Решение геометрических задач с практическим содержанием

Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. Овладевая окружающим их миром, люди, знакомились с простейшими геометрическими формами.

Эти формы они использовали, изготавливали каменные орудия. Уже 200 тыс. тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур сначала, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т. д.

А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна и т. д. Стало ясно, например, что, не обтесав бревна, дома из них не построишь: они покатятся. А крыша должна быть наклонной, чтобы с нее стекал дождь. Люди научились вытесывать из древесинных стволов прямоугольные балки. И, сами того не зная, все время занимались геометрией. Геометрией занимались женщины, изготовляя одежду; охотники, изготовляя наконечники для копий или бумеранги особо сложной формы; рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. Только самого слова «геометрия» тогда не было, а форма тела еще не рассматривалась отдельно от других их свойств.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого издавна применяли катки. И было замечено, что перекатка тяжелого камня становится легче, если для катки взято прямое дерево и от него отрезан кусок с почти одинаковой толщиной в начале и конце. Так люди познакомились с одной из важных фигур – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки.

Перевозить грузы на катках было довольно трудно. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо. Это было замечательным открытием.

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическими фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище. И многие созданные давным-давно украшения тоже имели ту или иную геометрическую форму.

Различной была и геометрическая форма крестьянских полей. А для того чтобы взимать налоги, надо было знать их площадь. Гончару надо было знать, какую форму следует предать кубку или амфоре, чтобы в них входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т. д.

В Египте умели находить объемы довол ьно сложных фигур. Египетские пи сцы умели справляться с трудными задачами. Откуда они узнали, как это делать, известно мало. В дошедших до нас папирусах никаких выводов правил нет, а каждый раз говорится: «Делай, ка к делается». Поэтому обучение пи сцов в те времена сводилось к зубрежке, без какой – либо попытки понять, почему надо применять такое правило, а не иное. Из-за этого наряду с верными правилами в египетских свитках встречаются и ошибочные.

Процесс знакомства с различными видами геометрических фигур сменился новым этапом – знакомством с их свойствами. И здесь главную роль играли практические задачи.

В жарком, засушливом Египте успешно вести земледелие можно было только на зем лях, расположенных вблизи Нила. Весной, во время паводка, Нил широко разливался и покрывал поля своим плодородным илом. И лишь на удобренных этим илом полях могли получать египтяне урожаи ячменя, полбы и других возделываемых ими культур.

Поэтому расположенные вблизи Нила земли очень высоко ценились. Так как население Египта было уже достаточно большим, то вся эта земля была поделена между крестьянами. Но вот в чем была незадача: поля отделялись друг от друга межами, разлив Нила смывал каждую весну эти межи, и приходилось проводить их снова. Поэтому были особые чиновники, которые занимались межеванием земель, то есть – землемеры. Посещавшие Египет греки называли их гарпедонаптами, т. е. натягивателями веревок: понятно, что для проведения прямой межи надо было туго натянуть веревку.

Но надо было еще знать, в каком направлении , и между какими точками следовало натягивать веревки. А для этого нужен был план полей. Так из практической задачи о межевании полей возникла наука о землемерии. По-гречески земля называлась «геос», измеряю – «метрио», а по этому и наука об измерении полей получило названия «геометрия». Только не вздумайте назвать современного землемера геометром или геометра землемером: они вас не поймут. За многие тысячи лет, протекших со времени возникновения геометрии, она стала лишь весьма в малой степени заниматься землемерием.

Как же мерили землю древние египтяне? Если участок земли квадратный или прямоугольный, то найти его площадь – дело не сложное. Надо измерить длину и ширину поля, а потом их перемножить. Но участки могут иметь разную форму. Не всякий участок можно разделить на прямоугольники. А вот на треугольники можно разбить любой участок, если только он ограничен прямыми линиями.

Египтяне рассуждали примерно так. Если в прямоугольнике соединить два противоположных угла, то получится два одинаковых треугольника с прямыми углами – прямоугольными. Площадь каждого из них вдвое меньше площади прямоугольника, из которого они получились.

