Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Решение уравнений высших степеней различными методами

При решении алгебраических уравнений часто приходится разлагать многочлен на множители. Разложить многочлен на множители – это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. Некоторые методы разложения многочленов мы употребляем достаточно часто: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, выделение полного квадрата, группировка. Рассмотрим ещё некоторые методы.

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1) если многочлен, с целыми коэффициентами имеет рациональный корень (где - несократимая дробь, ,то -делитель свободного члена а делитель старшего коэффициента :

2) Если каким-либо образом подобрать корень многочлена степени , то многочлен можно представить в виде где многочлен степени

Многочлен можно найти либо делением многочлена на двучлен «столбиком», либо соответствующей группировку слагаемых многочлена и выделением из них множителя либо методом неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить на множители многочлен

Решение. Поскольку коэффициент при х4 равен 1, то рациональные корни данного многочлена, существуют, являются делителями числа 6, т. е. могут быть целыми числами ±1, ±2, ±3, ±6. Обозначим данный многочлен через Р4(х). Так как Р Р4 (1) = 4 и Р4(-4) = 23, то числа 1 и -1 не являются корнями многочлена РА{х). Поскольку Р4(2) = 0, то х = 2 является корнем многочлена Р4(х), и, значит, данный многочлен делится на двучлен х - 2. Поэтому х4 -5х3 +7х2 -5х +6 х-2 х4 -2х3 х3 -3х2 +х-3

-3х3 +7х2 -5х +6

-3х3 +6х2 х2 - 5х + 6 х2- 2х

-3х + 6

-3х + 6

Следовательно, Р4(х) = (х - 2)(х3 - Зх2 + х - 3). Так как xz - Зх2 + х - 3 = х2 (х - 3) + (х - 3) = (х - 3)(х2 + 1), то х4 - 5х3 + 7х2 - 5х + 6 = (х - 2)(х - 3)(х2 + 1).

Метод введения параметра

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода поясним на следующем примере.

Пример. х3 –(√3 + 1) х2 + 3.

Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а: х3 - (а + 1)х2 + а2, который при а = √3 превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трехчлен относительно а: аг - ах2 + (х3 - х2).

Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть а1 = х и а2 = х2 - х , то справедливо равенство а2 - ах2 + {xs - х2 ) = {а – х)(а - х2 + х). Следовательно, многочлен х3 - (√3 + 1)х2 + 3 разлагается на множители √3 – х и √3 - х2 + х, т. е.

х3 – (√3+1)х2+3=(х-√3)(х2-х-√3).

Метод введения новой неизвестной

В некоторых случаях путем замены выражения f{x), входящего в многочлен Рп{х), через у можно получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замены у на f{x) получаем разложение на множители многочлена Рп{х).

Пример. Разложить на множители многочлен х(х+1)(х+2)(х+3)-15.

Решение. Преобразуем данный многочлен следующим образом: х(х+1)(х+2)(х+3)-15= [х (х + 3)][(х + 1)(х + 2)] - 15 =(х2 + 3х)( х2 + 3х + 2) - 15.

Обозначим х2 + 3х через у. Тогда имеем у(у + 2) - 15 = у2 + 2у - 15 = у2 + 2у + 1 - 16 = (у + 1)2 - 16 = (у + 1 + 4)(у + 1 - 4)= (у+ 5)(у - 3).

Поэтому х(х + 1)(х+ 2)(х + 3) - 15 = (х2+ 3х + 5)(х2 + 3х - 3).

Пример. Разложить на множители многочлен (х-4)4+(х+2)4

Решение. Обозначим х- 4+х+2 = х - 1 через у.

(х - 4)4 + (х + 2)2= (у - 3)4 + (у + 3)4 = у4 - 12у3 +54у3 - 108у + 81 + у4 + 12у3 + 54у2 + 108у + 81 =

- 2у4 + 108у2 + 162 = 2(у4 + 54у2 + 81) = 2[(уг + 27)2 - 648] = 2 (у2 + 27 - √б48 )(у2 + 27+√б48 )=

=2((х-1)2+27-√б48 )((х-1)2+27+√б48 )=2(х2-2х + 28- 18√ 2)(x2- 2x + 28 + 18√ 2).

