Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Систематизация задач с процентами и способы их решения при подготовке к ЕГЭ

Слово «процент» имеет латинское происхождение. В переводе с латинского «pro centum» - это «на сто». Интересно происхождение символа %. В рукописях словосочетание «pro centum» часто заменяли словом «cento» - сто и писали его сокращенно – сt0. В 1685 г. в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке набрали символ % вместо сt0, постепенно он получил всеобщее признание.

Теория процента Бем-Баверка.

Английский экономист Сениора и Дж. С. Милля рассматривают процент как плату за «воздержание» капиталиста. Но стройность и законченность теория процента приобрела именно у Бем-Баверка, который объяснил процент, используя общий принцип «убывающей предельной полезности, его называют еще «психологической теорией процента».

Процент, по Бем-Баверку, возникает из-за отказа от текущего дохода в пользу будущего. В обществе всегда есть люди, готовые заплатить за удовольствие иметь деньги сегодня. Тем самым происхождение процента он связывает с фактором времени.

Процент как термин первоначально появившийся в экономике давно вышел за рамки этой науки, он прочно внедрился во все сферы деятельности человека, поэтому изучение процента является важной частью школьного образования.

История развития теории процента в школьном образовании.

Умение решать задачи на проценты всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Так в дореволюционной школе изучение процентов было довольно тесно связано с потребностями коммерческих расчетов: «должник», «ссуда», «начальный капитал», «процентные деньги». Вводилось понятие и различие между простыми и сложными процентами.

В послереволюционные годы новая школа расставалась со всем, что не отвечало новому пониманию задач обучения, оставив лишь: « понятия о проценте и вычисление процентных отношений обязательны в школе и включены в программу».

С процентами мы часто встречаемся на уроках физики, химии, географии, биологии

Современная жизнь снова делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. В газетах, по радио и телевидению, в транспорте везде обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. Вся эта информация требует умения производить несложные процентные расчеты, с которыми плохо справляются не только школьники, но и взрослые.

Причины трудностей при понимании и решении задач на проценты:

1. Первое знакомство учащихся с процентами происходит в 5 классе, решение задач на проценты изучается отдельно и не связывается с задачами на дроби;

2. Далее в 6-ом классе изучение математических операций и приемов происходит отдельно, не переносятся на задачи на проценты;

3. В решении задач на проценты применяют пропорции – тем самым процесс решения задач «механизируется», что мешает понимать смысл действий;

4. В результате большинство учащихся задачи на проценты связывают только с пропорцией, а это относится лишь только к элементарным задачам;

5. И еще одна проблема, которая делает проценты сложными для усвоения. Проценты от разных количеств нельзя сравнивать, складывать или вычитать. При правильном решении задач на проценты существенно то, от какого числа находят проценты.

Приступая к описанию нашей работы, еще раз обратим внимание на то, что задачи на проценты являются частным случаем задач на дроби.

Подготовку к решению сложных конкурсных задач на проценты следует начинать по следующей схеме:

5. Схема последовательного изучения теории процента и подготовки к решению сложных задач на проценты:

Нахождение процентов

Нахождение числа по его процентам

Нахождение процентного отношения

Сложные задачи на проценты

Задачи на использование формулы сложных процентов

Сложные проценты – это проценты, начисляемые на процентные деньги.

Просмотрев задания выпускных экзаменов по математике в форме ЕГЭ, а также задания вступительных экзаменов в такие престижные ВУЗЫ г. Москвы, как:

1. МГПУ – Московский Педагогический государственный Университет;

2. МГИМО – Московский Государственный Институт Международных отношений;

3. МГУ – Московский Государственный Университет им. В. М. Ломоносова;

4. МИСиС – Московский Институт стали и сплавов.

Мы обратили внимание, что из всех предложенных заданий почти на все факультеты обязательно входила задача на проценты, лишь на отдельных факультетах ее заменила текстовая задача без процентов.

И это не случайно, ведь при решении задач проверяется не только владение определенным набором математических умений, но и умение анализировать ситуацию, рассуждать, делать выводы, проверять правильность полученного результата, применять знания в нестандартных ситуациях.

Вся жизнь человека состоит из всевозможных испытаний. С различными контрольными работами, тестированиями, сочинениями и другими испытаниями мы встречаемся с первых дней обучения в школе.

При подготовке к экзаменам повторение играет главную роль в формировании механизма воспроизведения материала на экзамене. А успешность воспроизведения материала во многом определяется способом его запоминания.

Поэтому мы решили готовиться к выпускному и вступительному экзаменам заранее, начиная с 9-го класса. В этом году мы разобрали, систематизировали и разработали алгоритмы решения задач на проценты по способам их решения. В результате проделанной работы мы выделили три основные группы задач на проценты, с решениями которых мы предлагаем ознакомиться.