Значит, для этого, что бы узнать площадь прямоугольного треугольника, надо измерить те его стороны, которые образуют прямой угол, перемножить их длины и от того, что получится, взять половину. Эти стороны получили потом у греков название катеты. А самую длинную сторону прямоугольного треугольника греки назвали гипотенузой. Катетом они назвали прямоугольный шест, а словом «гипотенузо» означало «натянутая». Вероятно, первое представленье о прямоугольном треугольнике греки получили , рассматривая веревку, косо идущую от вершины шеста.

Потребность измерения расстояний и площадей привела к созданию на Руси рукописей геометрического содержания чисто практического характера. Например: в сохранившейся рукописи «Книга сошного письма», написанной в 1629 г. , имеется глава «О земном верстании, как земля верстать».

В главе «О земном верстании» собраны правила измерения площадей фигур различной конфигурации и приведен ряд примеров, как этими правилами пользоваться. Но выводов или обоснований указанных правил нет. В рукописи рекомендуется производить измерение и вычисление площадей различных фигур посредством измерения площадей простейших фигур: квадрата, прямоугольника, треугольника и трапеции.

Ну, а если получается такой треугольник, у которого нет прямого угла? Как рассчитать? Надо провести линию под прямым углом к одной из сторон треугольника, т. е. так, чтобы она проходила через вершину противоположного этой стороне угла и образовала со стороной прямой угол. В геометрии такую линию называют высотой, а ту сторону, с которой она пересекается, - основанием треугольника.

Видно, что высота делит треугольник опять же на два, но уже прямоугольных треугольника. Вычислить их площадь просто. Площадь любого треугольника равна половине произведения основания на высоту. Египетским математикам удалось решить и другую, гораздо более трудную задачу. Они нашли способ, хоть и приблизительно, вычислить площадь круга по его поперечнику (диаметру): по их правилам площадь круга считалась равной площади такого квадрата, сторона которого есть 8/9 поперечника круга.

Искусны были египетские писцы и гарпедонапты! Но однажды им пришлось устыдиться, потому что пришелец из далекой Греции оказался намного искуснее их. Это случилось в VI веке до новой эры, а пришельцем был Фалес из Милета. В те времена греки не занимались геометрией, и Фалес решил на месте познакомиться с египетской наукой. Египтяне задали ему трудную задачу: как найти высоту одной из громадных пирамид? Фалес нашел для этой задачи простое и красивое решение. Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».

Чтобы сообразить это, Фалес должен был уже много знать про геометрические фигуры, а особенно про ту, которая получается, если разб ить квадрат на два треугольника. Ясно, что эти треугольники равны друг другу. Кроме того, у них по прямому углу, а катеты в этих треугольниках равны друг другу. В геометрии такие треугольники называют прямоугольными и равнобедренным и. А дальше, вероятно, Фалес рассуждал так. Солнце от Земли очень далеко, поэтому идущие от него и к пирамиде лучи можно без большой ошибки считать параллельными. Но когда тень от палки станет той же длины, что и сама палка, то треугольник АВС станет прямоугольным и равнобедренным. А из параллельности солнечных лучей он вывел, что тогда и треугольник DE B тоже станет равнобедренным, а значит, высота пирамиды будет равна длине ее тени.

Фалес стал не только наблюдать различные свойства геометрических фигур, но и выводить одни свойства из других.

Как он это сделал? По- видимому, он пользовался соображениями симметрии. Например, он стал доказывать, что диаметр делит круг пополам, т. е. что при перегибании круга по диаметру одна половина в точности ляжет на другую. Знал Фалес и то, что при пересечении двух прямых вертикальные углы равны.

Математика всегда решала задачи, которые ставила перед ней жизнь, практика. Очень интересную задачу решил Эратосфен. Он впервые определил размеры земного шара.

Эра то с фен жил около 2000 лет назад в Египте, в городе Александрии. Южнее Александрии на берегу Нила лежит город Сиена, который теперь называют Асуан. Он знал, что в день летнего солнцестояния – самый длинный день года – в Сиене солнце заглядывает на дно самых глубоких колодцев. А в Александрии в этот день дно колодцев остается в тени. Там солнечные лучи падают на землю не отвесно, как в Сиене, а под углом и освещают только стенку колодца.

Эратосфен измерил угол между направлениями солнечного луча и стеной колодца. Оказалось, что этот угол равен 1/25 развернутого угла.

Наверное, Эра то с фен рассуждал так:

Солнечные лучи всюду параллельны, а колодцы всегда копают по отвесу. Солнце может по-разному освещать колодцы в Сиене и Алекс андрии только потому, что Земля не плоская. Скорее она круглая, как шар. Но раз угол между солнечным лучом и отвесом в Александрии равен 1/25 развернутого угла, то расстояние между Александрией и Сиеной в 25 раз меньше длины меридиана, соединяющего полюса земного шара.

Расстояние от Александрии до Сиены было приблизительно известно. Умножив его на 25, Эратосфен определил длину меридиана. Если эту длину разделить на 3,14, то и получится радиус земного шара. Ошибка, сделанная Эратосфеном, была совсем невелика, особенно если учитывать, как неточны были в то время измерения расстояний и углов.

Много практических задач по математике и физике решил греческий ученый и изобретатель Архимед.

Он впервые решил много трудных задач по геометрии: нашел правила вычисления площадей и объемов различных тел, с большой точностью определил отношение длины окружности к ее поперечнику.

Много полезного узнали греческие ученые у вавилонян. Но история науки сложилась так, что эти открытия стали, потом приписывать грекам. Например, одно из самых замечательных утверждений во всей геометрии до сих пор называют именем греческого математика теоремой Пифагора. Однако вавилоняне знали это утверждение более чем за тысячу лет до рождения Пифагора.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связывавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). С ее помощью можно было, измерив одну сторону и два угла треугольника, найти длины всех сторон. Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще ранее с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Греческий ученый – Платон – над дверью дома, в котором он занимался со своими учениками, велел сделать такую надпись: «Не обучившийся геометрии пусть не входит в эту дверь».

В надписи Платона не случайно говорится о геометрии, а не о математике вообще. Геометрию греки считали особенно важной наукой.

Все больше и больше геометрических утверждений открывали греческие ученые, все сложнее становились их рассуждения. Чтобы не разыскивать эти утверждения по разным книгам, надо было свести их вместе и написать учебник, содержащий всю сложившуюся в то время науку о фигурах.

Этот гигантский труд выполнил живший примерно 2300 лет тому назад александрийский геометр Евклид. Сведя вместе результаты, полученные многими поколениями ученых, Евклид написал книгу «Начала», которая благодаря своим высоким качествам вытеснила все другие учебники по геометрии. Каждое свойство фигур Евклид доказывал и делал это так замечательно, что многие современные учебники по геометрии больше чем половину берут прямо от Евклида. Книгу Евклида много раз переводили на все языки мира.

Разумеется , геометрия нужна не только для того, чтобы называть части строений или формы окружающих нас предметов. С помощью геометрии можно находить их объемы и площади, а также расстояния до недоступных точек.

Чтобы решить эти задачи, необходимо знать, как их решать, то есть знать методы решения геометрических задач.

Метод – совокупность приемов или операций для получения искомого результата

Невозможно указать два, три и даже пять методов, освоив которые, можно научиться решать все геометрические задачи. Они всегда непредсказуемы. В этом сложность геометрических задач. Но в этом заключается и их прелесть. Каждая геометрическая задача требует индивидуального подхода , определенной доли изобретательности и интуиции. Конечно же, для решения таких задач необходимо твердо знать теоремы школьного курса, но этого мало. Нужно уметь применять эти теоремы, и каждый раз в новой ситуации.

По разным классификациям существуют различные методы. Я воспользовалась классификацией Игоря Федоровича Шарыгина. В учебном пособии для учащихся 10 класса средней школы я нашла три метода для решени я геометрических задач (геометрический, аналитический, векторный), но подробнее остановлюсь на двух. а) Геометрический метод. Говоря о методах решения геометрических задач, следует отметить некоторые специфические особенности этих методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения. Кроме того, очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и приемов. (Шарыгин) Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач Москва « Просвещение » 1989.

Геометрический метод характеризуют как метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур.

1) Для определения высоты дерева можно использовать зеркало. Луч света FD , отражаясь от зеркала в точке D , попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС = 165 см, ВС = 12 см, AD = 120 см, DE = 4,8 м , 1 = 2.

Решение:

∆ AD B подобен ∆DEF ( 1 = 2, А = Е, т. к. АС и EF высоты) , из этого следует, что: DF : BD = EF : AB = DE : AD.

АВ = АС – ВС = 165 – 12 = 153 см

4,8 м = 480 см

EF : AB = DE : AD

FE = AB · DE : AD = 153 · 480 : 120 = 612 см.

Ответ: 612 см высота дерева.

2) Как найти высоту дерева, имея прямоугольный треугольник с углом 30°?

Решение:

Устанавливаем прямоугольный ∆А 1 В 1 С 1 ( С 1 = 90°, А 1 = 30°)так, чтобы гипотенуза А 1 В 1 занимала вертикальное положение, продолжение катета С 1 А 1 прошло через вершину дерева А, а продолжение катета С 1 В 1 - через основание дерева В. Измеряем h – высоту точки С 1 над землей. АВ = 4h, так как АВ = 2С 1 В (из ∆АВС по свойству катета против угла 30°), а С 1 В = 2h (из ∆С 1 МВ по свойству катета против угла 30°).

3) Тень, отбрасываемая телеграфным столбом на поверхность земли, равна 9 метров, в то время как вертикальный шест высотой 2 метра отбрасывает тень в 2,4 метра. Найдите высоту столба.

Решение:

Пусть АВ – высота столба, KD – вертикальный шест,

∆ВСА подобен ∆ KCD , следовательно, АВ: D К = АС: D С , т. е. 9:2,4 = АВ: 2 откуда АВ = 7 ,5 метра.

Ответ: высота столба 7 ,5 м.

4) С помощ ью геометрии определяли расстояние до недоступной точки в XVIII веке. Для этого измеря ли D и C , а также сторону DC. tg C = AD : DC , из этого сл едует, что AD = DC ∙'95 tg C

Задача № 582 на стр. 155 учебника Л. С. Атасяна «Геометрия 7 – 9 класс»

5) Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точ ку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник А 1 В 1 С 1 , подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если АС = 42 м , А 1 С 1 = 6,3 см, А 1 В 1 = 7,2 см.

Решение:

∆ABC подобен ∆А 1 В 1 С 1 , из этого следует, что АВ : А 1 В 1 = ВС : В 1 С 1 = АС : А 1 С 1

АВ : А 1 В 1 = АС : А 1 С 1

АВ = А 1 В 1 · АС : А 1 С 1

АС = 42 м = 4200 см

АВ = 7,2 · 4200 : 6,3 = 4800 см = 48 м

Ответ: АВ = 48 м.

6) Определите ширину реки ВВ 1 , если АС = 100 м, АС 1 = 32 м, АВ 1 = 34 м.

Решение:

Треугольник ABC подобен треугольнику АВ 1 С 1 – т. к. А – общий, ВСА = АВ 1 С 1 т. к. они соответственные при параллельных прямых В 1 С 1 и ВС.

АВ : АВ 1 = АС : АС 1

АВ = АВ 1 · АС : АС 1

АВ = 34 · 100 : 32 = 106,25 м

ВВ 1 = АВ – АВ 1 = 106,25 – 34 = 72,25 м

Ответ: ВВ 1 = 72,25 м.

7) Легенда повествует о том, как Фалес сумел измерить расстояние от берега до стоящего в гавани корабля.

Решение:

В одной из четырех гаваней Милета был построен дальномер, состоящий из трех вбитых в землю колышков А, В, С (АВ = ВС) и размеченной прямой СК ┴'2b СА. Как только на горизонте появлялся корабль, на прямой СК находили такую точку D, чтобы точки D, В и Е оказывались на одной прямой. Тогда расстояние CD на суше было искомым расстоянием АЕ до корабля.

Я думаю, что эту задачу можно решить и так, чтобы занять меньше пло щади на суше : если СВ будет меньше АВ в 2 раза, то ∆ BDC подобен ∆ BAE с коэффициентом 2, а это значит что CD меньше АЕ в 2 раза.

Практическое значение имеет и правильное расположение объектов на местности. Такого рода задач а , например:

8) Деревни А и В находятся на одинаковом расстоянии от города М. На прямой, проходящей через М и В, расположены еще две деревни С и D. К какой из первых двух деревень А и В ближе расположена: а) деревня С; б) деревня D ?

Эту задачу можно решить, используя геометрическую тему «Неравенство треугольника»

Решение:

А) Соединив А с точками М и С, видим, что МА + АС > МС, но МА = МВ, следовательно АС>ВС. Поэтому, деревня С расположена ближе к В, чем к А.

Б) Соединив А с точкой D , видим, что D М + МА > D А, но МА = МВ, следовательно, D В> D А. Поэтому, деревня D расположена ближе к А, чем к В.

9) Поверхность пруда имеет форму квадрата. В вершинах квадрата на берегу пруда растут 4 дуба. Хотят вдвое увеличить площадь поверхности пруда, но так, чтобы новый пруд сохранил форму квадрата и чтобы все четыре дуба остались целы (т. е. были на берегу).

Как это сделать?

Решение:

Построим точки О 1 , О 2 , О 3 , О 4 , симметричные точке О относительно прямых ВС, А D , С D и АВ соответственно. Тогда ОО 1 = CD , т. к. ОК = Ѕ CD. ОК = О 1 К (как симметричные). ОО 2 = ВС. S o 1o2o3o4 = 4 S ∆o1oo2 = 4 ∙'95 Ѕ ОО 1 ∙'95 ОО 2. S o 1o2o3o4 = 2 S ABCD.

б) Аналитический метод решения. Для этого метода характерны формулы, уравнения.

Один из недостатков элементарно-геометрических мет одов состоит в необходимости за частую перебора различных вариантов расположения точек, прямых и т. д. Этот недостаток, как правило, исчезает при переходе к алгебраическим методам, методу координат, векторному методу. Хотя очень часто при этом исчезает и сама геометрия.

Говоря об этом алгебраическом методе решения геометрических задач, выделим, прежде всего, две его разновидности: а) метод поэтапного решения; б) метод составления уравнений.

Сущность первого метода коротко состоит в следующем. Величины, заданные в условии задачи, и те, которые нужно найти, мы связываем цепочкой промежуточных величин, каждая из которых последовательно определяется через предыдущие. Полезно при этом сначала составить план решения задачи, другими словами, выписать цепочку элементов, которые можно последовательно вычислить, соединяющую то, что дано, и то, что нужно найти. (Шарыгин) Шарыг ин И. Ф. Факультативный ку рс по математике. Решение задач « Просвещение » 1989.

Алгебраический метод трактуется как метод, заключающийся в употреблении букв и буквенных выражений, над которыми по определенным правилам производятся преобразования. Его называют еще методом буквенных вычислений.

10) Футбольный мяч находится в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол б попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

Решение :

Рассмотрим треугольник АВС, вершинами которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот. По условию c = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и a = ВС = 7 м. Эти данные позволяют решить треугольник АВС и найти угол б , равный углу А. С помощью теоремы косинусов определяем cos А:

Cos A = ( b 2 +c 2 - a 2 ) : 2bc = ( 24 2 + 23 2 – 7 2 ) : 2 ∙'95 24 ∙'95 23.

Угол б находим по таблице: б ≈ 16˚57′.

Ответ: б ≈ 16°57яяяяяяяяяяяя′.

11) П оперечное сечение так называемого тупокантного бруса, полученного из бревна с помощью продольной распиловки. Оно представляет собой прямоугольник без четырех отрезанных от него равных равнобедренных треугольников. Найдите площадь этой фигуры.

Решение:

Из 4 отрезанных треугольников можно сложить квадрат со стороной j. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = ab. Потому искомая площадь S = ab – j 2. Этой формулой пользуются на практике при определении запаса пиломатериалов.

12) Колодец цилиндрической формы, имеющий в диаметре 135 см. , а глубину 180 с м. , надо выложить кирпичом. Сколько штук кирпича для этого потребуется, если размер кирпича 25х12х6,5 см.

Решение:

Длина окружности, диаметр которой меньше диаметра колодца на удвоенную ширину кирпича, равна d р ≈ 499 см. Длину окружности делим на д лину кирпича, получаем 499 : 25 ≈ 20 кирпичей уложено в один ряд. Таких рядов будет 1 80 : 6,5 ≈ 28. Следова тельно, потребуется кирпича 20 · 28 = 560 штук.

Ответ: 560 кирпичей.

13) Измерение высоты предмета.

Предположим, что требуется определить высоту АН какого-то предмета. Для этого отметим точку В на определенном расстоянии а от основания Н предмета и измерим АВН: АВН = б. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН=а tg б.

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так. На прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки B и C на определенном расстоянии a друг от друга и измерим углы АВН и А С В : АВН = б и АСВ = в. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле, АВН – внешний угол треугольника АВС, поэтому А = б – в. Используя теорему синусов, находим АВ: АВ =а ∙'95 sin в : sin ( б – в ).

Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета: АН = АВ · sin б. Итак, АН = а ∙'95 sin б ∙'95 sin в : sin ( б – в ).

Ответ: АН = а ∙'95 sin б ∙'95 sin в : sin ( б – в ).

14 ) С наблюдательного пункта А замечают под углом 63° 30′ самолет В, пролетающий над башней D , высота которой 79,5 м. Прямая, соединяющая наблюдательный пункт А с верхушкой башни D , образует с горизонтальной плоскостью угол 20°45′. На какой высоте находится самолет? 29

Решение:

Треугольник АВС – прямоугольный, т. к. СВ – высота.

D АВ = САВ – СА D = 63°30′ – 20°45′ = 42°45′ , СВА = 90° – 63°30′ = 26°30′.

∆ DAC – прямоугольный. АD = DC : sin б = 79,5 : sin 20°45′ = 79,5 : 0,3535 ≈ 224,9 м.

Из ∆DAB по теореме синусов BD : sin 42°45′ = AD : sin 26°30′.

BD = sin 42°45′ · А D : sin26°30′ = 0,6788 * 224,9 : 0,4462 ≈ 342,2 м.

BC = BD + DC = 342,2 + 79,5 = 421,7

Ответ: 421,7 м – Высота полета самолета.

15 ) Вершина горы В из точки А видна под углом б = 38°42 ′, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом в = 42°

Найти высоту горы.

Решение: в – внешний угол ∆ A B D. в = б + г, г = угол DBA , г = в – б = 42° – 38°42 ′ = 3°18′

Из ∆ А B D по теореме синусов BD : sin б = AD : sin г

BD = AD · sin б : sin г = 200 · sin б : sin г

CB = BD · sin в = 200 · 0,6252 · 0,6691 : 0,0576 = 83,664 : 0,576 = 1452,5 м

Ответ: высота горы 1452,5 м.

16 ) Измерение расстояния до не доступной точки. ( П рименяют при составлении карт, планов местности )

Предположим, что нам надо найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С. Э ту задачу мы решали в 8 классе с помощью признаков подобия треугольников. Рассмотрим теперь другой способ решения задачи – с использованием формул тригонометрии.

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Затем измерим, нап ример с помощью астролябии, углы А и В: А = б и В = в. Эти данные, т. е. с , б и в , позволяют решить ∆ АВС и найти искомое расстояние d = АС.

Сначала находим угол С и sin С: С = 180° - б – в , sin С = sin (180° - б – в ) = sin (б + в).

Затем с помощью теоремы синусов находим d. Так как АС: sin B = АВ : sin C , АС = d , АВ = с, В = в, то d = c sinв : sin (б+в).

Ответ: d = c sinв : sin (б+в).

Геометрические задачи могут быть и экологического содержания. Например:

1 7 ) В окрестностях Тюмени, Омска и Томска уже к 30-м гг. ХХ в. строевой лес был вырублен в радиусе 30 – 40 км. Какова площадь вырубленных лесов в окрестности каждого из этих городов?

Решение:

Поскольку данные приблизительные, естественно выбрать их среднее арифметическое, т. е. считать, что радиус вырубки в каждом случае равен 35 км. По формуле площади находим: 3,14 · 35 2 = 3846,5 (км 2 ).

Заметим попутно, что в условиях Сибири деревья растут очень медленно, так что спешить там с вырубками – значит оставлять без свежего воздуха большие массы людей.

18 ) «В 79г. н. э. произошло сильное извержение вулкана Везувий. В результате ближайшие города Помпея и Геркуланум были погребены под пеплом. Только в XVIII в. был раскопан Геркуланум под 20-метровой толщей наносов. Опустошения вокруг Везувия произошли в радиусе до 18 км на площади свыше 310 км 2 ».

Так писала о древней трагедии одна из газет. Определите ошибку в расчетах площади.

Решение:

Вычислим площадь опустошений как площадь S круга радиусом 18 км:

S = 3,14 · 18 2 = 1017,36 км 2.

Значит, в заметке ошиблись на:

1017,36 – 310 = 707,36 (км 2 ).

Как видим, ошибка весьма существенна. Или радиус разрушений указали неверно, или площадь посчитали неправильно.

Подчеркнем, что эти города в древности были довольно известны, но нашли их очень поздно. Трудно предложить, что погибшие города никто не искал. Напрашивается предложение, что еще в древности ошиблись ориентирами, или площадь поисков неправильно определяли.

19 ) Использование недр связано с ежегодным извлечением около 150 млрд. т горных пород. Но лишь их незначительная часть реализуется в виде продукции производства, а остальное превращается в отходы. Какова высота горы отходов, если считать, что эта гора имеет форму конуса, высота которого равна радиусу основания. При добыче 1 т руды получается 1,05 м 3 отходов.

Решение:

Вычислим сначала объем V конуса отвалов: V = 150 (млрд. ) · 1,05 (м 3 ) = 157,5 Млрд. м 3 ). Объем V конуса с основанием S, радиусом основания h и высотой h равен

V = 1/3Sh = 1 : 3рh 3.

Отсюда h 3 = 3V : р = 3 · 157,5 (млрд. м 3 )/ р , h = 3 √'76 150 500 000 000 (м 3 ) ≈ 5,32 (тыс. м) = 5320 (м).

20 ) В нашем поселке Малиновое Озеро Алтайского края предприятием « Алтайсода» используется местное сырье. С оду добывают из озера и складываю т ее в виде пирамиды на площадку для дальнейшего использования. Каков объем добытого сырья, расположенного между старым и новым заводом.

Решение:

И змерив длину ( l ) 79 м , ширину ( d ) 8 ,1м основания пирамиды и ее высоту (h) 4 м , получим:

V = 1/3 ∙'95 l ∙'95 d ∙'95 h

V = 1/3 ∙'95 79 ∙'95 8 ∙'95 4 = 853 3

Ответ: V = 853 м 3.

Большинство даже самых глобальных задач мирового масштаба решаются с помощью практических задач, т. е. задач, возникающих в производственной деятельности, в разных отраслях знаний, в окружающей действительности. Почти все эти задачи могут быть решены средствами математики. Для этого необходимо четкое представление о практической ситуации, в которой ставится задача, перевод ее на язык математической задачи и применение математических методов для ее решения.