Секреты таблицы умножения или как быстро выучить таблицу

Умножение чисел сейчас изучают в начальной школе дети 8 лет. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

В нашей работе вы найдете ответ на вопрос «Как выучить таблицу умножения?». Мы раскроем секреты быстрого запоминания таблицы.

За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачиоли в своем трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494г. ) приводит 8 различных методов умножения. Некоторые из них мы постарались освоить. Кроме этого, мы предлагаем ознакомиться с другими способами умножения многозначных чисел, которые мы нашли в литературе.

Основополагающие вопросы:

- Как быстро выучить таблицу умножения?

- Умножение «столбиком» это единственно возможный или самый удобный способ умножения многозначных чисел?

Дидактические цели:

- формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, навыков самостоятельной работы с большим объемом информации;

- формирование критического мышления, навыков работы в команде.

Задачи исследования:

- раскрыть секреты таблицы умножения;

- найти все возможные методы умножения;

- освоить различные способы умножения многозначных чисел;

- определить преимущества и недостатки каждого способа

Как выучить таблицу умножения.

В начальных классах нам обычно задают выучить "таблицу умножения" - таблицу, где содержатся произведения всех возможных сочетаний однозначных чисел.

Для выучивания наизусть выглядит страшновато. Сто результатов! Зубрить их так долго и скучно. А на самом деле, сколько комбинаций надо запомнить, чтобы знать всю таблицу? Не сто, это точно. Внимательно изучив таблицу, постараемся найти как можно больше способов научиться умножать числа из нее без зубрежки.

1. Рассмотрев хорошенько таблицу, замечаем, что она симметричная. Ведь 4х8=8х4, а 9х6=6х9, и так далее. Чтобы все не перечислять, запишем это наблюдение словами: "если одно число умножить на второе, то ответ такой же, как если второе умножить на первое". То есть часть таблицы нам учить не надо. И мы можем закрасить 45 клеток.

2. Есть еще два числа, на которые умножать очень легко.

Это 1 и 10. Вычеркнем и умножение на эти числа из списка тех, что надо вызубрить. Остается 36 чисел.

3. Дважды два - четыре. Удваивать легко. Ученые даже считают, что удваивание "запрограммировано" в мозгу человека. Малыши учатся удваивать, деля конфеты на двоих, считая туфельки и перчатки. Чтобы умножить на два - сложите число с самим собой! А чтобы умножить на четыре? Умножить на четыре - это все равно, что умножить на два два раза. То есть для умножения на четыре, удваиваем число (это легко), а потом удваиваем результат. Закрасив 7 клеток, получаем 21 число для заучивания.

4. Чтобы умножить число на восемь, нужно умножить его на 2 три раза. Таким образом закрашиваем еще шесть чисел.

5. Легко научиться умножать на 5. Один из способов заключается в следующем. Чтобы умножить на пять, умножаем число на десять и потом делим на два. Например, пять умножить на восемь равно половине от восьмидесяти. Пять умножить на четыре равно половине от сорока. Закрасив строки и столбцы результатов умножения на 5, получим 11 клеток.

6. Умножать на три тоже нетрудно. Можно закрасить еще 5 клеток.

Таким образом, осталось выучить шесть комбинаций!

Есть очень оригинальный способ умножения на пальцах чисел от шести до девяти.

Пронумеруем пальцы обеих рук: большие - 5, указательные - 6, средние - 7, безымянные - 8, мизинцы - 9. Для начала можно написать цифры на ногтях фломастером. Положим руки перед собой на край стола ладонью вниз - и «аналоговый компьютер» готов!

Допустим, умножаем 7х8. Сведем палец номер 7 на левой руке и палец номер 8 на правой. Положим эти касающиеся пальцы вдоль края стола. Свисающие пальцы - два на левой и три на правой - складываем и считаем десятками, то есть - 50. Пальцы на столе перемножаем: три с левой два с правой - получается 6. В итоге имеем результат 56.

Еще пример: 9х8. Касаемся пальцами номер 9 на левой и номер 8 на правой руках. Перед касающимися пальцами осталось 7 пальцев (4 на левой и 3 на правой) - это дает 70. Остальные перемножаем: 1 на левой на 2 на правой. Получается 2. И ответ - 72.

