Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Решение уравнений в целых числах

С опушки леса в чащу ведет множество тропинок. Они извилисты, они сходятся, расходятся вновь и снова пересекаются одна с другой. На прогулке можно только заметить обилие этих тропинок, походить по некоторым из них и проследить их направление в глубь леса. Для серьезного изучения леса нужно идти по тропинкам, пока они вообще различимы среди сухой хвои и кустарников.

Поэтому мне захотелось написать проект, который можно рассматривать как описание одной из возможных прогулок по опушке современной математики.

Окружающий мир, потребности народного хозяйства, а зачастую, и повседневные хлопоты ставят перед человеком все новые и новые задачи, решение которых не всегда очевидно. Порою тот или иной вопрос имеет под собой множество вариантов ответа, из-за чего происходят затруднения в решении поставленных задач. Как выбрать правильный и оптимальный вариант?

С этим же вопросом напрямую связано решение неопределенных уравнений. Такие уравнения, содержащие две или более переменных, для которых требуется найти все целые или натуральные решения, рассматривались еще в глубокой древности. Например, греческий математик Пифагор (IV век до н. э. ). александрийский математик Диофант ( II-III век н. э. ) и лучшие математики более близкой нам эпохи - П. Ферма (XVII век), Л. Эйлер (XVIII век), Ж. Л. Лагранж (XVIII век) и другие.

Участвуя в Российском заочном конкурсе <<Познание и творчество>> г. Обнинска, Международном конкурсе - игре <<Кенгуру>> и олимпиаде Уральского Федерального округа часто сталкиваюсь с такими задачами. Это связано с тем, что их решение носит творческий характер. Проблемы, возникающие при решении уравнений в целых числах, вызваны как сложностью, так и тем, что в школе им уделяется мало времени.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди непроницаемой тьмы.

Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляют полтысячелетия! Нижняя грань определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского который жил в середине 2-ого в. до н. э.

С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к <<Альмагесту>> знаменитого астронома Птолемея помещен отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине 4-ого в. н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!

Французский историк науки Поль Таннри, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сузить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывки из письма Михаила Пселла, византийского ученого Х1 в. , где говорится, что ученейший Анатолий после того как собрал наиболее существенные части этой науки речь идет о введении степеней неизвестного и об их (обозначении), посвятил их своему другу Диофанту. Анатолий Александрийский действительно составил <<Введение в арифметику>>, отрывки которой приводят в дошедшей до нас сочинений Ямблих и Евсений. Но Анатолий жил в Александрии в середине 111-го в до н. э и даже более точно - до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый Александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина 111-го века нашей эры.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно - Александрия, центр научной мысли и эллинистического мира.

До наших времен дошла одна из эпиграмм Палатинской Антологии:

Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант.

Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:

Таким образом, Диофант прожил 84 года.

Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в <<Арифметику>>, стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по <<Началам>> Евклида, его <<Данным>>, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. <<Арифметика>>, несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными.

Мы можем только гадать о её корнях, и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

<<Арифметика>> Диофанта это сборник задач (всего 189), каждая из которых снабжена решением. Задачи в ней тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методах. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

Достоверно известно своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

<<Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь>>

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Исследования диофантовых уравнений обычно связано с большими трудностями.

В 1900 году на всемирном конгрессе математиков в Париже один из крупнейших математиков мира Давид Гильберт выделил 23 проблемы из различных областей математики. Одной из этих проблем была проблема решения диофантовых уравнений. В проблеме заключалось следующее: можно ли разрешить уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми коэффициентами, определённым способом - с помощью алгоритма. Задача состоит в следующем: для заданного уравнения надо найти все целые или натуральные значения переменных, входящих в уравнение, при которых оно превращается в истинное равенство. Диофант придумал для таких уравнений много разнообразных приёмов решения. Ввиду бесконечного разнообразия диофантовых уравнений общего алгоритма для их решения не существует, и практически для каждого уравнения приходится изобретать индивидуальный приём.

Диофантовым уравнением 1-ой степени или линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида: ax+by=c, где a,b,c-целые, НОД(a,b)=1.

Приведу формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Доказательство:

Можно считать, что а >0. Решив уравнение относительно х, получим: х=с-вуа. Докажу, что если в эту формулу вместо у подставлять все натуральные числа, меньшие а и 0, т. е. числа 0;1;2;3;. ;а-1, и каждый раз совершать деление, то все а остатков будут различны. Действительно, подставлю вместо у числа m1 и m2, меньшие а. В результате получу две дроби: с-вm1а и с-вm2а. Выполнив деление и обозначив неполные частные через q1и q2, а остатки через r1 и r2, найду с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Предположу, что остатки r1 и r2 равны. Тогда вычитая из первого равенства второе получу: с-вm1а- с-вm2а= q1-q2, или в(m1 - m2)а=q1-q2.

Т. к. q1-q2 - целое число, то и левая часть должна быть целой. Стало быть, вm1 - m2 должно делиться на а, т. е. разность двух натуральных чисел, каждое из которых меньше а, должна делиться на а, что невозможно. Значит, остатки r1 и r2 равны. Т. е. все остатки различны.

