Применение следствий к решению задач
В прошлом году девятиклассники на итоговой экзаменационной аттестации выполняли тест, в котором встретилось задание с параметром. 30% учащихся набрали 6 баллов из 6, 31% 5 баллов из 6 и 39% набрали 0 баллов.
Этот факт подчеркивает актуальность моей темы.
Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестные величины, содержат другие буквы, которые называются параметрами. Параметр-это тоже переменная величина. Термин «параметр» происходит от греческого слова (параметрон), означающего «отмеривающий».
В отличии от уравнения с двумя переменными f(x,a)=0, где требуется найти все пары чисел (x;a), удовлетворяющие этому уравнению, уравнение f(x,a)=0 с параметром a ставит задачу- указать те значения параметра a, при которых это уравнение имеет решения (относительно неизвестной x), и для каждого такого значения a указать (зависящее от a ) множество решений этого уравнения.
Уравнение (неравенство) с параметром a- это краткая запись целого семейства уравнений, получающихся из него подстановкой конкретных значений параметра.
Довольно часто про параметр заранее известно, что он может принимать значения только из определенного внешними по отношению к уравнению обстоятельствами (например, его физическим смыслом) множества, которые называют областью изменения параметра.
Исследование уравнений (неравенств) с параметром - это искусство. Главное в нем - умение отметить, на какие подмножества нужно разбить область изменения параметра, чтобы на каждом из них свойства уравнения (неравенства) были в каком-то смысле одинаковыми, а на разных - разными. Для линейных уравнений (неравенств) ax=b (ax v b) таким разбиением является представление области изменения параметра a в виде {a≠0}U {a=0}- для уравнения и {a<0} U {a=0} U {a>0} для неравенства.
Теоретическая часть
Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2+bx+c и коэффициентами существуют соотношения:
При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.
Теорема 1
Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: , >0, при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие: >0, и оба корня будут отрицательными, если <0.
Пример 1
При каких вещественных a корни уравнения x2-3ax+a2=0 таковы, что сумма их квадратов равна 7/4?
Решение
1. По теореме Виета x1+ x2=3a, x1x2=a2.
2. x12+x22=7/4 или (x1+x2)2-2x1x2=7/4.
Сделаем подстановку и получим:
(3a)2-2a2=7/4.
Ответ: a=+0,5;-0,5.
Теорема 2
Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:
>0, <0, при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если >0 если же <0, то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.
Пример 2
Установить, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей?
Решение:
1. Согласно теореме Виета
2. Отсюда: х12+х22=(х1+х2)2-2х1х2=а2-2(а-1)=(а-1)2+1.
Сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей при а-1=0, т. е. при а=1.
1. При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.
2. Пусть f(x)=ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2, а x0 – какое-нибудь действительное число. Тогда:
Теорема 3
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число x0 (т. е. лежали на координатной прямой левее, чем точка x0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 1):
Пример 3
Найти все те значения параметра c, при которых оба корня квадратного уравнения x2+4cx+(1-2c+4c2)=0 действительны и меньше, чем -1.
Решение
1. Здесь a=1>0
2. Применяя теорему 3, составим систему:
Решая эту систему, находим с >1
Теорема 4
Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем число x0 , а другой больше числа x0,(т. е. точка x0 лежала бы между корнями) необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 2):
Пример 4
При каких значениях k один из корней уравнения (k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение
1. Здесь a=k2+k+1>0 при всех k.
2. Согласно теореме 4 имеем условие f(x0)<0, т. е. k2+k+1+2k-3+k-5<0.
3. Решая неравенство, находим, что -2-< k < -2+
Теорема 5
Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число x0 (т. е. лежали на координатной прямой правее, чем число x0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):
Пример 5
При каких значениях a корни квадратного трехчлена (2-a)x2-3ax+2a действительны и оба больше 0,5?
Решение:
1. Используя данную теорему 5, получим две системы неравенств: a) б)
2. Решая систему (а), находим: 16/17<а<2, вторая система (b) решений не имеет.
1. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой выражение (ax02+bx0+c).
2. Приведем наиболее часто встречающиеся следствия из этих утверждений.
Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М , но меньше, чем число А(М<А), т. е. лежали на интервале между М и А, необходимо и достаточно (рис. 4):
Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М< а), необходимо и достаточно (рис. 5):
при этом меньший корень вне отрезка MA.
Чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М< A), необходимо и достаточно (рис. 6):
при этом больший корень лежит вне отрезка MA
Комментарии