Для каждой группы мы составили варианты оформления краткой записи (блок-схемы) задачи как средство облегчения понимания и обеспечение правильного решения задач.

Условия задач мы брали из КИМов по математике за 2003,2004,2005 год. С целью изучения и своевременной подготовки к выпускным экзаменам в данном направлении.

5. Подготовительный блок.

Определение: Процентом от некоторой величины называется одна сотая ее часть.

ПРОЦЕНТ – это сотая часть числа.

1%=; 2%= 0,02; 50% = 0,5; 75%

Задачи №№1-3 рассматриваются с целью повторения основных понятий и алгоритмов решения задач на проценты, полученных в младших классах.

Задача 1: Найти 30% от числа 300.

Решение: 30%от300=30%∙300=0,3∙300=90

Ответ: 90

Задача 2: Найти новую цену книги на распродаже, скидка 30%, если ее прежняя цена 300 рублей.

Решение: Используем предыдущие вычисления.

300-90=210(руб. ) – новая цена.

Ответ: 210 рублей.

Задача 3: Рекламный ролик стоил 1200 рублей, в сентябре цена на него повысилась на 10%, в ноябре упала на 20%. Сколько нужно заплатить за рекламный ролик сейчас.

Решение: Составим блок-схему

1. 10%∙1200=0,1∙1200=120(р) – составляет 10%

2. 1200+120= 1320(р) – цена после повышения.

3. 20%∙ 1320= 0,2∙1320=264(р) – составляет 20%

4. 1320-264= 1056(р)- новая цена.

Ответ: 1056 рублей.

7. Основной блок.

Решение задач I типа:

Все задачи этого типа объединяет один способ решения, на основании составленной блок-схемы, вводится неизвестная переменная, которой обозначается все множество, данное в условии; используя процентное соотношение, составляется уравнение.

Следует обратить внимание на типичную ошибку при решении таких задач. Первоначально, кажется, что 150 сосен – это и есть 1%, который вырубили.

В приложении 1 подобраны задачи первого типа.

Задача 4: Участок леса содержит 96% сосен. Лесозаготовительная компания планирует вырубить на этом участке 150 сосен, в результате чего их содержание понизится до 95%. Сколько сосен останется на участке?

Решение: Составим блок-схему.

- 150 =

х х-150

Опишем задачу:

Пусть х всего деревьев в лесу до вырубки.

Тогда (х-150) деревьев в лесу после вырубки 150 сосен.

Сосен в лесу было 0,96х, а стало 0,95(х-150).

Составим и решим уравнение.

1. 0,96х – 150 = 0,95(х-150)

0,96х – 150 = 0,95х – 0,95∙150

0,96х- 0,95х = 150(1 – 0,95)

0,01х = 150∙0,05умножим на 100 х = 150∙5 х = 750(деревьев) было в лесу

2. 0,95(750-150)=(сосен) стало в лесу.

Ответ: 570 сосен.

Решение задач II типа:

Все задачи этого типа объединяет также один способ решения, на основании составленной блок-схемы, вводятся неизвестные переменные х и у, где х – масса куска, взятого от первого слитка, у – масса куска, взятого от второго слитка. Используя процентное соотношение, составляется система уравнений, в которой первое уравнение выражает содержание одного из данных в условии металлов, входящих в состав слитка, а второе – другой металл.

Составленная блок-схема облегчает понимание условия задачи и способствует правильному решению задачи на проценты, для всех учащихся.

Все вычисления производятся устно, без использования калькулятора, применяя рациональный (удобный) способ счета.

В приложении 2 подобраны задачи II типа.

Задача 5: Имеются два слитка сплава золота и меди. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, второй – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором 84% золота. Определите массу (г) куска, взятого от первого слитка?

Решение: Составим блок-схему. Числа, указанные зеленым цветом находятся устно, исходя из данных условия задачи.

250 гху300 г

250 гх у 300 г

1. Определим процентное содержание золота и меди в обоих слитках.

1. 230:250=23:25=0,92=92% - золота в 1 слитке;

2. 100%-92%= 8% - меди в 1 слитке;

3. 240:300=24:30=8:10=0,8=80% - золота во 2 слитке;

4. 100%-80%=20% - меди во 2 слитке.

3. Составим систему уравнений для нахождения переменной х.

умножим второе на (-4), методом сложения найдем необходимую переменную х.

0,6х = 60; х = 100(г) – масса куска взятого от первого слитка.

Ответ: 100 г.

Решение задач III типа:

Этот блок составлен из самых сложных практически значимых задач, для решения задач данного типа необходимо использовать формулу для вычисления сложных процентов, которая не рассматривается в школьном курсе алгебры.

