Признаки делимости простых и натуральных чисел

Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

Решая задачи и выполняя действия сложение, вычитание, и умножение, действие деление, в отличие от остальных действий, выполнить, не всегда удается (разделить нацело). Возникает необходимость предсказать – делится число нацело или нет. Поэтому в математике исследуются условия делимости, выводятся определенные правила и признаки, по которым можно определить делится ли натуральное число на другое натуральное число или нет.

Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, и 9 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признак делимости на 2, 3, и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признак Паскаля состоит в следующем:

Натуральное число, а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Например, число 2814 делится на 7, так как делится на 7.

(Здесь 6-остаток от деления 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

Общий вид признака Паскаля

Пусть есть натуральное число записываемое в десятичной системе как , где — единицы, — десятки и т.  д.

Пусть — произвольное натуральное число, на которое мы хотим делить и выводить признак делимости на него.

Находим ряд остатков по следующей схеме:

— остаток от деления на

— остаток от деления на

— остаток от деления на

— остаток от деления на.

Формально:

Так как остатков конечное число (а именно ), то этот процесс зациклится (не позже, чем через шагов) и дальше можно его не продолжать: Начиная с некоторого , где — получившийся период последовательности. Для единообразия можно принять, что.

Тогда имеет тот же остаток от деления на , что и число

В энциклопедиях признак Паскаля описывают следующим образом:

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системы счисления (обычно десятичной).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Например: 3256998 делится на 2, так как его последняя цифра 8 – четная.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке единицу).

Например: 126574 делится на 3, так как сумма его цифр 1+2+6+5+7+4 =15 делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится на 4.

Например: 3784112 делится на 4,так как последние две его цифры 12 делятся на 4.

Чтобы узнать, делится ли двузначное число на 4, можно половину единиц прибавить к десяткам — если сумма делится на 2, значит, число делится на 4. Например, 92 9 + 1 = 10 делится на 2, значит, 92 делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Например: 7894563210 делится на 5,так как последняя его цифра 0.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Например: 7128532 делится на 6,так как оно четное ( значит делится на 2) и сумма цифр 7+1+2+8+5+3+2 = 18 (значит делится на 3 ).

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Например: 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7.

Либо использовать модификацию признака деления на 1001=10³+1, которое само делится на 7.

Для того, чтобы натуральное число делилось на 7 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц) взятых со знаком «+» и чётных со знаком «-» делилась на 7.

Например: число 689255. Первая группа со знаком «+» (689), вторая со знаком «-» (255). Отсюда 689—255 = 434. В свою очередь 434 : 7 = 62.

Ещё один признак — берём первую цифру, умножаем на 3, прибавляем следующую (здесь можно взять остаток от деления на 7 от получившегося числа). И далее — сначала: умножаем на 3, прибавляем следующую и т. д. Для 364: 3 * 3 + 6 = 15. Остаток — 1. Далее 1 * 3 + 4 = 7.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули, или образуют число, которое делится на 8.

Например: 77751800 делится на 8, так как последние три цифры 800 делятся на 8.

Чтобы узнать, делится ли трёхзначное число на 8, можно половину единиц прибавить к десяткам. У получившегося числа так же — половину единиц прибавить к десяткам. Если итоговая сумма делится на 2, значит, число делится на 8. Например, 952: 95 + 1 = 96, далее 9 + 3 = 12. Значит, 952 делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Например: 11265570 делится на 9,так как 1+1+2+6+5+5+7+0 =27 делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Например: 7894563210 делится на 10, так как последняя его цифра 0.

Признак делимости на 11

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Например: число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих четные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих нечетные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и б +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Например: 49456320 делится на 12, так как последние две цифры 20 ( значит делится на 4) и сумма цифр 4+9+4+5+6+3+2 = 33 (значит делится на 3).

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.

Например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13.

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Например: 947632 делится на 14, так как оно четное ( значит делится на 2) и 947 – 632 = 315 делится на 7.

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Например: 49456320 делится на 15,так как последняя цифра 0 (значит делится на 5) и сумма цифр 4+9+4+5+6+3+2 = 33 (значит делится на 3).

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17.

Например: 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17.

Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17.

Например: 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19.

Например: 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19.

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23.

Например: 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (т. е. последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75).

Например: 49456350 делится на 25,так как последние две цифры 50 делятся на 25.

Признак делимости на 50

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число оканчивается на 00 или 50.

Например: 49456350 делится на 50, так как последние две цифры 50.

