Примеры натуральных чисел, имеющих остаток от деления
Когда на уроках математики мы изучали тему «Деление с остатком», мне стало интересно, когда люди научились использовать деление и деление с остатком, кто первый ввел понятие «частное», какие еще существуют интересные задачи на деление с остатком. Где можно ими воспользоваться, и нужны ли они вообще. Обратилась с этим вопросом к своей учительнице математики, и получила предложение изучить специальную литературу по этому вопросу, а затем написать исследовательскую работу. Всё что я узнала нового о делении с остатком, изложила в своей работе.
Активно работая над темой «Деление с остатком», я столкнулась со следующими проблемами, которые и определили актуальность данной темы:
1. Деление целых чисел выполнимо не всегда.
2. Можно ли найти результат деления, даже если нацело разделить не получается?
Изучение темы «Деление с остатком» вызывает трудность у отдельных учащихся, что доказывает необходимость более детального ее рассмотрения. Таким образом, актуальность исследования данного вопроса определила постановку цели, задач, выбора объекта и предмета исследования. Исходя из этого, мною была поставлена цель исследования: рассмотреть теорию деления с остатком и применить ее на практике. Для достижения поставленной цели мне необходимо было решить следующие задачи:
1. Изучить историю деления чисел;
2. Выявить трудности при делении с остатком;
3. Изучить Алгоритм Евклида и его связь с делением с остатком;
4. Рассмотреть примеры деления натуральных чисел с остатком.
Объект исследования: общее действие деление с остатком.
Гипотеза: задачи на деление с остатком развивают логическое мышление.
Методы исследования: анализ литературы, выполнение практических заданий на деление с остатком, сравнение и обобщение полученных результатов.
Практическая ценность работы: Данную работу можно применять в методической работе учителей математики; при изучении темы «Деление с остатком» предлагается использовать отдельные главы.
Глава I. Исторические сведения.
1. 1 «Трудное дело – деление».
Зажигая привычным движением спичку, мы иной раз еще задумываемся над тем, каких трудов стоило добывание огня нашим предкам, даже не очень отдаленным. Но мало кто подозревает, что и нынешние способы выполнения арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату. Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счетного дела.
Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления - последнее всего больше. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, твердо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия. И все эти приемы умножения - «шахматами, или органчиком», «загибанием», «по частям, или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом» и прочие, а также все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после продолжительной практики. Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения и деления многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна. «Трудное дело - деление» гласила старинная латинская поговорка; оно и в самом деле было трудно, если принять во внимание утомительные методы, какими выполнялось тогда это действие. Нужды нет, что способы эти носили подчас довольно игривые названия: под веселым названием скрывался длиннейший ряд запутанных манипуляций.
Что же такое деление? Деление – действие обратное умножению; заключается в нахождении одного из двух сомножителей. Для обозначения деления употребляют знаки двоеточия или горизонтальной (иногда наклонной) черты. Знак двоеточия введен Леонардо Пизанским (1202), горизонтальной черты – У. Джонсом (1633). Термины «деление», «делитель», «делимое» употребляются впервые в конце 10 века у Герберта, «частное» - в 1202 у Леонардо Пизанского. Соответствующие термины ввел Л. Ф. Магницкий (1703). Деление целых чисел выполнимо не всегда.
От точного деления, которое до сих пор рассматривалось, отличается деление с остатком. Это по существу совершенно особая операция, отличная от деления в определенном выше смысле. Эта операция всегда осуществима и всегда однозначна.
Глава II. Общее действие – деление с остатком.
2. 1. Определение деления с остатком.
Определение остатка, принятое для натуральных чисел, переносится на случай, когда делимое является целым числом, а делитель натуральным числом.
Целое число r называют остатком от деления цело числа a на натуральное число b , если разность a r делиться на b и 0 ≤ r < b.
Обозначив частное от деления a-r на b буквой g, получим, что a-r = bg.