То есть пальцы перед касающимися всегда считаем десятками, а остальные перемножаем левую руку на правую. После третьего-четвертого умножения получается очень быстро и ловко.

Способы умножения многозначных чисел.

Взгляд в прошлое.

«Решетчатое умножение»

Один из них носит название «ревность, или решетчатое умножение».

Сначала рисуется прямо угольник, разделенный на квадраты, причем размеры сторон прямоугольника соответствуют числу цифр каждого множителя. Затем

Квадратные клетки делятся по диагонали, и «. получается картинка, похожая на решетчатые ставни - жалюзи, - пишет Пачиоли. - Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих в окнах дам и монахинь». Перемножим этим способом числа 1998 и 987

Для этого запишем вверху таблицы число 987, а слева 1998 (причем, снизу вверх). Теперь в каждый квадрат впишем произведение цифр сомножителей, расположенных в одной строке и в одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы в верхнем. После того как все треугольники заполнены, цифры в них складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа и снизу от таблицы - получается произведение 1972020.

Этот способ ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе.

«Маленький замок»

Другой способ называется «маленький замок». Сначала, как мы и привыкли, одно число записываем под другим, но затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинаются с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей.

Умножение чисел 1998 и 987 этим способом показано в приложение 2. Его преимущество в том, что уже самого начала определяются цифры старших разрядов. Это бывает важно при прикидочных расчетах, если требуется быстро оценить величину.

«Умножение крестиком»

При перемножении многозначных чисел в уме неопытные счетчики часто делают ошибки. Поэтому лучше многозначные числа перемножать на бумаге. Но в некоторых случаях умножение выполняется легко. Особенно важно научиться перемножать в уме двузначные числа; это делается просто и постоянно встречается в жизни.

Прием, которым при этом пользуются, называется «умножение крестиком». Возьмем два двузначных числа, например, 53 и 37 и подпишем их одно под другим.. Умножая десятки на десятки, получаем сотни. В нашем примере 3 десятка, умноженных на 5 десятков, дают 15 сотен, Т. е. тысячу пятьсот. Перемножив простые единицы, получим в нашем примере двадцать один. Всего получается 1521. Короче это число можно было получить так: к произведению десятков (15) приписываем справа произведение единиц (21); получаем 1521. Но это еще не все. Нужно учесть произведение каждого числа на десятки другого. В нашем примере: семь раз по пять десятков - 35 десятков и три раза по три десятка - 9 десятков; итого тридцать пять да девять - сорок четыре десятка, Т. е. 440. Значит, к 1521 нужно добавить 440. Получаем 1961.

При практических вычислениях схема не рисуется. Все рассуждения проводятся в уме.

Отметим некоторые особенно простые случаи. Если каждый из сомножителей меньше двадцати, например, если надо умножить 18 на 13, то прибавляем к первому единицы второго (18 + 3 = 21), мысленно приписываем нуль (21 О) и прибавляем произведение единиц (3 х 8 = 24): двести десять да двадцать четыре - двести тридцать четыре.

Если нужно умножить само на себя двузначное число, оканчивающееся на 5, то можно делать так. Первую цифру увеличиваем на единицу и результат умножаем на саму первую цифру. К тому, что получилось, мысленно справа приписываем 25.

Например: умножим 75 на 75. Семь да один - восемь, семью восемь - пятьдесят шесть; приписываем справа 25 - получаем 5625.

Если один из сомножителей близок к «круглому» числу, то умножаем на это круглое число и делаем поправку.

Пример: умножим 37 на 98.

Рассуждаем так: 98 - это сто без двух. Значит, умножим 37 на 100 и отнимем от результата произведение 37 и 2.

Тридцать семь, умноженное на сто, дает 3700, а тридцать семь, умноженное на два - семьдесят четыре. Значит, от 3700 отнимем 74. Получаем 3626.

Русский крестьянский способ умножения.

Все приемы умножения, описанные Пачиоли, а также способы умножения в Индии, Китае, в Европе эпохи Возрождения опираются на знание таблицы умножения.

