y=0.

Решение: вычислим ∆:

∆=3x15-9x5=0

Так как ∆=0, то система имеет бесконечное множество решений.

При решении систем двух уравнений с двумя неизвестными возможны три различные случая:

1) система имеет единственное решение;

2) система не имеет решений;

3) система имеет бесконечное множество решений.

Пример 3: решить систему уравнений методом Гаусса.

3x1-2x25x3+x4=3,

2x1-3x2+x3=5x=-3, x2+2x2-4x4=-3, x1-x2-4x3=9x4=22,

Решение: запишем вместо 1 уравнения 3 уравнение.

x1=2x2-4x=-3,

3x1-2x2-5x3+x4=3,

2x1-3x2+x3+5x4=-3, x1-x2-4x3+9x4=22.

1)умножим 1 уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением, результат запишем во второе уравнение;

2) 1 уравнение умножим на (-2) и сложим с третьим уравнением, результат запишем в 3 уравнение;

3) 1 уравнение умножим на (-1) и сложим с четвёртым уравнением, результат запишем в 4 уравнение.

x1+2x2-4x4=-3,

-8x2-5x3+13x4=12,

-7x2+x3+13x4=3,

-3x2-4x3+13x4=25.

1) 2 уравнение умножим на (-7) и 3 умножим на 8. Затем полученные произведения сложим и запишем в 3 уравнение;

2) 2 уравнение умножим на (-3) и 4 уравнение умножим на 8. Затем полученные произведения сложим и запишем в 4 уравнение.

x1+2x2-4x4=-3,

-8x2-5x3+13x4=13,

43x3+13x4=-60,

-17x3+65x4=164.

Домножим 4 уравнение на (-5) x1+2x2-4x4=-3,

-8x2-5x3+13x4=12,

43x3+13x4=-60,

-232x3=464.

1) x3=464: (-232)=-2,

2) 43 (-2)+13x4=-60,

13x4=-60+86,

13x4=26, x4=2.

3)–8x2-5 (-2)+13 2=12,

–8x2+10+26=12,

-8x2=12-36,

-8x2=-24, x2=3.

4)x1+2 3-4 2=-3, x1+6-8=-3, x1=-3-6+8, x=-1.

Проверка:

1) 3 (-1)-2 3-5 (-2)==-3-6+10=2=12-9=3 3=3;

2) 2 (-1)-3 3+(-2)+5 2=-2-9-2+10=-13=10=-3 -3=-3;

3) –1+2 3-4 2=-1+6-8=-3 -3=-3;

4) –1-3-4 (-2)+9 2=-1-3+8+18=26-4=22 22=22.

Ответ: x1=-1; x2=3; x3=-2; x4=2.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)