Решение тригонометрических задач со сложным аргументом

Курс школьной математики предусматривает изучение различных способов решения тригонометрических уравнений и неравенств. Однако на вступительных экзаменах в ВУЗы всё чаще встречаются уравнения и неравенства, методы, решения которых выходят за рамки школьного учебника математики. Поэтому, объектом нашего исследования стали тригонометрические уравнения, неравенства и функции со сложной функциональной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Данные уравнения требуют дополнительного исследования множества решений. Это и закрепление и прекрасная демонстрация их применения на практике, и подготовка к ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.

Исходя из этого, предметом нашего исследования стали решения уравнений и неравенств, у которых аргументом является сложная функция от х. В основу которых положено применение всех основных тригонометрических тождеств зависимости синуса и косинуса, тангенса и котангенса, также введение новых переменных.

Цель нашей работы – показать решения тригонометрических задач, в которых под знаком тригонометрической функции находится – сложная функция (и даже тригонометрическая) от х.

Эти задачи отсутствуют в школьных учебниках по алгебре и началам анализа. Они редко встречаются и в пособиях для поступающих в высшие учебные заведения. Однако их можно встретить на вступительных экзаменах. Заметим, что предлагаемый набор упражнений можно использовать как на уроках, так и на курсах по выбору.

Методы исследования:

• поиск и отбор материала;

• группировка и систематизация материала;

• анализ материала по исследованию работы;

• практическое применение полученных в результате анализа данных.

Решение тригонометрических задач со сложным аргументом можно считать деятельностью близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезу и проверять полученные результаты. Здесь кроме использования определенных алгоритмов решения задач, приходится обдумывать, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости.

Наш интерес к этой теме вызван не случайно. В школьной программе решения тригонометрических задач, аргументом которых является сложная функция, не затрагивается. Формирование некоторых навыков в решении такого рода задач затрагивается, но недостаточно, для формирования умения решать такие задачи.

В своей работе мы показали решения различных задач. Упор в работе сделан на аналитические способы решения уравнений и неравенств, но при исследовании функций рассматриваются и построения графиков функций со сложным аргументом.

Надеемся, что материал, предложенный в этой работе, будет интересен старшеклассникам, абитуриентам (и поможет при поступлении в ВУЗ), а также учителям и учащимся в классах с профильным изучением математики, а так же на курсах по выбору.

§ 1. Решение тригонометрических уравнений со сложным аргументом

Уравнения называются тригонометрическими, если переменная находится только под знаком тригонометрической функции. Решение таких уравнений сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение , где , равносильно совокупности уравнений , где.

Уравнение , где , равносильно совокупности уравнений , где.

Каждое из уравнений и , соответственно равносильно уравнениям , где , и , где.

Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.

Пример 1. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда, значит.

Итак, решим уравнение: , отсюда ,.

Ответ: ,.

Пример 2. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,.

Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда , значит.

Итак, решим уравнение: , отсюда ,.

Ответ: ,.

Пример 3. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда, значит отсюда , что невозможно, т. к.

Итак, уравнение: корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 4. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда , значит отсюда , что невозможно, т. к.

Итак, уравнение: корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример 5. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,. Далее решим уравнение:. Но так как , то , отсюда, значит.

Итак, решим уравнение: , отсюда ,.

Ответ: ,.

Пример 6. Решите уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид:. Найдем корни уравнения ,.

Далее решим совокупность уравнений:. Но так как , то , отсюда, значит отсюда , что невозможно, т. к.

Итак, каждое уравнение совокупности: корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Рассмотрев решения ряда тригонометрических уравнений, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция, мы пришли к следующему: при решении таких задач рационально применять метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной, применение которой приводит к более простому уравнению.

Мы продолжили свое исследование, решая более сложные уравнения:

Пример 7. Решить уравнение. (ГАУ)

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид , откуда. То исходное уравнение равносильно уравнению , где Z. Откуда Поскольку то Но так как Z,то

Решаем три уравнения:

, где ;

, где ;

Ответ: ,.

Пример 8. Решить уравнение. (МГАП)

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид , откуда, , получим уравнение, которое равносильно совокупности двух уравнений: Учитывая, что , имеем: Из данных неравенств с учетом целочисленности и находим, что.

Пример 9. Решить уравнение (СПбГУ)

Решение. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ: , ; ,

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение , откуда ; ;.

