Решение задач с параметрами

В настоящее время на экзамене (по новой форме) в 9 классе, по алгебре предлагают и задачи, и примеры с параметрами, решение которых вызывает большие затруднения у многих учеников.

Многие ученики при подготовке к экзаменам боятся даже браться за эти задачи, думая, что у них все равно ничего не получится. Но для решения задач с параметрами нужно просто использовать свой здравый смысл, и решение окажется простым и понятным.

Целью моей работы является: решить задачи с параметрами и познакомить учеников с методами решений.

Я уверена, что моя работа поможет ученикам 9-ых классов подготовиться к итоговой аттестации по алгебре.

2)Уравнения, содержащие параметры.

1. При каких значениях k уравнение имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие.

Решение:

Наличие или отсутствие корней квадратного уравнения определяется знаком дискриминанта.

Найдем дискриминант уравнения и получим :. Если уравнение имеет корни, то или , откуда. Подходит, например,

2. Найдите все целые значения k, при которых уравнение имеет два корня.

Решение:

Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант положительный.

Для уравнения найдем дискриминант. Решим неравенство >0 или >0, откуда и (т. к. уравнение квадратное). Этим условиям удовлетворяют числа:.

3. При каком значении m уравнение имеет два корня? Найдите эти корни.

Решение:

Разложим левую часть на множители, один из которых x, а другой- квадратный трехчлен. Чтобы данное уравнение имело 2 корня, надо чтобы квадратный трехчлен имел 1 корень. Для этого дискриминант должен равняться 0.

Запишем уравнение в виде. Один корень при любых m. Найдем дискриминант квадратного трехчлена , откуда

Тогда данное уравнение имеет вид , корни которого и

4. При каких значениях c уравнение имеет корни?

Решение:

Запишем данное уравнение в стандартном виде и найдем его дискриминант D. Если уравнение имеет корни, то. Решим это неравенство.

Уравнение запишем в виде. Его дискриминант

Решая неравенство , найдем

3) Системы уравнений, содержащие параметры.

5. При каких значениях p система уравнений имеет решение:

Решение:

Сначала решим систему из первых двух уравнений. Подстановкой найденного решения в третье уравнение определим значение параметра p.

Умножим второе уравнение системы на число 3 и получим

Сложим уравнения и найдем. Из любого уравнения получим. Подставим решение (-1;2) в третье уравнение системы и найдем

6. При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения принадлежат промежутку ?

Решение:

Найдем корни уравнения и выясним, при каких условиях они принадлежат данному промежутку.

Для уравнения Найдем и корни. Решим систему неравенств или , откуда

7. При каких значениях a один корень квадратного уравнения больше , а другой меньше ?

Решение:

Если корни квадратного трехчлена расположены по разные стороны от числа, то.

Для квадратного трехчлена получаем или. Решение этого неравенства

8. При каких значениях b уравнение имеет два различных положительных корня.

Решение:

Рассмотрим расположение корней квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет два различных положительных корня, если дискриминант или или. Решение неравенства и. Кроме того, абсцисса вершины параболы , откуда. Итак, условия задачи выполнимы при

9. При каком значении m сумма квадратов корней уравнения минимальна?

Решение:

Используем формулы Виета и выразим сумму квадратов корней

Для уравнения получим. Наименьшее значение эта величина принимает при. Для такого значения уравнение принимает вид и имеет корни.

10. При каких отрицательных значениях a система имеет два решения?

Решение:

Из линейного уравнения выразим одну переменную через другую и подставим в оставшееся уравнение. Затем исследуем квадратное уравнение с параметром.

Из второго уравнения системы выразим и подставим в первое. Получаем или. Такое уравнение имеет два решения, если. Отрицательные решения этого неравенства

11. При каких значениях b система имеет единственное решение

Решение:

Из линейного уравнения выразим одну переменную через другую и подставим в другое уравнение. Затем исследуем квадратное уравнение с параметром.

Из второго уравнения системы выразим и подставим в первое. Получим или. Такое уравнение будет иметь единственное решение, если, откуда

4) Неравенства, содержащие параметры.

выполняется при всех значениях x?

Решение:

Условие задачи выполняется, если дискриминант D квадратного трехчлена отрицательный.

Неравенство выполняется при всех значениях x, если дискриминант квадратного трехчлена. Найдем. Решение этого неравенства

13. При каких значениях p система неравенств имеет решение?

Решение:

Решим систему неравенств и исследуем это решение.

Имеем: или

Такая система имеет решение, если. Откуда

14. При каких значениях m система неравенств имеет ровно три целых решения:

Решение:

Решим систему неравенств и исследуем это решение.

Имеем: или. Необходимо, чтобы система имела ровно 3 целых решения. Такими решениями могут быть только числа: 4;5;6. Поэтому должно выполняться неравенство , откуда

5)Графическое представление и свойство функций

Найдите значения b, при которых парабола касается оси OX. Для каждого значения b определите координаты точки касания.

Решение:

Учтем, что парабола касается оси OX, если дискриминант равен 0.

Найдем дискриминант и приравняем его к 0. , Точкой касания является вершина параболы.

Точки касания (3;0) и (-3;0)

16. При каких значениях a парабола пересекает ось OX в двух точках и ее ветви направлены вниз?

Решение:

Для того, чтобы парабола пересекала ось OX в 2 точках, дискриминант уравнения должен быть положительным. Находим дискриминант уравнения. ,. Т. к. , то или. Для того, чтобы ветви параболы были направлены вниз, коэффициент перед квадратичным членом должен быть меньше 0,. Получаем общее ограничение:.

17. При каких положительных значениях k парабола и прямая не пересекаются?

Решение:

Рассмотрим систему уравнений, получим квадратное уравнение и исследуем его дискриминант.

Парабола и прямая не пересекаются, если система уравнений не имеет решений. Получаем квадратное уравнение или. Его дискриминант. Решение этого неравенства. Т. к. , то получаем

18При каких значениях n парабола целиком расположена ниже прямой.

Решение:

Парабола целиком расположена выше (ниже) прямой, если координата у вершины расположена выше (ниже) этой прямой и ветви направлены вверх (вниз).

Зная формулу для координаты. Выведем формулу для. ,. Подставляем значения a, b, c из уравнения. Найдем y вершины параболы , откуда. Для того, чтобы парабола была ниже прямой , должна быть меньше единицы или , откуда.

19При каких значениях p вершины парабол и расположены по разные стороны от оси OX.

Решение:

Для того, чтобы вершины парабол находились по разные стороны от оси OX, нужно, чтобы произведение y-координат вершин обеих парабол было меньше 0.

Найдем координаты y вершин обеих парабол или. Координаты всегда меньше 0, следовательно, должно быть больше 0. или , откуда и

20 При каких значениях a точки A(4;a) и B(4;-3) расположены в разных полуплоскостях относительно прямой ?

Решение:

Если координаты x обеих точек равны, то вторая точка с неизвестной координатой должна быть ниже (выше) точки пересечения прямой и , где - координата двух точек.

Так как , находим y точки пересечения прямых и. Получаем. Так как , следовательно, B(4;-3) выше прямой, значит A(4;a) должна быть ниже, т. е.