Однако в России среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Он получил название «русский крестьянский метод умножения». Два столетия назад крестьянам достаточно было уметь умножать на два и делить на два, а также складывать числа.

Вот как часто они делали . Запишем на одной строке одно из чисел слева, второе - справа. Левое число будем делить на два, правое - умножать на два, а результаты записывать в столбик. Если при делении возникнет остаток (т. е. делимое окажется нечетным числом), то он отбрасывается. Умножение и деление на два продолжаем до тех пор, пока слева не останется 1. Затем вычеркнем те строчки столбиков, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце. Полученное число - произведение тех двух чисел, с которых мы начали!

«Крестьянский способ» может понравиться тем, кто не в ладах с таблицей умножения, правда, здесь приходится производить больше сложений.

Получается, что, выигрывая в простоте вычислений, мы проигрываем во времени. Так что привычное умножение, пожалуй, лучше.

Существует множество способов умножения чисел с применением таблицы, придуманных в разное время и в разных странах. Но другого способа, кроме «русского крестьянского способа умножения», который обходился бы без нее, похоже, не существует.

Необычная проверка умножения.

Издавна существует способ проверки правильности умножения: вычисляется сумма цифр у каждого сомножителя и у произведения: если среди полученных чисел не все однозначные, то у них вновь и вновь вычисляются суммы цифр до тех пор, пока они не станут однозначными. После этого перемножаются однозначные числа, соответствующие сомножителям, и у этого произведения вычисляется сумма цифр. Если полученное число совпадает с однозначным числом, вычисленным для произведения первоначальных чисел, то умножение начальных чисел считается выполненным верно.

Проверка умножения «исключением девяток»

При умножении многозначных чисел мы часто пользуемся методом умножения столбиком. Для небольших чисел вероятность ошибки в вычислениях мала. Но как быть при умножении крупных многозначных чисел, как проверить правильность ответа?

Для проверки умножения существует метод исключения девяток.

При проверке результата с исключением девяток участвуют только множители и произведение, так что о промежуточных результатах можно не беспокоиться.

Складываем все цифры первого множителя, при этом исключая цифры, дающие в сумме 9.

Это 7 и 2 (7+2=9), 8 и 1 (8+1=9). Так что в качестве суммы цифр останется только 5.

Аналогично складываем все цифры второго множителя. Мы можем исключить 2 и 7 (2+7=9) и цифру 9. Так что в качестве суммы цифр останется только 4.

Теперь сложим цифры произведения, исключая цифры 2 и 7 (2+7=9), 8 и 1 (8+1 =9). Остаются 4 + 8 + 8 = 20. В данном случае (когда получается двузначное число) складываем цифры 2 и О (2+0=2). Получаем 2.

Находим произведение 4 и 5: 4х5=20. Сумма цифр 2+0=2. Таким образом, после всех операций с суммами цифр множителей и результата умножения мы имеем 2=2. Следовательно, наш пример был решен правильно.

Заключение

Работая над темой нашего исследования мы пришли к следующим выводам:

1. Внимательно изучив таблицу умножения, мы нашли много способов научиться умножать числа из нее без зубрежки. Если применить все предлагаемые нами способы остается выучить только шесть комбинаций!

В ходе нашей работы мы нашли и освоили различные способы умножения многозначных чисел и можем констатировать следующее:

- большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения;

- способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе;

- преимущество способа «маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов. Это бывает важно при прикидочных расчетах, если требуется быстро оценить величину;

- «умножение крестиком» также основано на знании таблицы умножения, но позволяет быстро и легко перемножать двузначные числа. Это делается просто и постоянно встречается в жизни;

- все приемы умножения, которые мы встретили в разных источниках; способы умножения в Индии, Китае, в Европе эпохи Возрождения опираются на знание таблицы умножения. Только один « русский крестьянский способ умножения» не требовал знаний таблицы. Достаточно только уметь умножать и делить на два!

3. Оказывается, проверять умножение очень даже интересно! Для этого существуют способы проверки умножения многозначных чисел:

- метод исключения девяток;

- по сумме цифр каждого множителя и произведения.

Таким образом, пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы умножения.