Т. о. я получила а различных остатков, меньших а. Но различные а натуральных чисел, не превосходящие а - это числа, 0;1;2;3;. ;а-1. Следовательно, среди остатков непременно найдется один и только один, равный нулю. Значение у, подстановка которого в выражение (с-ву)а дает остаток 0, и превращает х=(с-ву)а в целое число. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

Доказательство:

Пусть d=НОД(а;в), так, что а=md, b=nd, где m и n- целые числа. Тогда уравнение примет вид: mdх+ ndу=с, или d(mх+ nу)=с.

Допустив, что существуют целые числа х и у, удовлетворяющие уравнению , получаю, что коэффициент с делится на d. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором.

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

где х0, у0 - целое решение уравнения , - любое целое число.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида.

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b, если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет; если и , то

2. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором.

3. Найти целое решение (х0, у0) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения где х0, у0 - целое решение уравнения , - любое целое число.

2. 1 МЕТОД СПУСКА

Многие <<математические фокусы>> основаны на методах решения неопределенных уравнений. Например, фокус с угадыванием даты рождения.

Предложите Вашему знакомому угадать его день рождения по сумме чисел равных произведению даты его рождения на 12 и номера месяца рождения на 31.

Для того чтобы угадать день рождения Вашего знакомого нужно решить уравнение: 12х + 31y = А.

Пусть Вам назвали число 380, т. е. имеем уравнение 12х + 31y = 380. Для того чтобы найти х и y можно рассуждать так: число 12х + 24y делится на 12, следовательно, по свойствам делимости (теорема 4. 4), числа 7y и 380 должны иметь одинаковые остатки при делении на 12. Число 380 при делении на 12 дает остаток 8, следовательно 7y при делении на 12 тоже должно давать в остатке 8, а так как y - это номер месяца, то 1 <= y <= 12, следовательно y = 8. Теперь нетрудно найти х = 11. Таким образом, Ваш знакомый родился 11 августа.

Уравнение, которое мы решили, является диофантовым уравнением 1-ой степени с двумя неизвестными. Для решения таких уравнений может быть использован, так называемый метод спуска. Алгоритм этого метода рассмотрю на конкретном уравнении 5x + 8y = 39.

1. Выберу неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выражу его через другое неизвестное:. Выделю целую часть:. Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 - 3y без остатка делится на 5.

2. Введу дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 - 3y = 5z. В результате получу уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его буду уже относительно переменной y:. Выделяя целую часть, получу:

. Рассуждая аналогично предыдущему, ввожу новую переменную u: 3u = 1 - 2z.

3. Выражу неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: =. Требуя, чтобы было целым, получу: 1 - u = 2v, откуда u = 1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

4. Теперь необходимо <<подняться вверх>>. Выражу через переменную v сначала z, потом y и затем x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

= = 3+8v.

5. Формулы x = 3+8v и y = 3 - 5v, где v - произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

Замечание. Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное <<восхождение>> по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.

2. 2 МЕТОД ПЕРЕБОРА

В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?

Составлю уравнение с двумя неизвестными, в котором х - число кроликов, а у - число фазанов:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выражу у через х: у = 9 - 2х.

Далее воспользуюсь методом перебора: х

Ответ. 1)1 кролик и 7 фазанов; 2) 2 кролика и 5 фазанов; 3) 3 кролика и 3 фазана; 4) 4 кролика и 1 фазан.

1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3. 1 Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Решить уравнение 407х - 2816y = 33 в целых числах.

Решение:

Воспользуюсь составленным алгоритмом.

1. Используя алгоритм Евклида, найду наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33·11 + 11;

33 = 11·3

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11.

2. Разделю обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х - 256y = 3, причем (37, 256) = 1

3. С помощью алгоритма Евклида найду линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

256 = 37·6 + 34;

37 = 34·1 + 3;

34 = 3·11 + 1

Выражу 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам буду выражать 3; 34 и полученные выражения подставлю в выражение для 1.

1 = 34 - 3·11 = 34 - (37 - 34·1) ·11 = 34·12 - 37·11 = (256 - 37·6) ·12 - 37·11 =

- 83·37 - 256·( - 12)

Таким образом, 37·( - 83) - 256·( - 12) = 1, следовательно пара чисел х0 = - 83 и у0 = - 12 есть решение уравнения 37х - 256y = 3.

4. Запишу общую формулу решений первоначального уравнения где t - любое целое число.

Ответ. (-83c+bt; -12с-at), t є Z.

Замечание. Можно доказать, что если пара (х1,y1) - целое решение уравнения , где , то все целые решения этого уравнения находятся по формулам: х=х1+bty=y1-at

2. Решить уравнение 14x - 33y=32 в целых числах.

Решение: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z

14p : 14

(5y + 4) : 14

Перебор от 1 до 13

При y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Подставлю в исходное уравнение y = 2

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98 : 14 = 7

Найду все целые решения по найденному частному:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

Подставлю в исходное уравнение:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, где k є Z. Эти формулы задают общее решение исходного уравнения.

Ответ. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Решить уравнение x - 3y = 15 в целых числах.

Решение:

Найду НОД(1,3)=1

Определю частное решение: x=(15+3y):1 используя метод перебора, нахожу значение y=0 тогда x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - частное решение.

