Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Признаки делимости

Математика - сложная наука, требующая логического мышления, поэтому она не каждому дается.

Понятие числа возникло в глубокой древности. Еще до появления письменности люди умели называть числа, вести счет. Постепенно накапливая знания, они обучались выполнять действия над все большими и большими числами. Арабский математик Мухаммед ибн Муса, родившийся в 9 веке новой эры в среднеазиатском государстве Хорезме, в <<Книге об индийском счете>> подробно описал правила, по которым надо выполнять арифметические действия. В течение столетий ученые совершенствовали предложенные им методы вычисления. Существовало несколько десятков методов умножения и деления многозначных чисел. Выполнение этих действий считалось самым трудным делом. Людей, которые владели методами умножения и деления называли <<магистрами (мастерами) деления>>. Тяжело вздыхал купец, наблюдавший, как такой магистр выстраивает из цифр корабль (рисунок), и приговаривал: <<Трудное дело- деление>>. В итальянском языке эта поговорка сохранилась до сих пор.

Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название << арифметика>>. В настоящее время свойства чисел, действия над ними изучаются разделом математики, носящим название << теория чисел>>. Основной объект теории чисел - натуральные числа. Натуральные числа - это числа, которые нам нужны для счета предметов. Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, - это делимость. Во все времена человека поражало, что на простые вопросы о числах так трудно найти ответ. Поиски этих ответов часто приводили к открытиям, значения которых далеко превосходят рамки теории чисел.

1. 2. Признаки делимости чисел

Для выяснения делимости одного числа на другое число имеется довольно много разнообразных способов. Один из них состоит в непосредственном делении числа a на число b. Такое деление слишком долгое и утомительное, поэтому математики нашли способы быстрого выявления делимости чисел. Их называют признаками делимости. Признак делимости это не формула, не теорема, не определение, а некоторый процесс. * С некоторыми признаками делимости мы познакомились на уроках математики.

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению в <<столбик>>. Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие:

> Признак делимости на 2 Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2. Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся на 2- нечетным.

Например, число 52738 делится на 2,так как последняя цифра 8- четная; 7891 не делится на 2, так как 1- цифра нечетная; 1250 делится на 2,так как последняя цифра нуль.

> Признак делимости на 5 Натуральное число делится на5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Например. 240 делится на 5(последняя цифра о); 554 не делится на 5 (последняя цифра 4).

> Признак делимости на10, 100, 1000 Натуральное число делится на10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра нуль, на 100- только те, у которых две последние цифры нули, на 1000- только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры. 8200 делится на 10 и на 100; 542000 делится на10, 100, 1000.

> Признак делимости на 3 Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

> Признак делимости на 9 Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Примеры. Число 17835 делится на3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1+7+8+3+5=24 делится на 3 и не делится на 9. Число 106499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр 1+0+6+4+9+9=29 не делится ни на 3,ни на 9. Число 52632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

> Признак делимости на 4 Натуральные числа, содержащее не менее трех цифр, делятся на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Доказательство: Возьмем некоторое четырехзначное число abcd и представим его в виде суммы разрядных единиц; abcd=1000a+100b+10c+d. Так как число 1000, 100 делятся на 4, то делится на 4 и сумма 1000a+100b. Значит, двузначное число 10c+d делится на 4, то и число abcd делится на 4;если же 10c+d не делится на 4,то и abcd, не делится на 4.

Например, число 15436 делится на 4, так как число 36 делится на 4. Число372514 не делится на 4,так как 14 не делится на 4.

Изучая дополнительную литературу по математике, мы выяснили, что существуют и другие признаки делимости чисел. Вот некоторые из них.

> Признак делимости на 8 Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях - не делится.

Примеры. 120 000 делится на (три нуля на конце); 170 004 не делится на 8(три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8); 111 120 делится на 8(три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).

> Признак делимости на 25 На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25(т. е. числа оканчивающиеся на 00,25, 50 или 75). Другие не делятся.

Пример. 7150 делится на 25 (оканчивается на 50). 4855 не делится на25.

> Признак делимости на 11 На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11.

Примеры. Число 103 785 делится на 11,так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9+6+6+7=28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1+3+2=6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4+1+2=7 и 6+0+5=11 не равны друг другу, а их разность 11-7=4 на 11 не делится.

Я. И. Перельман в своей книге <<Живая математика>> раскрывает еще один признак делимости на 11, весьма удобный для практических надобностей. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и грани эти складывают как двузначные числа. Если полученная сумма делится на 11, то и испытуемое число кратно11.