Комбинирование различных методов

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов.

Пример. Разложить на множители многочлен х4 - 3х2 + 4х-3.

Решение. Применяя группировку, перепишем многочлен в виде x4 - 3х2 + 4х - 3 = (х4 – 2х2) – (х2 -4х + 3).

Применяя к первой скобке метод выделения полного квадрата, имеем х4 - 3х3 + 4х - 3 = (х4 - 2 ·1· х2 + 12) - (х2 -4х + 4).

Применяя формулу полного квадрата, можно теперь записать, что х4 – 3х2 + 4x - 3 = (х2 -1)2 - (х - 2)2.

Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что х4 - 3х2 +4x - 3 = (х2 - 1 + х - 2)(х2 - 1 - х + 2) =(х2+х-3)(х2 -x + 1).

§ 2. Симметрические уравнения

1. Симметрические уравнения третьей степени

Уравнения вида ах3 + bх2 + bх + а = 0, а ≠ 0 (1) называются симметрическими уравнениями третьей степени. Поскольку ах3 + bх2 + bх + а = а(х3 + 1) + bх (х + 1) =(х+1)(ах2+(b-а)х+а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений х + 1 = 0 и ах2 + (b-а )х + а = 0, решить которую не представляет труда.

Пример 1. Решить уравнение

3х3 + 4х2 + 4х + 3 = 0. (2)

Решение. Уравнение (2) является симметрическим уравнением третьей степени.

Поскольку 3х3 +4хг +4х + 3 = 3(х3 + 1) + 4х(х + 1) = (х+ 1)(3х2 - Зх + 3 + 4х) = (х + 1)(3х2 + х + 3), то уравнение (2) равносильно совокупности уравнений х + 1 = 0 и 3х3 + х +3=0.

Решение первого из этих уравнений есть х = -1, второе уравнение решений не имеет.

Ответ: х = -1.

2. Симметрические уравнения четвертой степени

Уравнение вида

(3) называется симметрическим уравнением четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения(3), то, разделив обе части уравнения(3) на х2, получим уравнение, равносильное исходному(3):

Перепишем уравнение (4) в виде:

В этом уравнение сделаем замену , тогда получим квадратное уравнение

Если уравнение (5) имеет 2 корня у1 и у2, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Если же уравнение (5) имеет один корень у0, то исходное уравнение равносильно уравнению

Наконец, если уравнение (5) не имеет корней, то и исходное уравнение также не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х = 0 не является его корнем, то, разделив уравнение (6) на х2, получим равносильное ему уравнение:

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение (7) в виде или в виде

Положив , получим уравнение имеющее два корня у1 = 2 и у2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Решение первого уравнения этой совокупности есть х1 = 1, а решение второго есть и.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: х1, х2 и х3.

Ответ: х1=1, ,.

§3. Алгебраические уравнения

1. Понижение степени уравнения

Некоторые алгебраические уравнения заменой в них некоторого многочлена одной буквой могут быть сведены к алгебраическим уравнениям, степень которых меньше степени исходного уравнения и решение которых проще.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Обозначим через , тогда уравнение (1) можно переписать в виде Последнее уравнение имеет корни и Следовательно, уравнение (1) равносильно совокупности уравнений и. Решение первого уравнения этой совокупности есть и Решения второго уравнения есть

Решениями уравнения (1) являются

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Умножив обе части уравнения на 12 и обозначив через ,

Получим уравнение Перепишем это уравнение в виде

(3) и обозначив через перепишем уравнение (3) в виде Последнее уравнение имеет корни и Поэтому получаем, что уравнение (3) равносильно совокупности двух уравнений и Решения этой совокупности уравнений есть и т. е. уравнение (2) равносильно совокупности уравнений и (4)

Решениями совокупности (4) является и , они и являются решениями уравнения (2).