Все остальные решения находятся по формулам: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z при k=0, получаю частное решение (15;0)

Ответ: (3k+15; k), k є Z.

4. Решить уравнение 7x - y = 3в целых числах.

Решение:

Найду НОД(7; -1)=1

Определю частное решение: x = (3+y):7

Используя метод перебора, находим значение y є [0;6] y = 4, x = 1

Значит, (1;4) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Ответ: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Решить уравнение 15x+11 y = 14 целых числах.

Решение:

Найду НОД(15; -14)=1

Определю частное решение: x = (14 - 11y):15

Используя метод перебора, нахожу значение y є [0;14] y = 4, x = -2

(-2;4) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Ответ: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Решить уравнение 3x - 2y = 12 целых числах.

Решение:

Найду НОД(3; 2)=1

Определю частное решение: x = (12+2y):3

Используя метод перебора, нахожу значение y є [0;2] y = 0, x = 4

(4;0) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Ответ: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Решите в целых числах уравнение xy = x + y.

Решение:

Имею ху - х - у + 1 = 1 или (х - 1)(у - 1) = 1

Поэтому х - 1 = 1, у - 1 = 1, откуда х = 2, у = 2 или х - 1 = - 1, у - 1 = - 1, откуда х = 0, у = 0 других решений в целых числах данное уравнение не имеет.

Ответ. 0;0;(2;2).

8. Решите в целых числах уравнение 60х - 77у = 1.

Решение:

Разрешу это уравнение относительно х: х = (77у + 1) / 60 = (60у + (17у +1)) / 60 = у + (17у + 1) / 60.

Пусть (17у + 1) / 60 = z, тогда у = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Если обозначить (9z - 1) / 17 через t, то z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Наконец, пусть (- t + 1) / 9 = n, тогда t = 1- 9n. Так как я нахожу только целые решения уравнения, то z, t, n должны быть целыми числами.

Таким образом, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, а поэтому у = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, х = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Итак, если х и у - целые решения данного уравнения, то найдется такое целое число n, что х = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Обратно если у = 9 - 77n, х = 7 - 60n, то, очевидно, х, у - целые. Проверка показывает, что они удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. (9 - 77n; 7 - 60n) ); n є Z.

9. Решить уравнение 2x+11y =24 в целых числах.

Решение.

Найду НОД(2; 11)=1

Определю частное решение: x = (24-11y):2

Используя метод перебора, нахожу значение y є [0;1] y = 0, x = 12

(12;0) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Ответ:( -11k+12; 2k); k є Z.

10. Решить уравнение 19x - 7y = 100 в целых числах.

Решение.

Найду НОД(19; -7)=1

Определю частное решение: x = (100+7y):19

Используя метод перебора, нахожу значение y є [0;18] y = 2, x = 6

(6;2) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Ответ:( 7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Решить уравнение 24x - 6y = 144 в целых числах

Решение.

Найду НОД(24; 6)=3.

Уравнение не имеет решений, потому что НОД(24; 6)!=1.

Ответ. Решений нет.

12. Решить уравнение в целых числах.

Преобразую отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделю целую часть неправильной дроби ;

Правильную дробь заменю равной ей дробью.

Тогда получу.

Проделаю такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью.

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби ,получаю.

Выделяя целую часть неправильной дроби, приду к окончательному результату:

Я получила выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превращу получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычту ее из исходной дроби.

Приведу полученное выражение к общему знаменателю и отброшу его, тогда

Из сопоставления полученного равенства с уравнением следует, что , будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в ,.

Ответ. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепyую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

13. Решить уравнение 3ху + 2х + 3у = 0 в целых числах.

Решение:

3ху + 2х + 3у =3ху + 2х + 3у + 2 - 2 = 3у(х + 1) + 2(х + 1) - 2 =

=(х + 1)(3у + 2) - 2,

(х + 1)(3у + 2) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

3у + 2 = 1 или 3у + 1 = 2 или 3у + 1 = -1 или 3у + 1 = -2 х + 1 = 2, х + 1 =1, х + 1 = -2, х + 1 = -1; х = 2 или х = 0 или х = -3 или х = -2 у cent z, у = 0, у = -1, у cent z.

Ответ: (0;0);(-3;-1).

14. Решить уравнение у - х - ху = 2 в целых числах.

Решение: у - ху - х + 1 = 3, (у + 1)(1 - х) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

у + 1 = 1 или у + 1 = 3 или у + 1 = -1 или у + 1 = -3

1 - х =3, 1 - х =1, 1 - х = -3, 1 - х = -1.

у = 0 или у = 2 или у = -2 или у = -4 х =-2, х = 0, х = 4, х = 2

Ответ: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Решить уравнение у + 4х + 2ху = 0 в целых числах.

Решение: у + 4х + 2ху + 2 - 2 = 0, (2х + 1)(2 + у) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2х + 1= 1 или 2х + 1= 2 или 2х + 1= -1 или 2х + 1= -2

2 + у = 2, 2 + у = 1, 2 + у = -2, 2 + у = -1; у = 0 или у = -1 или у = -4 или у = -3 х = 0, х cent Z, х = -1, х cent Z.

Ответ: (-1;-4);(0;0).