Рассмотрим три примера.

1) Число 154. Разбиваем на грани: 1-54. Складываем:1+54=55. Так как 55 кратно 11, то и 154 кратно 11. 154:11=14

2) Число 7843. Разбиваем на грани: 78-43. Складываем их: 78+43=121. Эта сумма делится на 11, значит, делится и испытуемое число.

3) Число 4 375 632. Разбиваем на грани, складываем:4+37+56+32=129. Полученное число так же разбиваем на грани и складываем их:1+29=30. Число это не кратно 11, значит, не делится на 11 и число 129,а, следовательно, и первоначальное число 4 375 632.

Признаки делимости на составные числа

Натуральное число называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Например, число 17 простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 17. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух делителей. Числа 6, 8, 12,36. -составные. Числа называются взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен 1.

А как узнать, не производя деления, делится ли число на 6? на 12? на30? Можно предположить, что число будет делиться на 6, если оно делится на 2 и на3, но это предположение нуждается в доказательстве.

> Признак делимости на 6 Для того чтобы число Х делилось на 6,необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Доказательство. Пусть число Х делится на 6. Тогда из того, что Х делится на 6 и 6 делится на 2, следует, что Х делится на 2, а из того, что Х делится на 6 и 6 делится на 3, следует, что Х делится на 3.

Например,126 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3.

> Признак делимости на12 Для того чтобы число Х делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.

Доказательство этого признака аналогично предыдущему.

> Признак делимости на15 Для того чтобы число Х делилось на 15,необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 5.

Список признаков делимости на составные числа можно продолжить. Их обобщением является следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы натуральное число делилось на составное число n=bc,где числа b и c таковы, что НОД(b,c)=1,необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на b и c.

1. 3. Признаки делимости суммы и произведения

Теорема 1: Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число (теорема о делимости суммы).

Например, 10+4=14 число 10 делится на 2 и число 4 делится на 2, значит и число 14 должно делиться на 2.

Но существуют исключения.

1) Например, сумма 37+19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4.

2) Если все слагаемые кроме одного, делятся на некоторое число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 4+3+6 не делится на 2,потому что слагаемое 3 не делится на 2.

Теорема 2: Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число (теорема о делимости произведения).

Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение 105∙48∙93∙54 делится на 5, так как 105 делится на 5.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

Эта тема интересна не только ученым-математикам и школьникам, но и людям творческих профессий. Наш местный поэт Л. Е. Долгов сочинил стихи

Вывод по главе 1

На основе анализа используемой литературы мы выяснили, что в некоторых случаях, не производя деления натурального числа, а на натуральное число b, можно ответить на вопрос: выполнимо деление, а на b без остатка или нет? Ответ на этот вопрос можно получить с помощью различных признаков делимости. Мы узнали, что их существует много. Они разные. А также нам стало известно, что делимость чисел - это главный вопрос в теории чисел, а теория чисел - это наука, в которой еще много неисследованных интересных вопросов.

Глава 2. Практическая часть

2. 1. Анализ анкетирования школьников

Вначале мы провели анкетирование ребят из 6-9 классов. По результатам анкетирования выяснили, что 60 % ребят знают признаки делимости на 2, 3, 9, 5, 10; 22 % ребят забыли эти признаки; 18% не знают ничего; 100% ответили, что хотели бы узнать больше о признаках делимости чисел, так как, по их мнению, эти знания им пригодятся.

2. 2. Решение задач

Результаты анкетирования натолкнули нас на мысль найти интересные и занимательные задачи по этой теме. Задач оказалось много. Мы классифицировали их по различным признакам . И некоторые из них решили на математическом кружке.

Задачи-загадки

1) Младший брат Смекалкина захотел придумать задачи- загадки. Вот что он придумал: <<Восстановите пропущенные цифры в следующих числах, делящихся на 3: 35*, 1*2, *71>>.

Смекалкин объяснил брату, что его загадки отгадать нельзя, потому что для каждого из этих чисел можно указать несколько цифр, с которыми оно будет делиться на 3. Для каждого числа укажите все возможные такие цифры.

Решение.

Рассмотрим число 35*, для того, чтобы оно делилось на 3,нужно чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3. Поэтому вместо звездочки надо подставить следующие цифры 1; 4; 7 (3+5+1=9; 3+5+4=12; 3+5+7=15; числа 9; 12; 15 делятся на 3)

Рассмотрим число 1*2, для того, чтобы оно делилось на 3,нужно чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3. Поэтому вместо звездочки надо подставить следующие цифры 3; 6; 9 (1+2+3=6; 1+2+6=9; 1+2+9=12; числа 6; 9; 12 делятся на 3). Другие подставить нельзя, так как они в сумме с цифрами 1 и 2 дают числа не делящиеся на3.

