Решение линейных уравнений с модулем

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используют определение модуля:

│х│= х, если х ≥ 0

- х, если х ˂ 0

Задача 1. Решить уравнение:

│х²+6│= 5х

Решение:

Так как х² + 6 > 0 при любом значении х , то исходное уравнение прини- мает вид: х² + 6 = 5х х² − 5х + 6 = 0

(х – 2) ∙ (х – 3) = 0 х – 2= 0 х = 2 х – 3= 0 х = 3

Ответ: 2; 3.

Задача 2. Решить уравнение:

│3х – 7│= х + 5

Решение:

Если 3х – 7 ≥ 0 , то есть х ≥ 7 ∕ 3 , то уравнение принимает вид:

3х – 7 = х + 5

3х – х = 7 + 5

2х = 12 х = 6

Так как х = 6 удовлетворяет условию х ≥ 7 ∕ 3, то число 6 является корнем исходного уравнения.

Если 3х – 7 ˂ 0 , т. е. х ˂ 7 ∕ 3 , то уравнение принимает вид:

– (3х – 7) = х + 5

– 3х – х = 5 – 7

– 4х = – 2 х = 0,5

Так как х = 0,5 удовлетворяет условию х ˂ 7 ∕3, то число 0,5 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 0,5 ; 6.

Задача 3. Решить уравнение: х² –│5х – 1│+ 5 = 0

Решение:

Если 5х – 1 ≥ 0 , т. е. х ≥ 1 ∕ 5 , то уравнение принимает вид:

х² – (5х – 1) + 5 = 0 х² – 5х + 6 = 0

(х – 2) ∙ (х – 3) = 0 х – 2= 0 х = 2 х – 3= 0 х = 3

Оба корня удовлетворяют условию х ≥ 1 ∕ 5, значит, они являются корнями исходного уравнения.

Если 5х – 1 ˂ 0 , т. е. х ˂ 1 ∕ 5 , то уравнение принимает вид: х² – (1 – 5х) + 5 = 0 х² + 5х + 4 = 0

(х + 1) ∙ (х + 4) = 0

Так как оба корня удовлетворяют условию х ˂ 1 ∕ 5, значит, они являются корнями исходного уравнения.

Ответ: – 4; – 1; 2; 3.

Задача 4. Решить уравнение:

│х│∙ х + 5х – 6 = 0

Решение:

Если х ≥ 0 , то уравнение принимает вид: х² + 5х – 6 = 0

(х + 6) ∙ (х – 1) = 0 х + 6 = 0 х = – 6 х – 1= 0 х = 1

Так как х = – 6 не удовлетворяет условию х ≥ 0 , значит, число – 6 не является корнем исходного уравнения.

Т. к. х = 1 удовлетворяет условию х ≥ 0 , значит, число 1 является корнем исходного уравнения.

Если х ˂ 0 , то уравнение принимает вид: х² – 5х + 6 = 0

(х – 3) ∙ (х – 2) = 0 х – 3 = 0 х = 3 х – 2= 0 х = 2

Оба корня не удовлетворяют условию х ˂ 0, значит, они не являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 1.

Задача 5. Решить уравнение:

│2х – 3│= 1

Решение:

Если 2х – 3 ≥ 0 , т. е. х ≥ 1, 5 , то уравнение принимает вид:

2х – 3 = 1

2х = 1+ 3

2х = 4 х = 2

Т. к. х = 2 удовлетворяет условию х ≥ 1,5 , значит, число 2 является корнем исходного уравнения.

Если 2х – 3 ˂ 0, т. е. х ˂ 1,5 , то уравнение принимает вид:

2х – 3 = –1

2х = –1 + 3

2х = 2 х = 1

Т. к. х = 1 удовлетворяет условию х ˂ 1,5 , значит, число 1 является корнем исходного уравнения.

Ответ: 1; 2.

Задача 6. Решить уравнение:

│1001х + 14│= – 1 х - не имеет корней, так как │aх + b│> 0

Ответ: нет корней.

Задача 7. Решить уравнение:

│ х² – х │= 0

Решение: х² – х = 0 х (х –1 ) = 0 х = 0 х = 0 х – 1= 0 х = 1

Ответ: 0; 1.