16. Решить в целых числах уравнение 5х + 10у = 21.

Решение:

5(х + 2у) = 21, т. к. 21 != 5n, то корней нет.

Ответ. Корней нет.

17. Решить уравнение 3х + 9у = 51в натуральных числах.

Решение:

3(х + 3у) = 3∙17, х = 17 - 3у, у = 1, х = 14; у = 2, х = 11; у = 3, х = 8; у = 4, х = 5; у = 5, х = 2; у = 6, х = -1, -1cent N.

Ответ:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14;1).

18. Решить уравнение 7х+5у=232 в целых числах.

Решение.

Решу это уравнение относительно того из неизвестных, при котором находится наименьший (по модулю) коэффициент, т. е. в данном случае относительно у: у=232-7х5.

Подставлю в это выражение вместо х числа: 0;1;2;3;4. Получаю: х=0, у=2325=4625, х=1, у=232-75=45, х=2, у=232-145=43,6, х=3, у=232-215=42,2, х=4, у=232-285=40,8

Ответ. (1;45).

19. Решить в целых числах уравнение 3x + 4y + 5xy = 6.

Решение.

Имею 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Делители 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 нахожу, что при m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 решениями будут: x = -1, -2, 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Итак, данное уравнение имеет 4 решения в целых числах и ни одного в натуральных.

Ответ. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Решить уравнение 8х+65у=81в натуральных числах.

Решение.

81⋮НОД(8;65)=>уравнение можно решить в целых числах.

8х=81-65у х=81-65у8=16+65-65у8=2+65(1-у)8.

Пусть 1-у8=t, t Є Z. х=2+65t>0у=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t<18=>t=0.

При t=0 х=2у=1

Ответ. (2;1).

21. Найти целые неотрицательные решения уравнения 3х+7у=250.

Решение.

250⋮НОД(3;7) =>уравнение можно решить в целых числах.

3х=250-7у.

х=250-7у3=243+7-7у3=81+7(1-у)3.

Пусть 1-у3=t, t Є Z.

х=81+7t>=0у=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t<=13 t>=-1147t<=13=> t=-11;-10;. ;0.

х=81+7tу=1-3t t=-11 х=4у=34 t=-10 х=11у=31 t=-9 х=18у=28 t=-8 х=25у=25 t=-7 х=32у=22 t=-6 х=39у=19 t=-5 х=46у=16 t=-4 х=53у=13 t=-3 х=60у=10 t=-2 х=67у=7 t=-1 х=74у=4 t=0 х=81у=1

Ответ. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Решить уравнение ху+х+у3=1988 в целых числах.

Решение.

Умножим обе части уравнения на 3. Получим:

3х+3ху+у=5964

3х+3ху+у+1=5965

(3х+1)+(3ух+у)=5965

(3х+1) + у(3х+1)=5965

(3х+1)(у+1)=5965

5965=1∙5965 или 5965=5965∙1 или 5965=-1∙(-5965) или 5965=-5965∙(-1) или 5965=5∙1193 или 5965=1193∙1 или 5965=-5∙(-1193) или 5965=-1193∙(-5)

1)3х+1=1у+1=5965 2) 3х+1=5965у+1=1 х=0у=5964 х=1988у=0

3) 3х+1=5у+1=1193 4) 3х+1=1193у+1=5 решений в целых числах нет решений в целых числах нет

5) 3х+1=-1у+1=-5965 6) 3х+1=-5965у+1=-1 решений в целых числах нет решений в целых числах нет

7) 3х+1=-5у+1=-1193 8) 3х+1=-1193у+1=-5 х=-2у=1194 х=-398у=-6

Ответ. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Существует несколько типов задач, чаще всего это задачи олимпиадного характера, которые сводятся к решению диофантовых уравнений. Например: а) Задачи по размену суммы денег определённого достоинства.

б) Задачи на переливание, на деление предметов.

1. Купили 390 цветных карандашей в коробках по 7 и по 12 карандашей. Сколько тех и других коробок купили?

Решение.

Обозначу: x коробок по 7 карандашей, y коробок по 12 карандашей.

Составлю уравнение:7x + 12y = 390

Найду НОД(7; 12)=1

Определю частное решение: x = (390 - 12y):7

Используя метод перебора, нахожу значение y є [1;6] y = 1, x = 54

(54;1) - частное решение.

Все остальные решения нахожу по формулам: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Я нашла множество решений уравнения. Учитывая условия задачи, определю возможное количество тех и других коробок.

Ответ. Можно купить: 54 коробки по7 карандашей и 1 коробку по 12 карандашей или 42 коробки по 7карандашей и 8 коробок по 12 карандашей, или 30 коробок по 7 карандашей и 15 коробок по 12 карандашей, или 28 коробок по 7 карандашей и 22 коробки по 12 карандашей, или 6 коробок по 7 карандашей и 29 коробок по 12 карандашей.

2. Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.

Решение.

Обозначу: x см - один катет, (x+7) см - другой катет, y см - гипотенуза

Составлю и решу диофантово уравнение: x+(x+7)+y=30

2x+y=23

Найду НОД(2; 1)=1

Определю частное решение: x = (23 - y):2

Используя метод перебора, нахожу значение y =1 y = 1, x = 11

(11;1) - частное решение.