Рассмотрим число *71, для того, чтобы оно делилось на 3,нужно чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3. Поэтому вместо звездочки надо подставить следующую цифру 1 (1+7+1=9, число 9 делится на 3). Другие подставить нельзя, так как они в сумме с цифрами 1 и 2 дают числа не делящиеся на 3.

Для числа 35* ответ: 1;4;7. Для числа 1*2 ответ: 3;6;9. Для числа *71 ответ 1.

2) Трехзначное число с первой цифрой 1 делится на 9 и на 5, но не делится на 2. Угадайте его.

Решение. Чтобы число 1** делилось одновременно на 9 и на5 нужно, чтобы выполнялись оба признака делимости. Если число делится на 5, значит, оно должно оканчиваться на 0 или на 5, а чтобы оно делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Рассмотрим числа вида 1*0 и 1*5.

Чтобы число 1*0 делилось на 9 надо вместо звездочки поставить цифру 8,т. к. 1+8+0=9. Все остальные цифры подставить нельзя, потому что в сумме с 1 и 0 они дают числа, неделящиеся на 9.

(1+1+0=2; 1+2+0=3; 1+3+0=4; 1+4+0=5; 1+5+0=6; 1+6+0=7; 1+7+0=8; 1+7+0=8; 1+9+0=10) Но число 180 делится на 2(так как оно оканчивается на 0).

Чтобы число 1*5 делилось на 9 надо вместо звездочки поставить цифру 3,т. к. 1+3+5=9. Все остальные цифры подставить нельзя, потому что в сумме с 1 и 5 они дают числа, неделящиеся на 9.

(1+1+5=7; 1+2+5=8; 1+0+5=6; 1+4+5=10; 1+5+5=11; 1+6+5=12; 1+7+5=13; 1+8+5=14; 1+9+5=15) Число 135 не делится на 2,потому что оканчивается на нечетную цифру 5.

Ответ: 135.

3) Трехзначное число с первой цифрой 7 делится на 9, на 5, и на 2. Угадайте его.

Решение. Чтобы число 7** делилось одновременно на 9, на5 и на 2 нужно, чтобы выполнялись 3 признака делимости. Если число делится на 5, значит, оно должно оканчиваться на 0 или на 5, а чтобы оно делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Так как оно делится еще и на 2, значит, на конце не должна стоять цифра 5. Рассмотрим число вида 7*0.

Чтобы число 7*0 делилось на 9 надо вместо звездочки поставить цифру 2,т. к. 7+2+0=9. Все остальные цифры подставить нельзя, потому что в сумме с 7 и 0 они дают числа, неделящиеся на 9.

(7+0+0=7; 7+1+0=8; 7+3+0=10; 7+4+0=11; 7+5+0=12; 7+6+0=13; 7+7+0=14; 7+8+0=15; 7+9+0=16)

Ответ: 720.

Задача-шутка

Клоун предложил публике загадку: <<Я задумал число, которое делится на

10 и не делится на 2. Какое число я задумал?>> Публика смеялась: всем было ясно, что числа с таким свойством нет. Объясните почему.

Решение. Клоун не знает признака делимости чисел на 2. Если число делится на10, значит, оно оканчивается на 0, а числа, оканчивающееся на 0 тоже делятся на 2.

Исторические задачи <<Странствие по средним векам>>

1) Когда жил Ян Гус?

Ян Гус был профессором и ректором Пражского университета. Он прославился не только как ученый-богослов, но и как проповедник. Страстно обличал злоупотребления и моральный упадок католического духовенства, засилье немцев, выступал за чешскую национальную и культурную независимость. Папа Римский потребовал, чтобы Ян Гус явился на церковный Собор. Гус приехал. От него потребовали отречься от своих взглядов. Но проповедник отказался поступить против своей совести. Тогда Собор приговорил его к сожжению.

Год рождения Яна Гуса - это число 137*. Оно кратно трем и наименьшее из возможных. Год казни 14**. Это число кратно пяти, но не кратно десяти и является наименьшим из возможных, если принять, что проповедник был человеком зрелого возраста, т. е прожил не менее 40 лет.

Решение.

