Расположение корней квадратного уравнения
При подготовке к экзамену по математике, в задачах повышенной сложности, часто встречаются формулировки: при каких значениях параметра корни (или корень) квадратного уравнения больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа; расположены между двумя заданными числами; не принадлежат заданному промежутку и т. д. При решении таких задач большую помощь оказала статья Ш. Цыганова из г. Уфы << Десять правил расположения корней квадратного трехчлена>> (г. Математика №18 - 2002), изучив которую я решила сделать небольшое исследование.
Цель: Формировать умение формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного уравнения.
Задачи: 1) Изучить литературу по данной теме.
2)Составить сводную таблицу расположения корней квадратного уравнения.
3) Сформулировав правило, дать геометрическую интерпретацию.
Сведения о квадратных трехчленах
Правило 1.
Если коэффициент при x[2] многочлена второй степени, содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
Теорема 1.
Для приведенного квадратного трехчлена y=x[2] + px+q ( при условии p[2]>=4q) сумма корней x1+x2 =-p, произведение корнейx1x2 = q, разность корней равна x2-x1=p2 - 4q, а сумма квадратов корней равна x12+x22= = p[2] - 2q
Теорема 2.
Для квадратного трехчлена y = ax[2] + bx + c с двумя корнями x1 и x2 имеет место разложение ax[2] + bx + c = a(x - x1 ) (x - x2), для трехчлена с одним корнем x0 кратности два - разложение ax[2] + bx + c = a(x - x0)[2].
Какую информацию о графике функции f(x) = ax[2] + bx + c можно получить, зная коэффициент квадратного трехчлена?
* Если старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.
* Если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.
* Если старший коэффициент квадратного трехчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное.
* Если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.
* Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс.
* Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс.
* Абсцисса вершины параболы равна - b2a.
Расположение корней квадратного уравнения.
Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения - абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.
Правило 2.
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) не имеет решений тогда и только тогда, когда D<0
Правило з. 1
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D>0
Правило 3. 2
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня тогда и только тогда, когда D>=0
Правило 4. 1
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два корня x1 и x2, таких что x1 <М < x2, тогда и только тогда, когда af(M)<0
* Поскольку корней два, то а!=0
Условия а>0,f(M)<0 и а<0,fМ>0 эквивалентны неравенству af(M)<0.
Правило 4. 2
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два корня x1=М< x2
(x1 <М= x2) тогда и только тогда, когда fM=0х0>М,, ( fM=0,х0<М. ), где х0=-b/2a.
Условия а>0,fM=0, х0>М, и а<0,fM=0,х0>М,эквивалентны системе fM=0х0>М. , где х0=-b/2a.
Правило 5. 1
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 >М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>0. х0>М,
Чтобы уравнение (1) имело разные корни потребуем D>0. Так как оба корня по построению должны быть больше М, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, больше М, х0>М.
Ордината вершины: при а>0 f(x0)<0,при а<0 f(x0)>0=> аf(x0) <0 в силу того, что мы потребовали существование корней. Поэтому если, кроме того, потребовать выполнения условия: при а>0 fМ>0, при а<0 f(M)<0 => af(M)>0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка х1∈(М;х0) такая, что f(x1)=0. Очевидно, что это меньший корень уравнения. Итак, собирая все условия вместе, получим систему из правил D>0, х0>М,af(M)>0.
Правило 5. 2
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 >М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>0. х0>М,
Правило 5. 3
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 >=М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>=0. х0>М,
Правило 5. 4
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 >=М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>=0. х0>=М,
Правило 6. 1
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 <М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>0. х0<М, где х0=-b/2a.
Чтобы уравнение (1) имело разные корни потребуем D>0. Так как оба корня по построению должны быть меньше М, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, меньше М, х0<М.
Ордината вершины: при а>0 f(x0)<0,при а<0 f(x0)>0=> аf(x0) <0 в силу того, что мы потребовали существование корней. Поэтому если, кроме того, потребовать выполнения условия: при а>0 fМ>0, при а<0 f(M)<0 => af(M)>0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка х2∈х0,Мтакая, что f(x2)=0. Очевидно, что это больший корень уравнения. Итак, собирая все условия вместе, получим систему из правил D>0, х0<М,af(M)>0. где х0=-b/2a.
Правило 6. 2
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 <М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>0. х0<М,
Правило 6. 3
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 <=М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>=0. х0<М,
Правило 6. 4
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 <=М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>=0. х0<=М,
Правило 7. 1
Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х1 9 а>0f(m)<0f(M)<0 и а<0f(m)>0f(M)>0 , тогда af(m)<0,af(M)<0. Правило 7. 2 Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х1=m Правило 7. 3 Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х1 Правило 8. 1 Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х1 * а>0,fm<0,fM>0 и а<0fm>0fM<0, получим afm<0,afM>0. Правило 8. 2 Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни m а>0 , fm>0fM<0, и а<0,fm<0fM>0, получим afm>0,afM<0. Правило 9. 1. 1 Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m Правило 9. 1. 2 Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m Правило 9. 2. 1 Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m<=x1 Правило 9. 2. 2 Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m<=x1<=x2 Правило 9. 3. 1 Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m Правило 9. 3. 2 Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m Правило 9. 4. 1 Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m<=x1 Правило 9. 4. 2 Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m<=x1<=x2<=M тогда и только тогда, когда Д>=0,afm>=0,afM>=0,m<=х0<=М Правило 10 Квадратное уравнение (1) имеет один корень внутри интервала (m;M), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда fmfM<0. а>0 , fm>0fM<0, и а<0,fm<0fM>0, получим fmfM<0 Правило 11. 1 Квадратное уравнение (1) имеет единственное решение x1=x2>M тогда и только тогда, когда Д=0,х0>М. Правило 11. 2 Квадратное уравнение (1) имеет единственное решение x1=x2 Методика исследования Методы: 1)Эмпирический (изучение литературы, сбор сведений) 2) Теоретический Этапы исследования 1) Изучение и исследование материала по теме 2) Изучение проблемы 3) Обработка материала Заключение В процессе исследования была создана таблица, в которой перечислены основные случаи расположения корней квадратного трехчлена. Приведены правила, к которым даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти правила. Учащимся данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры, о расположении корней квадратного уравнения.
Комментарии