Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Решение неравенств первой степени

Задачи с параметрами встречаются в математике всякий раз, когда мы имеем дело с буквенными обозначениями чисел. Термин «параметр» происходит от греческого - отмеривающий. Так называют величины, значения которых служат для различения между собой элементов некоторого множества, класса или семейства.

Я исследовал различные способы решения неравенств 1 и 2 степени с параметрами : аналитический, графический, комбинированный (аналитико - графический).

Способ решения неравенств с использованием графического метода для решения неравенств 1 и 2 степени с параметрами удобен тем, что можно выработать общий подход решения и дать определенный алгоритм решения для данных неравенств. При этом можно наглядно рассмотреть задачи, включающие несколько возможных случаев.

Решение неравенств 1 степени с параметрами при определенном условии

Определение. Функция вида y = kx + b, где k и b – произвольные числа, называется линейной функцией.

1 вид - линейное неравенство

2 вид –рациональное неравенство, где f1(х) и f2(x) -линейные функции.

Неравенства

Где f1(x) и f2(x) – линейные функции.

Для неравенств каждого вида я составил блок – схему решения данного типа неравенств.

Блок - схему нужно использовать как путь по которому нужно выбрать ход решения неравенства.

Задача 1. При каких значениях k неравенство (k – 4)x + k – 5 < 0 справедливо для всех x, удовлетворяющих условию  x  ≤ 3?

Решение. Пусть f(x) = (k – 4)x + k – 5. f(x) < 0; k – ?

Если числитель и знаменатель неравенства является линейной функцией, то нужно рассмотреть 2 случая: f1(х)<0 ,f2(х)>0 и f1(х)>0 ,f2(х)<0 с использованием графика. В итоге так же рассмотреть совокупность решений.

Задача 2. Найти все значения a, при которых для всех x, удовлетворяющих условию  x  < 1, справедливо неравенство.

Решение.

Данный способ решения можно считать универсальным, так как он подходит для всех неравенств такого типа.

Аналогичная работа проделана с неравенствами второй степени, только вместо блок – схемы я составил алгоритм решения, так как количество рассматриваемых случаев может быть разное. Это зависит от условия задачи.

Решение неравенств второй степени с параметром.

Определение. Функция, задаваемая формулой ax2 + bx + c, где a ≠ 0, называется квадратичной функцией.

Рассмотрим расположение графика по отношению к оси абсцисс во всех шести случаях (слайд 10).

Алгоритм решения неравенств

2. степени с параметрами при определенном условии

1) Записать неравенство, привести к стандартному виду.

2) Выделить интервал, на котором будет рассматриваться решение данного неравенства

3) Вычислить дискриминант, значение функции на концах интервала

( т. е. D, f(-2), f(1)

4) Рассмотреть всевозможные случаи расположения графиков для данного неравенства ( случаев может быть разное количество)

5) Составить систему неравенств для каждого случая, для этого рассмотреть а) коэффициент перед х2 ( в данном случае m , см. задачу 3) б) дискриминант в) значения функций на концах интервала

6) Решить системы неравенств

7) В итоге рассмотреть совокупность решения систем каждого случая

Задача 3. При каких значениях m неравенство mx2 – 2(m + 3)x + m < 0 верно при всех x, удовлетворяющих условию – 2 ≤ x≤ 1?

Решение. Пусть f(x) = mx2 – 2(m + 3)x + m. Тогда

Задача 4. При каких значениях a функция f(x) = – x3 + 4x2 – ax – 8 возрастает на (1; 2)?

Решение. Напишем производную от f(x) и воспользуемся критерием возрастания: f  '(x) = – 3x2 + 8x – a > 0, т.  е. 3x2 – 8x + a < 0.

Пусть f(x) = 3x2 – 8x + a. Тогда имеем

Данный способ решения, строго следуя алгоритму, позволит решить неравенство 2 степени с параметрами при определенном условии.

В итоге составлен алгоритм решения для неравенств каждого вида, создан самоучитель, который наглядно можно просмотреть на слайдах ( см приложение). На основе данного материала любой старшеклассник, неплохо разбирающийся в данной теме, может научиться решать эти неравенства, следуя определенному алгоритму. К пособию прилагаются электронные тесты, которые разработаны в программе Excel, они могут оценить ваш уровень знаний по данной теме.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)