Все остальные решения уравнения нахожу по формулам: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Учитывая, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, приходим к выводу, что существует три треугольника со сторонами 7, 9 и 14; 6, 11 и 13; 5, 13 и 12. По условию задачи дан прямоугольный треугольник. Это треугольник со сторонами 5, 13 и 12 (выполняется теорема Пифагора).

Ответ: Один катет равен 5см, другой - 12 см, гипотенуза - 13 см.

3. Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Решение:

Пусть мальчиков x, а девочек y, при этом x и y - натуральные числа. Составлю уравнение:

21x + 15y = 174

7x + 5y = 58

Решаю методом подбора: x

6 Только при x = 4 второе неизвестное получает целое положительное значение (y = 6). При любом другом значении x число y будет либо дробным, либо отрицательным. Следовательно, задача имеет одно единственное решение.

Ответ. 4 мальчика и 6 девочек.

4. Можно ли сформировать набор из карандашей стоимостью 3 рубля и ручек стоимостью 6 рублей на сумму 20 рублей?

Решение.

Пусть количество карандашей в наборе x, а ручек - y.

Составлю уравнение:

3x + 6y = 20

При любых целых числах x и y левая часть уравнения должна делиться на 3; правая часть при этом не делится на 3. Это означает, что не существует таких целых x и y, которые удовлетворяли бы нашему уравнению. Это уравнение неразрешимо в целых числах. Сформировать такой набор невозможно.

Ответ. Решений нет.

5. Найти натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 - остаток 3.

Решение.

Обозначу искомое число через x. Если частное от деления x на 3 обозначу через y, а частное от деления на 5 - через z, то получу: х=3у+2х=5z+3

По смыслу задачи x, y и z должны быть натуральными числами. Значит, нужно решить в целых числах неопределенную систему уравнений.

При любых целых y и z , будет целым и x. Вычту из второго уравнения первое и получу:

5z - 3y + 1 = 0.

Найдя все целые положительные y и z, сразу получу и все целые положительные значения x.

Из этого уравнения нахожу:

Одно решение очевидно: при z = 1 получим y = 2, и x и y целые. Им соответствует решение x = 8.

Найду остальные решения. Для этого введу вспомогательное неизвестное u, полагая z = 1 + u. Получу:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, т. е. 5u = 3y - 6 или 5u = 3(y - 2).

Правая часть последнего уравнения при любом целом y делится на 3. Значит, и левая часть должна делиться на 3. Но число 5 - взаимно-простое с числом 3; поэтому u должно разделиться на 3, т. е. иметь вид 3n, где n - целое число. В этом случае y будет равняться

15n/3 + 2 = 5n + 2, т. е. тоже целому числу. Итак, z = 1 + u = 1 + 3n, откуда x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Получилось не одно, а бесконечное множество значений для x: x = 8 + 15n, где n - целое число (положительное или ноль):

Ответ. х=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней: в маленьких шкатулках по 15 штук в каждой и в больших - по 40 штук. Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких было меньше, чем больших?

Решение.

Обозначу за х количество маленьких шкатулок, а за у - количество больших.

15х+40у=300. Сокращу на 5.

3х+8у=60 х=60-8у3 х=60-6у-2у3

- х=20-2у-2у3

Чтобы значение дроби было целым числом, надо чтобы 2у было кратным 3, т. е. 2у=3с.

Выражу переменную у и выделю целую часть:

- у=3z2

- y=2z+z2

- y=z+z2

- z должно быть кратно 2, т. е. z=2u.

Выражу переменные х и у через u:

- y=2u+2u2

- у=2u+u

- х=20-2у-2у3

- х=20-2∙3u-2∙3u3

- х=20-6u-2u

- x=20-8u

Составлю и решу систему неравенств:

20-8u>03u>0

- u<2,5u>0

Выпишу целые решения: 1; 2. Теперь найду значения х и у при u=1; 2.

1) х1=20-8∙1=20-8=12 у1=3∙1=3

2) х2=20-8∙2=20-16=4 у2=3∙2=6

Ответ. 4 маленькие шкатулки; 6 больших шкатулок.

7. Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс Краснотурьинск - Пермь - Краснотурьинск. Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено 76000 р.

Решение.

Пусть х рублей - стоимость 1 т дизельного топлива, а у рублей - оплата труда водителей. Тогда (4х + 2у) рублей - затрачено на выполнение рейса. А по условию задачи затрачено 76000 р.

Получу уравнение:

. Для решения этого уравнения метод перебора окажется трудоемким процессом. Так что воспользуюсь методом <<спуска>>.

Выражу переменную у через х: , выделю целую часть, получу: (1).

Чтобы значение дроби было целым числом, нужно чтобы, 2х было кратно 4. Т. е. 2х = 4z, где z - целое число. Отсюда:

Значение х подставлю в выражение (1):

. Итак:

Т. к. х, у 0, то 19000 z 0, следовательно, придавая z целые значения от 0 до 19000, получу следующие значения x и y: z

19000 x

38000 y

Из настоящих данных о транспортных затратах известно, что 1 т дизельного топлива (х) стоит 18000 р. , а оплата труда водителей, выполняющих рейс (у) составляет 10000 р. (данные взяты приближенно). По таблице найдем, что значению х, равному 18000 и значению у, равному 10000 соответствует значение z, равное 9000, действительно: ;.