С = х (1+а%)n, где С – новая цена х – первоначальная цена а - ежемесячная процентная ставка n – срок вклада (количество месяцев)

8. Вывод формулы сложных процентов:

Составим таблицу исходных данных, используя основные составляющие формулы и согласно типу задачи.

х – первоначальная цена, а - ежемесячная процентная ставка n – срок вклада (количество месяцев)

В первой колонке будем указывать количество месяцев накопления процентов, во второй колонке будем записывать первоначальную цену на начало каждого месяца, в третьей – выражение, которое характеризует заданный процент повышения цены, относительно того, что было, а в четвертой – новая цена на конец текущего месяца, суммарная составляющая второй и третьей колонок.

Вывод формулы, для нахождения сложных процентов.

Мы будем учиться доказывать,

Но еще,

Мы будем учиться догадываться.

Д. Пойа

Количество месяцев БЫЛО ИЗМЕНИЛОСЬ СТАЛО

1 месяц х х + = х (1 +)

2 месяц х (1 +) х∙∙ (1 +) х (1 +) + х∙∙ (1 +) = х (1 +)(1 +) =

х∙ (1 +)2

3 месяц х∙ (1 +)2 х∙∙ (1 +)2 х∙ (1 +)2 + х∙∙ (1 +)2 = х∙ (1 +)3

И т. д.

n месяц х∙ (1 +)n-1 х∙ ∙ (1 +)n-1 х∙ (1 +) n

Итак, получили формулу, для решения задач III типа.

При решении данной задачи (задач третьего типа) первоначально следует разобраться в сложном запутанном условии задачи. Отвечая последовательно на вопросы, задача становится более понятной и доступной для решения.

Вопросы:

1. Сколько объектов (фирм, магазинов) описывается в условии задачи;

2. а) Определить процент повышения (понижения) цен на первом объекте; б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на первом объекте;

3. а) Определить процент повышения (понижения) цен на втором объекте; б) Сколько месяцев подряд происходило повышение (понижение) цен на втором объекте;

4. Какое условие задачи является связующим звеном п. 2 и п. 3;

5. Применить формулу сложных процентов для нахождения цен на обоих объектах.

Составленная блок-схема значительно поможет ответить на вопросы и разобраться в условии, однако следует заметить, что, начиная с 3 задачи данный тип задач решается совсем просто.

При решении уравнения применяется рациональный, логически правильный способ решения, мы понижаем степень уравнения с помощью извлечения корня третьей степени, что значительно упрощает как само уравнение, так и процесс нахождения его корня (почти во всех задач корнем уравнения является десятичное число). В ответе нужно записывать число процентов с точностью до сотых, не округляя, и поэтому предложенный нами способ решения уравнения мы считаем наиболее удачным.

Задача 6: Для определения оптимального режима повышения цен социологи предложили с 1 января повышать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 2 %, в другом – через каждые 2 месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и тоже число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова остались одинаковы. Насколько процентов нужно повышать цену товара во втором магазине?

Решение: Составим блок-схему.

1 магазиниюльа%2 магазин июнь n = 6майа%n=3 а = 2%2%апрельа = а% ежемесячномарта% февраль январь

С1 = 100(1+2%)6- новая цена в 1 магазине;

С2 = 100(1+а%)3 – новая цена во 2 магазине.

По условию задачи С1 = С2

Составим и решим уравнение:

100(1+2%)6 = 100(1+а%)3 : 100

(1 + 0,02)6 = (1 + )3 понизим степень уравнения,

(1 + 0,02)2 = 1 +

1 + 0,04 + 0,0004 = 1 + ·100

100 + 4+ 0,04 = 100 + а а = 4,04% нужно повышать цену товара во втором магазине.

Ответ: 4,04%.

Заключение.

Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики вводится и изучается процент, потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие задачи с процентами на уроках химии, физики, биологии, географии. Поэтому повышенное внимание к данной теме оправдано, и требует более глубокого изучения в школьном курсе математики.

Результаты работы можно использовать как:

1. Выполненная работа может быть использована в первую очередь как пропедевтическая, для подготовки учащихся к выпускному и вступительному экзамену в ВУЗы нашей страны

2. Методические комплекты задач трех (основных) типов, подобранные и систематизированные учащимися, способствуют расширению обучаемых возможностей учителя по разделу алгебры «Проценты», «Решение тестовых задач».

3. Результаты работы могут быть использованы на элективных (факультативных) курсах, при самостоятельной подготовке учащихся по данной теме.

4. Приобретенный учащимися опыт решения задач на проценты делает данную работу актуально-значимой.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)