Решим квадратное уравнение относительно х: ,.

; ; , т. е. Но х может быть мнимым, так как остается вещественным при найденных значениях х.

Ответ: ,

Пример 11. Решить уравнение (МГУ, ВМиК)

Решение. Преобразуем уравнение, применив формулы приведения, к виду , откуда ,; или.

Так как то , т. е. , из данного неравенства с учетом целочисленности n находим, что. Значит уравнение примет вид , откуда ,.

Ответ: ,.

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Найдем решение уравнения , отсюда. Так как , значит , то из всех можно взять только, и.

Пример 13. Решить уравнение (МГУ, мех. -мат. )

Решение. Применим формулу приведения, получим ; ; , где Z. Так как значит правая часть уравнения принимает неотрицательные значения, т. е. , , где.

Найдем корни уравнения )2 и )2,.

Ответ: , ,.

Пример 14. Решить уравнение (БГТУ)

Решение. Пусть ,тогда уравнение примет вид , откуда получаем. Решим уравнение: , Z, откуда , Z. Так как то Неравенство имеет решение при =0, а неравенство не имеет решений. Значит, ; , а , Z.

Ответ: , Z.

Пример 15. Решить уравнение (СПбГАСУ)

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид. Имеем, что , где Z. Значит , где Z. Так как , то , откуда, следовательно =0.

Уравнение примет вид: , решим его. Пусть , тогда уравнение имеет. Решим уравнение , где Z. Преобразуем в произведение () с помощью дополнительного аргумента:. Следовательно уравнение ;

Значения должны удовлетворять двойному неравенству значит =0.

Теперь решим уравнение ;.

Ответ:.

Пример 16. Решить уравнение (СПбГУТиД)

Решение. Преобразуем уравнение применяя формулы понижения степени: ; ; отсюда , Z; ; ; ; ; ;. Так как - арифметический, то , т. е. Это значит, что а быть отрицательным или нулем не может.

Ответ: ,.

Пример 17. Решить уравнение.

Решение. Заменим правую часть уравнения , получим уравнение:. Пользуясь условием равенства синусов, получим:

при при

Пример 18. Решить уравнение. (СПбИМГАП)

Решение. Преобразуем уравнение. Пусть , тогда уравнение примет вид ; откуда получаем , Z. Решим уравнение: , Z. Мы видим, что ,. Возведем в квадрат обе части уравнения 2, 2, так как , то. Ясно, что и , отсюда , Z.

Ответ: , Z.

Пример 19. Решить уравнение (СПбГУТ)

Решение. Преобразуем уравнение,. Применяя формулы понижения степени, приходим к уравнению.

Преобразуем сумму косинусов двух углов в произведение, получим ; ; ; Пусть , тогда уравнение примет вид ; , Z. Решим уравнение , Z. Или , Z. Но так как , то , откуда ;.

И тогда , , Z.

Ответ: , Z.

Пример 20. Решить уравнение (СПбГУТ)

Решение. Заменим правую часть уравнения , получим уравнение. Пользуясь условием равенства тангенсов, получим: , или.

Следует иметь в виду, что те корни уравнения , которые дадут тангенсу значения вида или котангенсу значения вида (- целое), если оно вообще существует, не будут являться корнями данного, потому что при или теряет смысл левая и правая части данного уравнения. Такие корни уравнения при определении корней данного должны быть отброшены.

Уравнение эквивалентно следующему: ;

Пусть , тогда уравнение примет вид: ; откуда , или. Следовательно Кроме того, должны быть исключены те значения , которые дают. Для того, чтобы , необходимо, чтобы было квадратом нечетного числа, т. е. чтобы. Отсюда получаем: , , или , где ,.

Таким образом нужно решить в целых числах уравнение , причем и - числа различной четности, потому что. Таких решений будет четыре: ; ; ;. Первое и второе решение дают , а последние два. В первом случае , а во втором. Но если , то , причем только должно быть исключено, так как левая часть данного уравнения в этом случае не определена.

Второе же приводит к решению. Если , причем только должно быть отброшено, а приводит к решению. Итак, данное уравнение имеет следующие решения:; ,;.

Ответ: ; , ;.

Пример 21. Решить уравнение.

Решение. Пусть , тогда уравнение примет вид , отсюда , Z. Тогда , Z, откуда и.

