Проценты и промилле

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящён исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти», так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента (см. схему).

В учебнике Н. Я. Виленкина, В. И. Жохова, А. С. Чеснокова и С. И. Шварцбурда «Математика, 5», вышедшем в издательстве «Мнемозина» в 2003году, в рубрике «История математики» дана ещё одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, говорится, что знак % произошёл, как предполагают, благодаря опечатке. В рукописях pro centum часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращенно – cto. В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto набрал %.

После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

Приведу примеры двух задач исторического содержания:

Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернёшь мне в установленный срок 50 сестерциев и ещё 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив ещё 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернёт ростовщику?

Ответ: 140 рублей.

2. 2 Промилле.

Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от лат. pro mille – за тысячу), тысячная часть числа, обозначается ‰. (1‰ =0,001).

Со временем, люди научились извлекать из вещества его компоненты, составляющие тысячные доли от массы самого вещества. Тогда, чтобы не вводить нуль и запятую, ввели новую величину – промилле. Однако эту величину постоянно применяют лишь в некоторых областях техники. Так, содержание соли в морской воде составляет 0,25% или 2,5‰.

Задачи 1.

Сколько воды необходимо долить до 10кг раствора соли, концентрация которого 5 промилле, чтобы получить раствор концентрацией 3 промилле?

Задача 2.

Сколько необходимо смешать раствора соли концентрацией 2 промилле и раствора соли концентрацией 10 промилле, чтобы получить 800г раствора, концентрация которого 7 промилле.

Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

2. 3 Методика изучения процентов.

Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть метра – сантиметром, сотую часть гектара – аром или соткой. Принято называть сотую часть величины или числа процентом. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра, один ар – один процент гектара, две сотых – один процент от числа два.

Процентом называют одну сотую часть числа.

Для краткости слов «процент» после числа заменяют знаком %.

Предложение «В этом месяце завод перевыполнил план на 8%» читают так:

« В этом месяце завод перевыполнил план на восемь процентов ».

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина ровна 100%. Чтобы найти 1% какой либо величины необходимо эту величину разделить на 100. Чтобы найти Р% от числа, нужно это число разделить на сто и умножить на Р.

Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т. д.

Определение одного процента можно записать равенством:

1% = 0,01 * а

Каждый быстро сообразит, что 5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.

Вот какое правило получилось:

Приведем пример задачи и ее решения разными способами.

Оптовая цена товара на складе 5500 руб. Торговая надбавка в магазине составляет 12 %. Сколько стоит товар в магазине?

I способ: 12 % - это 0,12; 0,12 от 5500 руб. составляет 5500*0,12 = 660 (руб. ), поэтому товар в магазине стоит 5500 + 660 = 6160 (руб. ).

II способ: оптовая цена составляет 100 %, а цена товара в магазине на 12 % больше, т. е. она составляет 112 %; 112 % - это 1,12; 1,12 от 5500 руб.

8 составляет 5500*1,12 = 6160 (руб. ).

Пример решения задачи на проценты.

Задача №1: Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение: Так как 1200 костюмов - это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200:100=12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмов. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12*32=384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона.

Задача №2: За контрольную работу по математике 12 учеников получили отметку «5», что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение: Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого разделим 12 на 30. Так как 12:30=0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4*100=40, 40 учеников.

Задача №3: Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

Решение: Картофелем засажено 558 /1800 всего поля. Обратим дробь 558/1800 в десятичную. Для это разделим 558 на 1800. Получим 0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 31% всего поля.

Задача №4. Токарь вытачивал за 1 час 40 деталей. Применив резец из сверх прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: И так чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40.

Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Задача №5. В 5-ом классе у нас было 25 человек. По окончанию года у нас было: 16 ударников и 1 отличник. Сколько процентов составляют от всех и ударники и отличники? Во сколько процентов ударников и отличников больше, чем остальных учеников?

Решение:

1)(16+1):25*100=0,68*100=68(%)-ударников и отличников.

2)100-68=32(%)-остальные ученики.

3)68:32=2,125(в)-ударников и отличников больше.

Ответ:68; 2,125.

Задача №6. В 6-ом классе у нас 24 человека. Из них 13 девочек и 11 мальчиков. Сколько процентов девочек и мальчиков? На сколько процентов девочек больше?

Решение:

1)13:24*100=54,2(%)-девочек.

2)11:24*100=45,8(%)-мальчиков.

3)54,2-45,8=8,4(на)-девочек больше мальчиков.

Ответ:54,2; 45,8; 8,4.

Задача №7. В нашем классном кабинете мы решили поменять линолеум. I производитель линолеума «Таркетт Рус», II ОАО «Бумаш». I производитель предлагал: две полоски шириной 3м и длиной 7,8м. 1м2 стоил 140 рублей. Дополнительно надо покупать пластины стоимостью 40 рублей, а таких пластин восемь штук, но здесь нужна была одна полоска. II производитель: четыре полоски шириной 1,5м и длиной 7,8м. Один 1м2 стоит 105 рублей. Здесь нужно было три полоски. Какой линолеум выгоднее покупать и на сколько процентов?

Решение:

1)S=(2*3)*7,8;

S=46,8(м2)

2)(46,8*140)+(40*8)=6872(руб. )-стоит линолеум I производителя.