2. Уравнения вида

Уравнение

(5) где -данные числа, можно свести к биквадратному уравнению с помощью замены неизвестной т. е. замены

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Обозначим через ,т. е. сделаем замену переменных или Тогда уравнение (6) можно переписать в виде или, применяя формулу, в виде

Поскольку корни квадратного уравнения есть и то решения уравнения (7) есть решения совокупности уравнений и. Это совокупность уравнений имеет два решения и Следовательно, решения уравнения (6) есть и

3. Уравнения вида

Уравнение

(8) где числа α, β, γ, δ, и Α таковы, что α<β<γ<δ и β-α = δ-γ, заменой неизвестных сводится к биквадратному уравнению.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Сделаем замену неизвестных т. е. y=x+3 или x = y – 3. Тогда уравнение (9) можно переписать в виде

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, т. е. в виде

(y2- 4)(y2-1)=10(10)

Биквадратное уравнение (10) имеет два корня. Следовательно, уравнение (9) так же имеет два корня:

4. Уравнения вида

Уравнение, (11)

Где , не имеет корня x = 0, поэтому, разделив уравнение (11) на x2 , получим равносильное ему уравнение

, которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного уравнения, решение которого не представляет трудностей.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Так как ч = 0 не является корнем уравнения (12), то, разделив его на x2, получим равносильное ему уравнение

Делая замену неизвестной , получим уравнение (y+1)(y+2)=2, которое имеет два корня: y1 = 0 и y1 = -3. Следовательно, исходное уравнение (12) равносильно совокупности уравнений

Эта совокупность имеет два корня: x1= -1 и x2 = -2.

Ответ: x1= -1, x2 = -2.

Замечание. Уравнение вида ,

У которого , всегда можно привести к виду (11) и, более того, считая α > 0 и λ > 0 к виду.

5. Уравнения вида

Уравнение

,(13) где числа, α, β, γ, δ, и Α таковы, что αβ = γδ ≠ 0, можно переписать, перемножив первую скобку со второй, а третью с четвертой, в виде т. е. уравнение (13) теперь записано в виде (11), и его решение можно проводить так же, как и решение уравнения (11).

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Уравнение (14) имеет вид (13) , поэтому перепишем его в виде

Так как х = 0 не есть решение этого уравнения, то, разделив его обе части на х2, получим равносильное исходное уравнение. Делая замену переменных , получаем квадратное уравнение , решение которого есть и. Следовательно, исходное уравнение (14) равносильно совокупности уравнений и.

Решение первого уравнения этой совокупности есть

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Итак, исходное уравнение имеет корни х1 и х2.

Ответ: ,.

6. Уравнения вида

Уравнение

(15) где числа a, b, c, q, A таковы, что , не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение (15) на х2. получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного уравнения, решение которого не представляет трудностей.

Пример 7. Решение уравнения

Решение. Так как х = 0 не является корнем уравнения (16), то, разделив обе его части на х2, получим уравнение

, (17) равносильное уравнению (16). Сделав замену неизвестной , уравнение (17) перепишем в виде

Квадратное уравнение (18) имеет 2 корня: у1 = 1 и у2 = -1. Поэтому уравнение (17) равносильно совокупности уравнений и (19)

Совокупность уравнений (19) имеет 4 корня: , , ,.

Они будут корнями уравнения (16).

Ответ: , , ,.

§4. Рациональные уравнения

Уравнения вида = 0, где Н(х) и Q(x) – многочлены, называются рациональными.

Найдя корни уравнения Н(х) = 0, затем надо проверить, какие из них не являются корнями уравнения Q(x) = 0. Эти корни и только они будут решениями уравнения.

Рассмотрим некоторые методы решения уравнения вида = 0.

1. Уравнения вида

Уравнение

(1) при некоторых условиях на числа может быть решено следующим образом. Группируя члены уравнения (1) по два и суммируя каждую пару, надо получить в числителе многочлены первой или нулевой степени, отличающиеся только числовыми множителями, а в знаменателях – трехчлены с одинаковыми двумя членами, содержащими х, тогда после замены переменных получение уравнение будет либо иметь также вид (1), но с меньшим числом слагаемых, либо будет равносильно совокупности двух уравнений, одно из которых будет первой степени, а второе будет уравнением вида (1), но с меньшим числом слагаемых.