Далее имеем Но так как то и. Окончательно получаем уравнение , ,.

Ответ:.

Пример 22. Решить уравнение. (СПБГТУ)

Решение. Решим данное уравнение относительно х как уравнение второй степени, чтобы узнать имеет ли оно корни, найдем дискриминант

Неравенство верно при , т. е. , Z. Но тогда, если , то имеем и подставим значение аргумента , получим: , Z.

Преобразуем равенство: ; ; ; а Мы видим, что равенство верно при и при , т. е.

Ответ:.

Пример 23. Решить уравнение на отрезке.

Решение. После приведения к общему знаменателю в левой части получаем уравнение , , Z, ,найдем дискриминант , ,.

Очевидно, что. Найдем те значения x, при которых. Для этого решим неравенство ,.

Неравенство выполнено при всех , а для второго неравенства получаем , откуда , т. е. При получаем. Если , то - не входит в область определения уравнения. При имеем , а при корень уравнения.

Найдем ОДЗ: ,Z, ,.

Ответ: 0; ;.

Пример 24. Решить уравнение.

Решение. Преобразуем уравнение и применим формулу разности косинусов:

, N; N.

Так как N, то при , значит, а так как N, то при.

Решим первое уравнение. Уединим радикалы: , полученное уравнение равносильно системе Из первого уравнения системы уединим радикал: , откуда. Рассмотрим , а , а неравенство верно при N. Значит, что ,.

Возведем в квадрат обе части уравнения: , получим: , отсюда , N.

Решим второе уравнение: Уединим радикалы , , , но это уравнение явно корней не имеет при.

Ответ: , N.

Пример 25. Найти корни уравнения , принадлежащие отрезку.

Решение. Данное уравнение равносильно системе Решим первое уравнение системы и найдем его корни на отрезке , так как. Заменим , то преобразуем в произведение по формуле разность косинусов:,,. Так как , то , , Z;. Так как , то , тогда ,. Значит.

Ответ:.

Продолжая рассматривать решения тригонометрических уравнений со сложным аргументом различных типов, мы пришли к следующему:

1) Вывести алгоритма решения уравнений со сложным аргументом невозможно, к каждому уравнению нужно подходить индивидуально, применяя метод функциональной подстановки, постепенно освобождаясь от скобок, упрощая уравнение.

2) Решение тригонометрических задач со сложным аргументом можно считать деятельностью близкой по своему характеру к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор решения, запись ответа, предполагают определенный уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезу и проверять полученные результаты.

3) Кроме использования определенных алгоритмов решения задач, приходится обдумывать, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости, применение тригонометрических тождеств, для упрощения уравнения.

§ 2. Решение тригонометрических неравенств со сложным аргументом

При решении неравенств используем метод интервалов, считая его наиболее простым в подобных ситуациях:

Пример 26. Решите неравенство.

Решение. Пусть. Найдем нули функции , решая уравнение , , ,.

Замечаем, что последнее уравнение не имеет корней при целых , а поэтому функция сохраняет свой постоянный знак на всей координатной прямой.

Т. к. , то при.

Следовательно, данное неравенство решений не имеет.

Ответ: Решений нет.

Пример 27. Решите неравенство.

Решение. Пусть. Найдем нули функции. , ,. Так как , то и ,.

Поскольку период функции равен , то применяем метод интервалов на отрезке длины.

,, , т. е.

Ответ: ,.

Пример 28. Решите неравенство.

Решение. Рассмотрим функцию , найдем нули функции , при ,. при

Ответ: ,

Заключение

Как уже говорилось, алгоритма решения тригонометрических уравнений со сложным аргументом нет. Но в своей работе, рассматривая уравнения различных типов, мы показали некоторые способы решения подобных уравнений.

И таким образом в данной работе указаны основные направления, по которым следует идти при решении тригонометрических уравнений со сложным аргументом. Кроме того, при написании данной работы мы сформировали собственные навыки решения тригонометрических задач со сложным аргументом и, которые пригодятся нам при дальнейшем обучении, сейчас в школе, потом в вузе.

Мы рассмотрели в работе один из наиболее общих методов решения задач такого типа – метод функциональной подстановки, и решили с его помощью несколько задач, разных по сложности и рассмотрели несколько исследовательских задач с параметрами.

Решение тригонометрических задач можно считать первой ступенью к решению исследовательских научных проблем в математике и математическом моделировании.