Применение теорем Чевы и Менелая

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Таким образом, если в треугольнике АВС X, Y и Z- точки, лежащие на сторонах ВС, СА, АВ соответственно, то отрезки АX, ВY, СZ являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы, который в 1687 году опубликовал следующую очень полезную теорему:

Если три чевианы АX, ВY, СZ ( по одной из каждой вершины ) треугольнка АВС конкурентны, то

Когда мы говорим, что три прямые ( или отрезка ) конкурентны, то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Р.

Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

( Ссылаясь на рисунок, мы имеем

Теперь, если мы перемножим их, то получим

Теорема Менелая:

Пусть точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ, точка В1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки А1,В1 иС1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).

Задача 1.

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: отношение

Решение. По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. Пусть МА = АС = b,

BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая

Ответ:2:3.

Задача 2.

Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение. Пусть BD = DC = a, KD = m; тогда AK = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС.

Необходимо найти отношение

Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей PB имеем:

Ответ: 3:2.

Задача 3.

В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4.

А1 ,В1и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС,АС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР:РА1.

Решение. Пусть С1В = x, тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введем обозначения : ВА1=ВС1=х, А1С = СВ1= 5-х, АВ1= АС1= 8-х.

Так как АС=4

8-x+5-x=4,

Значит,

В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

Ответ: 70:9.

Задача 4.

В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1 – точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q – точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение ВQ:QB1.

Решение. Треугольник АВС – разносторонний, значит, точка В1 не совпадает с точкой касания.

1. Пусть С1В = x,тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введём обозначения:

( 13-x ) + ( 12-x ) = 9, x = 8.

Значит, С1В = 8, АС1 = 5.

2. По формуле Герона

3. Из треугольника АВВ1( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ1 =

4. В треугольнике АВВ1 прямая СС1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

Ответ: 162:35.

Задача 5.

Стороны треугольника 5,6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Решение. Пусть в треугольнике АВС, АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Необходимо найти АО:ОD. Так как AD – биссектриса треугольника АВС, то то есть BD = 5k, DC = 6k.

Так как BF – биссектриса треугольника АВС, то то есть AF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC. По теореме Менелая

Ответ: 11:7.

Задача 6.

Биссектрисы BF и AD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если

Решение. Пусть АВ = a, тогда АС =

АD- биссектриса треугольника АВС, тогда то есть BD = 2p,DC = 3p.

ВЕ – биссектриса треугольника АВС, тогда

В треугольнике ВЕС прямая АD пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая то есть EQ = 9m,QB = 14m.

Треугольники QBD и EBC имеют общий угол, значит,

Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведённые из вершины В, значит, тогда

Ответ: 115:16.

Задача 7.

В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние. Найдите длину стороны АВ.

Решение. 1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведённую из вершины В. тогда

2. Прямая КС пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая то есть BQ = 4p, QL = p.

3. Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит, тогда

4. тогда

Итак, АВ = 4.

Ответ: 4.

Задача 8.

В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК:ВК = 1:2, CL:BL = 2:1. Q – точка пересечения отрезков AL и CK. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение. В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая 1)

В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая 2) то есть МС = 4p, AM =p.

2. Ещё раз перепишем равенство (1):

то есть MQ = 2l, QB = 5l.

3. Треугольники BQC и MBC имею общий угол, значит, тогда

4. Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведённые из вершины В, значит,

Ответ: 1,75.

Задача 9.

На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К, АК = 1, КС = 3.

На стороне АВ взята точка L. AL:LB = 2:3. Q – точка пересечения прямых ВК и CL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В.

Решение. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC. По теореме Менелая то есть LQ = 1p, QC = 5p.

1) Треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,

2) Треугольники АВС и ALC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, значит,

Ответ: 1,5.

Задача 10.

Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника QMCD.

Решение. так как СО – медиана треугольника BCD, значит, делит треугольник BCD на два равновеликих треугольника.

1) МА пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ВОС, значит, по теореме Менелая откуда

2) Треугольники BQM и BOC имеют общий угол, значит

Задача 11.

В трапеции ABCD с основанием AD и ВС через середину А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке Е и боковую сторону CD в точке К, причем BE:ED = 1:2 и CK:KD = 1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции.

Решение. Пусть ВC = a, AD = b. Необходимо найти

Пусть Q – точка пересечения прямых ВС и АК.

1) По теореме Менелая для треугольника BCD и секущей AQ имеем

2) ( по двум углам ), тогда

Так как a =BC, b = AD,то

Ответ: 1:4.

Задача 12.

На стороне NP квадрата MNPQ взята точка А, а на стороне PQ – точка В так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков МА и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Решение. Проведём прямую Ав. Пусть она пересекает MQ в точке F. Пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D.

тогда откуда тогда откуда

Из треугольника APB ( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ =

Из треугольника QBF (прямоугольного ) по теореме Пифагора BF =

Из треугольника AFM по теореме Менелая

Ответ: 25:4.

Основные выводы:

1. Для решения задач необходимо научиться находить на рисунке треугольник, удовлетворяющий теореме Менелая.

2. При составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали.

Значимость данной работы:

При решении задач ( в работе их представлено 12 ) мы пришли вывод, что:

А) теоремы Чевы и Менелая позволяют легко и изящно решать целый класс задач;

Б) наша работа может быть использована для проведение практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену.