Различные способы умножения

Математика в жизни людей играет большую роль. Этот предмет все люди изучают с первого класса. Я изучаю математику третий год. Во 2 классе мы познакомились с новым арифметическим действием – умножением. Замена одинаковых слагаемых умножением были увлекательным занятием для нас. Мы выучили таблицу умножения. А в 3 классе познакомились с умножением в столбик. Мне очень понравилось умножать многозначное число на однозначное. Но при изучении темы меня заинтересовали следующие вопросы:

1. Как умножали люди в старину?

2. Знали ли они таблицу умножения?

3. Когда они научились умножению в столбик?

4. Смогу ли и я придумать способ умножения?

Арифметические действия

Первыми математическими знаками были цифры. Числа были придуманы людьми, чтобы обозначать количество предметов: стрел в колчане, мешков зерна в амбаре, овец в стаде. Но эти величины непостоянны – количество предметов то увеличивалось, то уменьшалось, поэтому важно было уметь складывать и вычитать. Когда числа были небольшими, это делалось просто: рисовали чёрточки на дереве, завязывали узелки на верёвке. Пасёт пастух стадо овец, на поясе у него верёвка, а на верёвке столько узелков, сколько овец в стаде. Вместо верёвки часто использовали живой «вычислительный прибор» - пальцы.

Вполне понятно, что при арифметических вычислениях людям необходимо было записывать не только цифры, но и знаки, которые обозначали действие сложения, вычитания, деления или умножения. Как это делали древние математики? Египтяне, когда им требовалось выполнить сложение чисел, рисовали две человеческие ноги, двигающиеся вперёд, а при вычитании чисел – ступни ног рисовали повёрнутыми в обратном направлении.

Древние греки обозначали сложение вертикальной чертой, а вычитание – знаком в виде запятой.

Знак равенства греки обозначали буквой I – первой буквой греческого слова изос – равный.

Европейские учёные обозначали сложение буквой р , что означало плюс, а действие вычитание – буквой м – минус. Слова плюс и минус – это латинские слова, обозначающие понятия больше и меньше.

Первым использовал знаки «+» и «-» немецкий учёный Ян Видман. В конце XV века он написал книгу «Быстрый и красивый счёт для всего купечества».

С распространением в Европе арабских чисел появились и новые знаки арифметических действий.

Арифметическое действие – умножение.

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет. Знак умножения «х» впервые был введён английским математиком Уильямом Оутредом в 1613 году.

В 1698 году знаменитый немецкий математик Лейбниц предложил обозначать действие умножения точкой, а действие деления двумя точками.

Из Европы во время царствования Петра I (1672 – 1725 гг. ) арабские цифры и новые математические знаки были принесены в Россию.

Шумерские жрецы составили первую таблицу умножения. Только выучить её наизусть, как это требует современная математика, ученикам шумерских школ было почти невозможно: она состояла из 1800 строк. Таблица умножения помогала шумерам, занимающимся земледелием, вычислять площади обрабатываемой земли. Расчёты записывались и сохранялись

Что остаётся у большинства людей в голове из того, что они когда-то изучали в школе? У разных людей разное, но у всех таблица умножения. Помимо усилий, приложенных для её заучивания, вспоминаются множество задач, решённых с её помощью. Триста лет назад в Англии человек, знающий таблицу умножения, уже считался учёным человеком.

Различные способы умножения чисел.

Способов умножения было придумано много. Итальянский учёный конца XV века Лука Пачиоли в трактате об арифметике приводит 8 различных способов умножения. В первом, который носит название «маленький замок», цифры верхнего числа, начиная со старшей, поочерёдно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа нулей. Затем результаты складываются

Преимущество этого метода перед обычным состоит в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов, а это бывает важно при прикидочных расчётах.

Второй способ носит не менее романтическое название «ревность» (или решетчатое умножение). Рисуется решётка , в которую затем вписывают результаты промежуточных вычислений, точнее, числа из таблицы умножения. Решётка является прямоугольником, разделённым на квадратные клетки, которые, в свою очередь, разделены пополам диагоналями.

Слева (снизу вверх) писался первый множитель, а наверху – второй. На пересечении соответствующей строки и столбца писалось произведение стоящих в них цифр. Затем полученные числа складывались вдоль проведённых диагоналей, а результат записывался в конце такого столбика. Результат прочитывался вдоль нижней и правой сторон прямоугольника. «Такая решётка, - пишет Лука Пачиоли, - напоминает решетчатые ставни – жалюзи, которые вешались на венецианские окна, мешая прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь».

Этот способ ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе. Затем остаётся только произвести сложение.

Все способы умножения, описанные в книге Луки Пачиоли, использовали таблицу умножения.

Однако русские крестьяне умели умножать и без таблицы. Оказывается, начиная с глубокой древности и почти до восемнадцатого века русские люди в своих вычисления обходились без умножения и деления: они применяли лишь два арифметических действия – сложение и вычитание, да ещё так называемое «удвоение» и «раздвоение». Чтобы перемножить два числа, их записывали рядом , а затем левое число делили на 2, а правое умножали на 2.

В те давние времена удвоение и раздвоение принимались даже за особые арифметические действия. Только какие же это особые действия? Ведь, например, удвоение числа – это не особое действие, а всего лишь сложение данного числа с самим собой.

А как же быть, если множимое делится на 2 с остатком?

Если множимое не делится на 2, то от него сначала отнимается единица, а затем уже производится деление на 2. Строчки с чётными множимыми вычёркиваются, а правые части строчек с нечётными множимыми складываются.

«Крестьянский способ» может понравиться тем, кто не в ладах с таблицей умножения, правда, здесь приходится производить больше сложений. Однако таблицу умножения всё же стоит выучить. Но оказывается, наш школьный способ умножения чисел значительно проще и экономнее, чем старинный русский способ! Только мы должны знать прежде всего таблицу умножения, а наши предки её не знали. Кроме того, мы должны хорошо знать и само правило умножения, они же знали только как удваивать и раздваивать числа. Мы умеем умножать значительно лучше и быстрее, чем самый знаменитый вычислитель в древней Руси. Между прочим, несколько тысяч лет тому назад египтяне выполняли умножение почти точно так же, как и русские люди в старину. Не так давно, всего около ста лет тому назад, - заучивать таблицу умножения было делом очень трудным. Чтобы убедить учеников в необходимости знания наизусть таблицы, авторы математических книг издавна прибегали к стихам.

Аще кто не твердит И во всей науки,

Таблицы и гордит, несвобод от муки,

Не может познати Колики не учит,

Числом что множати туне ся удручит

И в пользу не будет

Аще ю забудет.

Всё это написано более 250 лет тому назад, в 1703 году, Леонтием Филипповичем Магницким. По «Арифметике» Л. Ф. Магницкого учился великий русский учёный М. В. Ломоносов, а также многие другие видные русские учёные восемнадцатого века.

В те времена Ломоносов пример 48х8=384 решил и прокомментировал бы так:

48 – Еличество

8 – Множитель

384 – Продукт, или произведение.

«8-жды 8 есть 64, я пишу 4 под чертою, против 8, а а 6 десятиц во уме имею. И дальше 8-жды 4 есть 32, и я 3 во уме держу, а к 2 приложу 6 десятиц, и будет 8. И сие 8 напишу подле 4, в ряд к левой руке, а 3 пока во уме суть, напишу в ряд подле 8, к левой же руке. И будет из умножения 48 с 8 произведение 384».

Мы почти также умножаем, только мы говорим по-современному, а не постаринному и, кроме того, называем разряды.

Индийский способ умножения.

Представим, что мы присутствуем на экзамене по математике. Хоттабыч сдаёт экзамен по математике. Пусть 486 надо умножить на 7. Слева пишем множимое, справа множитель:

- А почему же ты не записал знак умножения? – спросил экзаменатор.

Как меня научили умножать, так и делаю!– сказал Хоттабыч.

Теперь я 4 умножаю на 7, получится 28. Это число я записываю над цифрой 4,- продолжал Хоттабыч.

- Почему же ты начинаешь умножение со старшего разряда, а не с низшего?