Рассмотрим число 137*, оно кратно трем, а это значит, что сумма его цифр делится на 3. Вместо звездочки можно подставить следующие цифры 1; 4 и 7. Остальные цифры подставить нельзя, потому что получатся числа, которые не будут делиться на 3(1+3+7+2=13; 1+3+7+3=14; 1+3+7+5=16; 1+3+7+6=17; 1+3+7+8=19; 1+3+7+9=20).

Подставим цифры 1;4;7 и получим числа 1371; 1374 и 1377, они делятся на 3,т. к. сумма их цифр делится на 3(1+3+7+1=12; 1+3+7+4=15; 1+3+7+7=18). Число 1371 наименьшее. Итак, год рождения Яна Гуса- 1371 год.

Рассмотрим число 14**, оно делится на 5, но не делится на10. Это значит, что данное число, оканчивается только на 5. Надо рассмотреть число 14*5. Вместо звездочки можно подставить цифры 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Получим числа 1405;1415;1425;1435;1445;1455;1465;1475;1485;1495. Наименьшее из них число 1405. Найдем возраст Яна Гуса: 1405-1371=34 года, но это число меньше 40, значит, число 1405 не является ответом.

Следующее за этим числом, число 1415. Найдем разность чисел 1415 и 1371(1415-1371=44). Число 44 больше числа 40, это удовлетворяет условию задачи. Значит год казни 1415 год.

Ответ: 1371 -1415.

Задача - сказка

Три поросенка Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф собрали в лесу желуди и решили разделить их поровну. Ниф-Ниф собрал 100 желудей, Наф-Наф - 88, Нуф-Нуф - 127. Удастся ли поросятам разделить желуди поровну?

Решение.

100+88+127=315( жел. ) собрали поросята всего.

Число 315 кратно 3,потому что 3+1+5=9, 9 делится на 3(признак делимости на 3)

Ответ: Удастся.

2. 3. Задачи собственного сочинения

На делимости признаки

Разгадаю задачку, загадку,

Путь в науку не призрачен,

Путь в науку пятерки в тетрадках.

1. В школу привезли 5 компьютеров. Узнайте, сколько стоит один компьютер, если стоимость всех равна 6615* рублей, известно, что это число делится на10.

Решение:

Если число 6615* делится на 10,это значит, что оно оканчивается на 0. Поэтому стоимость всех равна 66150 рублей.

66150: 5= 13230(руб. ) стоит один компьютер

Ответ: 13230 рублей.

2. Однажды я, папа, мама и сестра Юля отправились в лес за грибами. Папа нашел в лесу 44 гриба, мама на 10 грибов больше, а мы с сестренкой в 2раза меньше, чем родители. Сколько грибов собрала вся наша семья?

Можно ли эти грибы разделить на 6 равных частей?

Решение:

1) 44+10= 54(гр. ) собрала мама.

2) 44+54= 98(гр. ) собрали папа и мама вместе.

3) 98: 2= 49(гр. ) собрали я и сестра вместе.

4) 98+ 49=147(гр. ) собрала вся наша семья.

Число 147 не делится на 6, потому что это число не делится ни на 2, ни на 3 (Для того чтобы число Х делилось на 6,необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3).

Ответ: 147 грибов; нельзя.

2. 4. Анализ повторного анкетирования

В ходе занятий мы вели наблюдения за работой ребят. А затем провели повторное анкетирование .

Результаты анкетирования таковы: 92 % ребят знают признаки делимости на 2, 3, 9, 5, 10; 8% не знают ничего; 25% ответили, что хотели бы узнать еще больше о признаках делимости чисел.

Вывод по главе 2

В ходе анализа анкет и наблюдений мы пришли к выводу, что нестандартные и занимательные задачи повышают интерес ребят и многие из них хотели бы узнать еще больше.

Современному человеку буквально на каждом шагу приходится иметь дело с числами. Поэтому мы должны уметь правильно называть и записывать любое число, а также производить над числами действия.

Работу хочется закончить словами <<учиться легко, учиться интересно!>>.

Заключение

Хотелось бы подвести некоторые итоги. Мы изучили имеющуюся литературу, познакомились с новыми признаками делимости чисел, суммы и произведения. Провели анкетирование среди учащихся 6-9 классов с целью выяснения уровня знаний по данной теме. Нашли интересные задачи, придумали свои, познакомили ребят с этими задачами на математическом кружке. Затем провели повторное анкетирование, которое показало повышение интереса к математике. Многие ребята захотели провести подобные исследования.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)