Признак делимости на 99

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Например: 938520 делится на 99, так как сумма цифр 93+85+20 = 198 делится на 99.

Признак делимости на 101

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.

Признак делимости на 125.

На 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 125.

Например: число 31250 делится на 125, так как последние три цифры числа 250 делятся на 125.

Признак делимости на 2ⁿ,

Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>1)

Например: 312848 делится на 2ⁿ (п = 4), так как 2848 делится на 2ⁿ.

Признак делимости на 5ⁿ

Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Например: 3108125 делится на 5ⁿ (п = 4), так как 8125 делится на 5ⁿ.

Признак делимости на 10n − 1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n − 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n − 1.

Признак делимости на 10n

Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10n + 1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

Полезны и следующие свойства делимости.

1. Если каждое из слагаемых делится на какое-то число, то и сумма их обязательно делится на это же число.

2. Если каждое слагаемое, кроме одного делится на какое-нибудь число, а одно не делится, то сумма не делится на это число.

3. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на какое-нибудь число, то и разность разделится на это же число.

4. Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое - делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это же число.

5. Если хоть один из множителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКОВ ДЕЛИМОСТИ

1. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

Решение: число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 3. Значит, последней цифрой должна быть одна из цифр 0 и 5; осталось в каждом из этих двух случаев подобрать первую цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3.

Ответ: это можно сделать шестью способами: 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155.

2. Некоторое число делится на 4 и на 6. Обязательно ли оно делится на 24?

Решение: Число 12 делится как на 4, так и на 6, но не делится на 24.

Ответ: нет.

3. Не производя вычислений, определите, значение какого выражения делится на 2, на 7, на 10:а) 49+ 21+ 777777; б) 23(20(78; в) 50( 4( 7 + 31(778(13.

Решение. Рассмотрим первое выражение. Сумма трех нечетных слагаемых - нечетное число, т. е. на 2 не делится. Все слагаемые делятся на 7, значит, сумма делится на 7. Последняя цифра суммы равна 7 (9+1+7 =17), т. е. на 10 не делится.

Рассмотрим второе выражение. Второй множитель делится и на 2 и на 10, значит, и все произведение будет делиться на 2 и на 10. Ни один из множителей не делится на 7, значит, и произведение не делится на 7 (так как 7 – простое число).

Рассмотрим третье выражение. Первое произведение делится и на 2, и на 7, и на 10.

Очевидно, что второе произведение делится на 2 и не делится на 7, значит, и сумма делится на 2 и не делится на 7. Заметим, что последняя цифра произведения 31(778(13 не может равняться 0, значит, оно не делится на 10 и сумма тоже не будет делиться на 10.

Ответ: на 2 делятся значения выражений б) и в); на 7 - а); на 10 - б).

4. Преподаватели 6, 7 и 8 классов выстраивали детей на линейку. Когда детей попытались выстроить в четыре ряда, то осталось три бесхозных ребенка; когда выстраивали их по пять, оставалось – четыре; выстроив по шесть, остались – пять; и только, когда преподаватели додумались расставить их по семь, им это удалось. Сколько школьников получит наряд за опоздание на линейку, если известно, что в 6, 7 и 8 классах 150 учеников?

Решение. Число детей, пришедших на линейку кратно 7, но не кратно 4, 5, 6. Проверяем числа, удовлетворяющие этим условиям и меньшие 150. Таких чисел: 7, 14, 21, 49, 63, 77, 91, 98, 119, 133, 147 (числа находим, умножая последовательно 7 на числа не кратные 4, 5, 6). Проверив, какие остатки остаются при делении на 4, 5, 6 находим, что на линейке было 119 детей. Значит, наряд за опоздание на линейку получит 31 ученик.

Ответ: 31 ученик.

5. (из древнего трактата «Математика в девяти книгах») Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8, то избыток (равен) 3. Если (каждый) человек внесет по 7, то недостаток (равен) 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи.

Решение. Пусть было х людей. Тогда стоимость вещи равна 8х -3 или 7х + 4.

Решим уравнение: 8х -3 = 7х + 4, х = 7.

8(7 – 3 = 53. Было 7 человек, а стоимость вещи равна 53.

Ответ: 7 человек, стоимость равна 53.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Существует множество других признаков делимости, которые значительно сэкономят время в получении ответа на вопрос, об определении делимость числа, не прибегая к самому действию деления; исключит вычислительную ошибку, которую можно сделать при выполнении деления.