- Как меня научили умножать, так и делаю! Теперь я 8 умножаю на 7, получится 56. 5 прибавлю к 28, получится 33; 28 сотру, а 33 запишу; 6 запишу над цифрой 8. Теперь я 6 умножаю на 7, получится 42, 4 прибавлю к 36, получится 40; 36 сотру, а 40 запишу;

2 же запишу над цифрой 6. Итак, 486 умножать на 7, получится 3402;

Как видим, старик Хоттабыч арифметику знал совсем не плохо. Однако запись действий он производил не так, как это делаем мы. Давно-давно, более тысячи трёхсот лет тому назад, индийцы были лучшими вычислителями. Однако они не имели ещё бумаги и все вычисления производили на небольшой чёрной доске, делая на ней записи тростниковым пером и применяя очень жидкую белую краску, которая оставляла знаки, легко стиравшиеся. Когда мы пишем мелом на доске, то это немного напоминает индийский способ записи: на чёрном фоне появляются белые знаки, которые легко стирать и исправлять.

Знака умножения в то время ещё не существовало, и между множимым и множителем оставлялся лишь некоторый промежуток. Индийским способом можно было бы умножать, начиная и с единиц. Однако сами индийцы умножение выполняли начиная со старшего разряда и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры.

Арабский способ умножения.

Ну, а как же, в самом деле, выполнять умножение индийским способом, если записывать на бумаге? Этот приём умножения для записи на бумаге приспособили арабы. Знаменитый учёный древности узбек Мухаммед ибн Мусса Альхваризми более тысячи лет тому назад выполнял умножение на пергаменте так .

Как видно, он не стирал ненужные цифры (на бумаге это делать уже неудобно), а вычёркивал их; новые же цифры он записывал над зачёркнутыми, разумеется, поразрядно.

Да, арабский способ умножения не очень-то удобен. Тем не менее этот способ умножения держался в Европе вплоть до восемнадцатого века, целых тысячу лет. Он назывался способом крестика, или хиазмом, так как между перемножаемыми числами ставилась греческая буква Х (хи), постепенно заменённая косым крестом.

Вот теперь мы хорошо видим, что наш современный способ умножения является

Исследования.

Из изученных способов больше всего мне понравился способ умножения «ревность». Но по-моему у этого способа есть несколько сложностей:

• первый множитель нужно записывать снизу вверх;

• нахождение произведения осуществляется с помощью сложения чисел по диагоналям;

• запись результата умножения снизу вверх.

Я решил взяв за основу этот способ умножения придумать свои и постараться сделать их более удобными. Первый способ умножения я назвал «Весёлые ступеньки». Рисуется решётка. В первый столбик записывается первый множитель, во второй столбик – второй множитель. В последующие столбики – в клетки поделённые пополам , записываются результаты умножения первого множителя на каждый из разрядов второго множителя, не забыв в конце записывать ячейки с нулями ( умножаем на разряд сотен пишем две ячейки с нулями и т. д. ). Зарисовать цветными карандашами соседние треугольники так, чтобы появились ромбики, кроме первых треугольников. Сумму зарисованных фигур записать в последнем столбце. Это результат умножения – произведение, записанное сверху вниз.

Второй способ, придуманный мной, я назвал «Блочный домик». Смысл решения точно такой же. Но ячейки делить уже не надо. И я ввёл дополнительный столбец для чисел которые переходят в следующий разряд (запоминались). Результат действия умножения считается так: первый ряд – фундамент. Складываем числа и записываем результат. Следующие ряды разбиваем по 2 ряда – блоки. Сумму их записываем над фундаментом. В последнем столбце записано произведение чисел. Причём записано оно сверху вниз.

Заключение.

Мы привыкли пользоваться благами цивилизации – автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. Тысячи изобретений потребовалось для этого, но самым важным из них были первые – колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений есть общая черта – ни колеса, ни числа нет в природе, и то и другое – плод деятельности человеческого разума.

История математики продолжается. Математики рассматривают различные новые объекты, которые имеют свойства, сходные со свойствами обыкновенных чисел, находят новые действия с этими объектами.