Пример. Решить уравнение

Решение. Сгруппировав в левой части уравнения (2) первый член с последним, а второй с предпоследним, перепишем уравнение (2) в виде

Суммируя в каждой скобке слагаемые, перепишем уравнение (3) в виде

Так как не есть решение уравнения (4), то, разделив это уравнение на , получим уравнение

, (5) равносильное уравнению (4). Сделаем замену неизвестного , тогда уравнение (5) перепишется в виде

Таким образом, решение уравнения (2) с пятью слагаемыми в левой части сведено к решению уравнения (6) того же вида, но с тремя слагаемыми в левой части. Суммируя все члены в левой части уравнения (6), перепишем его в виде

Решения уравнения есть и. Ни одно из этих чисел не обращает в нуль знаменатель рациональной функции в левой части уравнения (7). Следовательно, уравнение (7) имеет эти два корня, и поэтому исходное уравнение (2) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть

Решения второго уравнения из этой совокупности есть

Поэтому исходное уравнение имеет корни

Ответ: , ,

2. Уравнения вида

Уравнение

(8) при некоторых условиях на числа можно решить так: надо выделить целую часть в каждой из дробей уравнения, т. е. заменить уравнение (8) уравнением

, свести его к виду (1) и затем решить его способом, описанным в предыдущем пункте.

• Пример. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение (9) в виде или в виде

. (10)

Суммируя слагаемые в скобках, перепишем уравнение (10) в виде

Делая замену неизвестного , перепишем уравнение (11) в виде

. (12)

Суммируя члены в левой части уравнения (12), перепишем его в виде

Легко видеть, что уравнение (13) имеет два корня: и. Следовательно, исходное уравнение (9) имеет четыре корня:

Ответ:.

3) Уравнения вида.

Уравнение вида (14) при некоторых условиях на числа можно решать так: разложив (если это, конечно, возможно) каждую из дробей в левой части уравнения (14) в суму простейших дробей

, свести уравнение (14) к виду (1), затем, проведя удобную перегруппировку членов полученного уравнения, решать его методом, изложенном в пункте 1).

Пример. Решить уравнение

Решение. Поскольку и , то, умножив числитель каждой дроби в уравнении (15) на 2 и заметив, что уравнение (15) можно записать в виде

Уравнение (16) имеет вид (7). Перегруппировав слагаемые в этом уравнении, перепишем его в виде или в виде

Уравнение (17) равносильно совокупности уравнений и

Для решения второго уравнения совокупности (18) сделаем замену неизвестного Тогда оно перепишется в виде или в виде

Суммируя все члены в левой части уравнения (19),перепишите его в виде

Так как уравнение не имеет корней, то уравнение (20) их также не имеет.

Первое уравнение совокупности (18) имеет единственный корень Поскольку этот корень входит в ОДЗ второго уравнения совокупности (18), то он является единственным корнем совокупности (18), а значит, и исходного уравнения.

4. Уравнения вида

Уравнение

(21) при некоторых условиях на числа и A после представления каждого слагаемого в левой части в виде может быть сведено к виду (1).

Пример. Решить уравнение

. (22)

Решение. Перепишем уравнение (22) в виде или в виде

Таким образом, уравнение (23) сведено к виду (1). Теперь, группируя первый член с последним, а второй с третьим, перепишем уравнение (23) в виде

Это уравнение равносильно совокупности уравнений и. (24)

Последнее уравнение совокупности (24) можно переписать в виде

Решения этого уравнения есть и , так как входит в ОДЗ второго уравнения совокупности (30), то совокупность (24) имеет три корня:. Все они есть решения исходного уравнения.

Ответ:.

5. Уравнения вида.

Уравнение вида (25)

При некоторых условиях на числа заменой неизвестного можно свести к уравнению вида

Пример. Решить уравнение

. (26)

Решение. Так как не является решением уравнения (26), то разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на , перепишем его в виде

Сделав замену переменных перепишем уравнение (27) в виде

. (28)

Решая уравнение (28) есть и. Поэтому уравнение (27) равносильно совокупности уравнений и. (29)

Корни первого уравнения этой совокупности есть и. Второе уравнение решений не имеет. Следовательно, совокупность (29), а значит, и исходное уравнение имеет два корня: и.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)