8. Сколькими способами можно набрать сумму 27р. , имея достаточно много двухрублёвых и пятирублёвых монет?

Решение.

Обозначу: x двухрублёвых монет и y пятирублёвых монет

Составлю уравнение, учитывая условие задачи 2x +5y = 27.

Найду НОД(2;5)=1

Определю частное решение: x = (27-5y):2

Используя метод перебора, нахожу значение y є [0;1] y = 1, x = 11

(11;1) - частное решение.

Все остальные решения находятся по формулам: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Данное уравнение имеет множество решений. Найдём все способы, с помощью которых можно набрать сумму 27 рублей предложенными монетами. k

Ответ. Существует три способа, которыми можно набрать данную сумму, имея достаточно много двухрублёвых и пятирублёвых монет.

9. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд - по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение:

Пусть х - количество морских звёзд, у - количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног.

Составлю уравнение: 5х + 8у = 39.

Замечу, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х - целое неотрицательное число, то и у=(39 - 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.

Ответ: (3; 3).

10. На мебельной фабрике изготовляют табуреты с тремя и с четырьмя ножками. Мастер сделал 18 ножек. Какое количество табуретов можно изготовить так, чтобы использовать все ножки?

Решение.

Пусть x - количество трехногих табуретов, а у - количество четырехногих. Тогда, 3x + 4y = 18.

Имею, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Получаю: x = 2; y = 3 или x = 6; y = 0.

Других решений нет, так как x 6.

Ответ. 2;3;(6;0).

11. Можно ли разместить 718 человек в 4-х и 8 - ми местных каютах, так что бы в каютах не было свободных мест?

Решение:

Пусть 4-х местных кают - х, а 8-ми местных - у, тогда:

4х + 8у = 718

2х + 4у = 309

2(х + 2у) = 309

309 != 2n.

Ответ. Нельзя.

12. Доказать, что на прямой 124х + 216у = 515 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

Решение:

НОД(124;216) = 4, 515 != 4n, значит, целочисленных решений нет.

Ответ. Решений нет.

13. Стоимость товара 23 рубля, покупатель имеет только 2-х рублевые, а кассир 5-ти рублевые монеты. Можно ли осуществить покупку без предварительного размена денег?

Решение:

Пусть х - количество 2-х рублевых монет, у - количество 5-ти рублевых монет, тогда 2х - 5у = 23, где х,у є N.

Получаю: 2х = 23 + 5у, откуда х =23 + 5у2 =11 + 2у + (1 + у)2 х будет целым, если 1 + у2 есть число целое.

1 + у2 = t, где t Euro Z, тогда у = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + у2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

T. o. x = 5t + 9, a y = 2t - 1, где t є z.

Задача имеет множество целочисленных решений. Простейшее из них при t = 1, x =14, y = 1, т. е. покупатель даст четырнадцать 2-х рублёвых монет и получит сдачу одну 5-ти рублёвую монету.

Ответ. Можно.

14. При ревизии торговых книг магазина одна из записей оказалась залитой чернилами и имела такой вид:

<<Шерсть - ☼ метров - 49,36 рублей за метр - ☼☼☼7,28 руб.>> Невозможно было разобрать число проданных метров, но было несомненно, что число это не дробное; в вырученной сумме можно было различить только три последние цифры, да установить еще, что перед ними были три какие-то другие цифры. Можно ли по этим данным восстановить запись?

Решение:

Пусть число метров было х, тогда стоимость товара в копейках - 4936х. Три залитые цифры в сумме обозначим за у, это число тысяч копеек, а вся сумма в копейках выразится так (1000у + 728).

Получаю уравнение 4936х = 1000у + 728, поделю его на 8.

617х - 125у = 91, где х,у є z, x,y <= 999.

125у =617х - 91 у = 5х - 1 +34 - 8х125 = 5х - 1 + 2 17 - 4х125 =

= 5х - 1 + 2t, где t = 17 - 4х125, t Euro Z.

Из уравнения t = (17 - 4х)/125 получаю х = 4 - 31t + 1 - t4 =

= 4 - 31t + t1, где t1 = 1 - t4, отсюда t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

По условию знаю, что 100 <= y < 1000, следовательно

100 <=617t1 - 134 < 1000, получаю t1 >= 234/617 и t1 < 1134/617, очевидно, что если t1 Euro Z, то t1 = 1, тогда х = 98, а у = 483.

Значит, было отпущено 98 метров на сумму 4837,28 рублей. Запись восстановлена.

Ответ. Отпущено 98 метров.

15. Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок - копеечных, 4- копеечных и 12 - копеечных. Сколько марок каждого достоинства можно купить?

Решение:

Можно составить два уравнения: x + 4у + 12z = 100 и x + y + z = 40, где х - число копеечных марок, у - 4-копеечных, z - 12-копеечных. Вычитаю из первого уравнения второе получаю:

3у + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Пусть z3 = t, z = 3t, где t Euro Z. Тогда получаю, если х + у + z = 40 и z = 3t, а у = 20 - 11t, х = 20 + 8t.