3)(46,8*105)+(320*3)=5874(руб. )-стоит линолеум II производителя.

4)5874:6872*100=85,5(%)-составляет ОАО «Бумаш» от «Таркетт Рус».

5)100-85,5=14,5(%)-выгоднее покупать ОАО «Бумаш».

Ответ: Выгоднее покупать линолеум ОАО «Бумаш» на 14,5%.

P. S. Но наши родители решили купить линолеум фирмы «Таркетт Рус», так как он соответствует всем требованиям санитарной нормы.

Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Задача. Тракторист вспахал 1,32 кв. км пашни. Это составило 60% всей площади, которую должен вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспахать?

Решение: Давайте рассуждать. Вся площадь нам не известна. Обозначим ее

10 буквой X. Мы знаем, что 60% от числа X составляет 1,32.

Значит сначала нужно заменить десятичной дробью, а затем записать уравнение X * 0,60 =1,32. Решая его, получаем, что Х = 1,32:0,60 = 2,2 (кв. км)

Что же мы сделали, чтобы найти X? Во-первых, заменили проценты десятичной дробью, во-вторых, разделили данное нам число на получившуюся десятичную дробь.

Конечно, площадь и число процентов в этой задаче могли быть другими. Но путь решения останется прежним. Значит можно сформулировать правило:

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.

Также нужно отметить, что проценты это аналог Обыкновенным дробям (1/100) из этого следует, что процентами выполняются все четыре действия, присущи обыкновенным дробям это сложение, вычитание, умножение, деление. Так что при изучении темы проценты можно опираться на уже изученную тему по обыкновенным дробям.

Мы рассмотрели задачи на нахождение процентов от числа, так же нахождения числа по его процентам. Теперь я хотела бы рассмотреть задачу на процентное отношение чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а:в)*100%.

Пример:

Задача №1: При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение: Воспользуемся правилам.

(66:60)* 100=1,1 * 100=110%

Ответ. 110%.

Задача №2. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение:

1)6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.

2)(34 * 100):40 = 85% сплава составляет медь.

Ответ. 85%.

Мы рассмотрели последнее, но не менее важное для нахождения процентов при решение задач – это нахождение процентного отношения. Сейчас рассмотрим алгоритм нахождения процентного отношения.

Так вот встречаются задачи, в которых даны два числа и нужно найти их процентное отношение, для этого нужно взять первое число назовем его а и разделим его на второе число назовем его число в , а затем результат умножим на сто процентов. То мы получим процентное отношение первого числа на второе.

( а : в ) * 100 % (*)

2. 4 Задачи на проценты для младших классов.

(надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математике, так как здесь, как и числа, так и процентное содержание. )

Задача 1: Вини-пух очень любил мед и стал разводить пчел в первый год пчелы дали 10кг меда, но Вини-пуху этого было мало. Во второй год пчелы увеличили производства меда на 10 % , но и этого было мало Вини-пуху. Он подсчитал, что ему надо примерно 13кг меда. Вопрос: сколько лет должен ждать Вини-пух, чтобы удовлетворить свои потребности при условии, что пчелы каждый год будут увеличивать производство меда на 10 %.

Решение:

Для того чтобы узнать, сколько надо ждать Вини пуху, надо узнать, сколько у него будет через год, а будет 11кг, через два года 12,1кг, и только на третий год он удовлетворит свои потребности.

Ответ: 3 года.

Задача 2: Когда Том Сойер нашел клад, он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк при 5 % годовых каждый год получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк?

Решение:

Если 5 % это 300 долларов, то 100 % будет равно 6000 долларов.

Ответ: 6000 долларов.

Специальная серия задач, посвященная трудному вопросу об увеличении на 200 %, 300 % и т. д. Нужно постепенно подводить учащихся к пониманию того, что, например, увеличение на 100 % - это то же самое, что увеличение в 2 раза и т. д. Приведем примеры:

Фирма в первый месяц выпустила 160 игрушечных автомобилей, в следующем месяце она увеличила выпуск игрушек на 200 %. Сколько игрушечных автомобилей стала выпускать фирма? Во сколько раз увеличился выпуск игрушечных автомобилей?

В связи с инфляцией стоимость проезда в городском транспорте за полгода возросла на 300 %. Во сколько раз повысилась стоимость проезда?

3. ВЫВОД

В данной работе я рассмотрела различные учебники, Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, Л. Н. Шеврин, А. Г. Гейн, И. О. Коряков и др. , потому что именно с пятого класса проценты вводятся в школьный курс. В этих учебниках я рассмотрела, как идет процесс изложения особенности изучения процентов.

Мною так же были рассмотрены интересные задачи на разные темы, которые могут встретиться.

Хочется отметить, что тема моей работы полезна и очень актуальна, тем более в наше время, когда на первое место в отношениях становится экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни. По-моему, в школах уделяется мало время на изучения темы процентов, темы промилле.

Так же можно отметить, что особое место занимают задачи связанные с экономикой, так как многие очень близко сталкиваются с этим в жизни и хотят об этом знать больше. Можно заделать вывод, что эту тему не только можно, но и нужно вводить на спец курсах по математике. А так же расширить курс изучения процентов в школьном курсе математики.

При написание данной работы я узнала много нового и интересного, и данный материал, я постараюсь использовать в дальнейшей учёбе.