Отсюда a= bg + r, где 0 ≤ r < b.
например: -13 = 5 * (-3) +2, причем 0 ≤ 2 < 5.
Частное от деления числа -13 на 5 равно -3, а остаток равен 2.
При решении задач широкое применение находит следующее утверждение:
Для любого целого числа а и натурального b существует единственная пара целых чисел g и r, таких, что a = bg +r, где 0 ≤ r < b
В справедливости этого утверждения можно убедиться, обратившись к координатной прямой. Пусть на координатной прямой отмечены числа кратные b. Они разбивают координатную прямую на отрезки, концами которых являются точки с координатами bg и b(g+1), где g- целое число. Длина каждого из этих отрезков равна b. Произвольное число а изображается точкой, которая либо совпадает с левым концом отрезка, ограниченного точками с координатfми bg и b(g+1), либо находится внутри этого отрезка. В первом случае а = bg, т. е. а = bg+0, а во втором а = bg +r , где 0 ≤ r < b.
Таким образом, в любом случае найдется единственная пара целых чисел g и r , такая, что а = bg + r , где 0 ≤ r < b.
3. 2. Алгоритм Евклида.
Если а ≥ b > 0 и r –остаток от деления а и b, то
(а, b) = (b, r).
Другими словами, наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен наибольшему общему делителю меньшего из них и остатка от деления большего на меньшее.
Рассмотрим применение алгоритма Евклида, а затем попробуем найти его обоснование.
Вычислим (11395, 6665) – наибольший общий делитель чисел 11395 и 6665. Из равенства 11395 = 1· 6665 + 4730 следует, что 4730 есть остаток от деления 11395 и 6665. Поэтому
(11395, 6665) = (6665, 4730).
Остаток от деления 6665 на 4730 равен 1935, поэтому
( 6665, 4730) = (4730, 1935).
Остаток от деления 4730 на 1935 равен 860, поэтому
( 4730, 1935) = (1935, 860).
Остаток от деления 1935 на 860 равен 215, поэтому
( 1935, 860) = (860, 215).
Остаток от деления 860 на 215 равен 0, 860 = 4 · 125, поэтому
( 860, 215) = (215, 0).
Выше мы отмечали, что для любого натурального числа, а справедливо равенство (а, 0) = а. Значит, (215, 0) = 215, и из приведенных выше равенств следует, что (11395, 6665) = 215.
2. 3. Примеры натуральных чисел, имеющих остаток от деления.
Докажем, что если целые числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число аb-1 делится на 3.
По условию числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю. Значит, либо а = 3k +1 и b = 3p+1, либо а = 3k+2 и b= 3p+2, где k и p –целые числа.
В первом из этих случаев имеем a b - 1= (3k+1) (3p+1)-1 = 9kp+3p+3k+1-1 = 9kp+3p+3k = 3 (3kp+p+k).
Во втором случае имеем a b - 1 = (3k+2) (3p+2)-1 = 9kp+6p+6k+4-1 = 9kp+6p+6k+3 = 3 (3kp+2p+2k+1).
Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев число аb-1 делится на 3.
Упражнения для самостоятельного решения.
1. Найдите наибольшее целое отрицательное число, которое при делении дает остаток 1.
2. При делении целого числа а на 12 получается остаток 5. Какой остаток получится при делении этого числа на 4?
3. Найдите целое число, которое как при делении на 5, так и при делении на 7 дает остаток 1, причем первое частное на 4 больше второго
Заключение.
Работая над темой «Деление с остатком» я выяснила, что деление целых чисел, выполнимо не всегда. Поэтому целесообразно наряду с действием деления рассматривать и другое, более общее действие, которое всегда выполнимо, а в случае выполнимости действия деления, по существу, совпадает с ним. Таким действием является деление с остатком. Даже если одно натуральное число делится на другое без остатка, условились считать, что остаток равен нулю.
Комментарии