Т. к. х >= 0, у >= 0, z >= 0, то 0 <= t <= 20/11, откуда t = 0, или t = 1.

Тогда соответственно получаю: t = 0, х = 20, у = 20, z= 0; t = 1, х = 28, у = 9, z = 3.

Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами, а если поставить условие, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства, - только одним способом.

Ответ. 28 марок по 1 копейке, 9 марок по 4 копейки и 3 марки по 12 копеек.

16. Ученику дали задание из 20 задач. За каждую верно решенную он получает 8 баллов, за каждую, не решенную, с него снимают 5 баллов. За задачу, за которую он не брался - 0 баллов. Ученик в сумме набрал 13 баллов. Сколько задач он брался решать?

Решение:

Пусть верно решенных задач - х, а неверно решенных - у, не рассмотренных - z.

Тогда х + у + z = 20, а 8х - 5у = 13.

у = 8х - 135= х - 2 +3(х - 1)5 = х - 2 + 3t, где t = х - 15, а х = 5t + 1.

По условию х + у <= 20, значит 0 < t <= 2013, т. е. t = 1, х = 6, у = 7.

Ответ: ученик брался решать 13 задач, 6 решил, с 7 не справился.

17. Иванушка Дурачок бьется со Змеем Горынычем, у которого 2001 голова. Махнув мечем налево, Иван срубает 10 голов, а взамен вырастают 16. Махнув, мечем направо - срубает15, вырастают - 6. Если все головы срублены - новых не вырастает. Махать можно в произвольном порядке, но если голов меньше 15, то только налево, а если меньше 10, то вообще нельзя. Может ли Иванушка Дурачок победить Змея Горыныча?

Решение:

Переформулирую задачу: можно ли срубить 1986 голов? Тогда, оставшиеся 15, Иван срубит одним ударом направо и новых не вырастет.

Пусть х - число ударов направо, а у - число ударов налево, тогда 1986 - 9х + 6у = 0.

Поделю всё уравнение на 6, получу

3х - 2у = 662.

у = 3х - 6622= х - 331 + х2.

Пусть х2 = t, тогда x = 2t, a y = 3t - 331.

Т. к. х >= 0, у >= 0, то t >= 111, отсюда t = 111, х = 222, у = 2.

Получаю: ударив 220 раз направо, Иван срубает 1980 голов и у Змея остаётся 21 голова; затем 2 удара налево и у Змея вырастают 12 голов, всего их становится 33; следующие 2 удара направо лишают Змея 18 голов и оставшиеся 15 Иван срубает последним ударом направо и новых голов уже не вырастает.

Ответ: 220 ударов направо, 2 удара налево и ещё 3 удара направо.

18. У игрального кубика грани пронумерованы - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из 5 таких кубиков сложили башню и сосчитали сумму очков на всех видимых гранях, после того как сняли верхний куб сумма уменьшилась на 19, какое число оказалось на верхней грани верхнего куба?

Решение:

Сумма очков одного куба - 21.

Пусть х - количество очков на нижней грани верхнего куба, а у - количество очков на верхней грани следующего куба. При снятии верхнего куба, пропадают очки 5 граней верхнего куба, сумма очков которых (21 - х), а появляется грань на которой у очков, значит, сумма очков уменьшилась на (21 - х) - у , а по условию это 19, отсюда:

(21 - х) - у = 19, х + у = 2.

Отсюда у = 2 - х, а по условию 1 <= х <= 6, 1 <= у <= 6, значит единственное решение х = у = 1.

Ответ: 1.

19. Некто купил 30 птиц за 30 монет одного достоинства. За каждых 3 воробьёв уплачена одна монета, за 2 снегиря - 1 монета, за 1 голубя - 2 монеты. Сколько птиц каждого вида было?

Решение:

Пусть воробьёв было - х, снегирей - у, а голубей - z. Тогда, согласно условию х + у + z = 30 и 13x + 12y + 2z = 30.

Получаю х + у + z = 30 и 2x + 3y + 12z = 180, или y + 10z = 120, y = 120 - 10z, где по условию х <=30, у <= 30, z <= 30.

Отсюда следующие варианты (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Ответ: воробьев - 0, снегирей - 20, голубей - 10; воробьев - 9, снегирей - 10, голубей - 11; воробьев - 18, снегирей - 0, голубей - 12.

20. Найти все двухзначные числа, каждое из которых, будучи уменьшено на 2, равно упятеренному произведению своих цифр.

Решение.

Пусть ху искомые двузначные числа.

Для уравнения ху - 2 = 5ху, или (10х + у) - 5ху = 2 S = 0 и все натуральные решения найду из множества (х; 2).

Т. к. х - первая цифра двухзначных чисел, то она может принимать только 9 значений.

Т. о. , искомыми числами будут: 12, 22, 32,. , 92.

Ответ. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?

Решение.

Пусть х- число частей проволоки длиной 15 см, у- число частей проволоки длиной 12 см. Составлю уравнение:

15х+12у=102 /:3

4х+3у=34 х=34-4у5=6+4-4у5=6+4(1-у)5.

Пусть 1-у5=t х=6+4t>0у=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t<0,2=> t=0;-1.

Если t=0, то х=6у=1

Если t=-1, то х=2у=6

Ответ. Задача имеет два решения:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Пете в 1987 году было столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?

Решение.

Пусть Петя родился в 19ху году. Тогда в 1987 году ему было 1987-19ху, или (1+9+х+у) лет. Имеем уравнение:

87-(10х+у)=10+х+у

77-11х=2у у=77-11х2=38-11х-12.

Учитывая, что х и у - цифры десятичной системы счисления, то подбором находим: х=3, у=1.

Ответ. Петя родился в 1970 году.

23. Некто покупает в магазине вещь стоимостью 19 р. У него имеются лишь 15-трехрублевок, у кассира же лишь 20-пятирублевок. Можно ли расплатиться и как?

Решение:

Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения: 3x - 5y = 19, где x <= 15, y <= 20

(более того, y < 9 т. к. 3x - 5y > 0).

Далее 3y1-2y=1 откуда: x=5y2+8, y=3y2+1.

Ввиду того, что x>0 и y > 0 и учитывая условия задачи, легко установить, что 0<= y2 < 2, т. е. y2 может принимать только два значения: 0 и 1.

Отсюда вытекает 2 возможных значения: x

Ответ. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества на чашечных весах, имея только 4 гири весом в 3 г и 7 гирь весом в 5г?

Решение:

Для этого нужно решить уравнение:

3x + 5y = 28

, y = 3y1 - 1.

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Итак, x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Из условий задачи вытекает, что y1 нельзя давать отрицательные значения. Далее должно быть y1 < 3, для того, чтобы x не был отрицательным. Значит, 0 <= y1 <= 2. Однако y1 = 0 и y1 = 1 противоречат условию задачи x <= 4. Таким образом, возможно только y1= 2. При этом x = 1, y = 5 - единственное решение.

Ответ. 1 гиря в 3 г и 5 гирь в 5 г.

25. Покупатель приобрел в магазине на 21 р. товара. Но у него в наличии денежные знаки только 5 - рублевого достоинства, а у кассира - 3 - рублевого. Требуется знать, можно ли при наличии денег расплатиться с кассиром и как именно?

Решение.

Пусть x - число 5 - рублевок, y - 3 - рублевок.

По условию x > 0, y > 0, значит.

Кроме того, t - четное, иначе ни x, ни y не будет целыми.

При t = 4, 6, 8,. имеем: t

Ответ. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Имеется 110 листов бумаги. Требуется из них сшить тетради по 8 листов и по 10 листов в каждой. Сколько надо сшить тех и других?

Решение.

Пусть x - число 8 - листовых тетрадей, y - число 10 - листовых тетрадей.

но x, y > 0

Значит t = 0 или t = - 1

Ответ. 5;7;(10;3).

27. Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Тех, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (x) на 12 и номера месяца (y) на 31.

Пусть сумма произведений, о которых идет речь, равна 330. Найти дату рождения.

Решение.

Решим неопределенное уравнение: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

= 27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Т. к. 0 < x <= 31, 0 < y <= 12, то легко убедиться, что единственным решением является: y3 = 3 x = 12, y = 6

Итак, дата рождения: 12 число 6 - го месяца.

Ответ. 12 июня.

28. Можно ли двухрублевыми и пятирублевыми монетами набрать сумму в 51 рубль? Если можно, то сколько существует способов?

Решение.

Пусть было х - двухрублевых монет, а пятирублевых - у монет.

Пусть 1+у2=z, тогда

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Ответ: 5 способов.

29. Можно ли разложить две сотни яиц в коробки по 10 и по 12 штук? Если можно, то найдите все такие способы.

Решение.

Пусть было х коробок по 10 штук и у коробок по 12 штук. Составлю уравнение: z = 1, 2, 3

Ответ: 14;5;8;10;(2;15)

30. Представьте число 257 в виде суммы двух натуральных слагаемых: а) одно из которых кратное 3, а другое - 4; б) одно из которых кратное 5, а другое - 8.

Ответ: 1) 249 и 8; 2) 225 и 32.

б) 225 и 32.

В задачах на неопределенные уравнения я столкнулась с самыми разнообразными случаями: задача может быть совсем неразрешимой (Задача 4), может иметь бесконечное множество решений (Задача 2), может иметь несколько определенных решений; в частности, она может иметь одно единственное решение (Задача 1).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель, которую я поставила перед собой, мной реализована. Работа над проектом вызвала интерес и увлекла меня. Эта работа потребовала от меня не только определенных математических знаний и настойчивости, но и дала мне возможность почувствовать огромную радость самостоятельного открытия.

Диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, поэтому они развивают логическое мышление, повышают уровень математической культуры, прививают навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.

При решении уравнений и задач, сводящихся к диофантовым уравнениям, применяются свойства простых чисел, метод разложения многочлена на множители, метод перебора, метод спуска и алгоритм Евклида. На мой взгляд, метод спуска самый сложный. А симпатичнее для меня оказался метод перебора.

В работе мною решено 54 задачи.

Эта работа способствовала более глубокому пониманию школьной программы и расширению кругозора.

Данный материал будет полезен учащимся, интересующихся математикой. Его можно использовать на некоторых уроках и на факультативных занятиях.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)