Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Применение следствий к решению задач

В прошлом году девятиклассники на итоговой экзаменационной аттестации выполняли тест, в котором встретилось задание с параметром. 30% учащихся набрали 6 баллов из 6, 31% 5 баллов из 6 и 39% набрали 0 баллов.

Этот факт подчеркивает актуальность моей темы.

Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обозначающих неизвестные величины, содержат другие буквы, которые называются параметрами. Параметр-это тоже переменная величина. Термин «параметр» происходит от греческого слова (параметрон), означающего «отмеривающий».

В отличии от уравнения с двумя переменными f(x,a)=0, где требуется найти все пары чисел (x;a), удовлетворяющие этому уравнению, уравнение f(x,a)=0 с параметром a ставит задачу- указать те значения параметра a, при которых это уравнение имеет решения (относительно неизвестной x), и для каждого такого значения a указать (зависящее от a ) множество решений этого уравнения.

Уравнение (неравенство) с параметром a- это краткая запись целого семейства уравнений, получающихся из него подстановкой конкретных значений параметра.

Довольно часто про параметр заранее известно, что он может принимать значения только из определенного внешними по отношению к уравнению обстоятельствами (например, его физическим смыслом) множества, которые называют областью изменения параметра.

Исследование уравнений (неравенств) с параметром - это искусство. Главное в нем - умение отметить, на какие подмножества нужно разбить область изменения параметра, чтобы на каждом из них свойства уравнения (неравенства) были в каком-то смысле одинаковыми, а на разных - разными. Для линейных уравнений (неравенств) ax=b (ax v b) таким разбиением является представление области изменения параметра a в виде {a≠0}U {a=0}- для уравнения и {a<0} U {a=0} U {a>0} для неравенства.

Теоретическая часть

Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2+bx+c и коэффициентами существуют соотношения:

При помощи этих соотношений исследуются знаки корней.

Теорема 1

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений: , >0, при этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие: >0, и оба корня будут отрицательными, если <0.

Пример 1

При каких вещественных a корни уравнения x2-3ax+a2=0 таковы, что сумма их квадратов равна 7/4?

Решение

1. По теореме Виета x1+ x2=3a, x1x2=a2.

2. x12+x22=7/4 или (x1+x2)2-2x1x2=7/4.

Сделаем подстановку и получим:

(3a)2-2a2=7/4.

Ответ: a=+0,5;-0,5.

Теорема 2

Чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:

>0, <0, при этом положительный корень имеет большую абсолютную величину, если >0 если же <0, то отрицательный корень имеет большую абсолютную величину.

Пример 2

Установить, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей?

Решение:

1. Согласно теореме Виета

2. Отсюда: х12+х22=(х1+х2)2-2х1х2=а2-2(а-1)=(а-1)2+1.

Сумма квадратов корней уравнения будет наименьшей при а-1=0, т. е. при а=1.

1. При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

2. Пусть f(x)=ax2+bx+c имеет действительные корни x1 и x2, а x0 – какое-нибудь действительное число. Тогда:

Теорема 3

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число x0 (т. е. лежали на координатной прямой левее, чем точка x0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 1):

Пример 3

Найти все те значения параметра c, при которых оба корня квадратного уравнения x2+4cx+(1-2c+4c2)=0 действительны и меньше, чем -1.

Решение

1. Здесь a=1>0

2. Применяя теорему 3, составим систему:

Решая эту систему, находим с >1

Теорема 4

Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем число x0 , а другой больше числа x0,(т. е. точка x0 лежала бы между корнями) необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 2):

Пример 4

При каких значениях k один из корней уравнения (k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение

1. Здесь a=k2+k+1>0 при всех k.

2. Согласно теореме 4 имеем условие f(x0)<0, т. е. k2+k+1+2k-3+k-5<0.

3. Решая неравенство, находим, что -2-< k < -2+

Теорема 5

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число x0 (т. е. лежали на координатной прямой правее, чем число x0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):

Пример 5

При каких значениях a корни квадратного трехчлена (2-a)x2-3ax+2a действительны и оба больше 0,5?

Решение:

1. Используя данную теорему 5, получим две системы неравенств: a) б)

2. Решая систему (а), находим: 16/17<а<2, вторая система (b) решений не имеет.

1. Во всех вышеперечисленных соотношениях f(x0) представляет собой выражение (ax02+bx0+c).

2. Приведем наиболее часто встречающиеся следствия из этих утверждений.

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М , но меньше, чем число А(М<А), т. е. лежали на интервале между М и А, необходимо и достаточно (рис. 4):

Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М< а), необходимо и достаточно (рис. 5):

при этом меньший корень вне отрезка MA.

Чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА (М< A), необходимо и достаточно (рис. 6):

при этом больший корень лежит вне отрезка MA

Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А (М

Эта группа теорем и следствий очень часто применяется при решении задач с параметрами и поэтому имеет большое значение.

Применение следствий к решению задач

Пример 6

При каких k корни уравнения kx2-(k+1)x+2=0 будут действительными и оба по абсолютной величине меньше 1?

Решение

1. Корни уравнения должны быть действительными и удовлетворять двум неравенствам:

-1

2. Согласно следствию 1 получаем две системы неравенств для нахождения параметра k: a) b)

3. После того как решим системы, находим, что

Пример 1( 9 класс)

Постройте график функции у = f(x), где f(x) =

При каких значениях m прямая у = m имеет с графиком этой функции две общие точки?

Решение

Построим график функции

Найдем промежутки на которых две точки пересечения прямой у = m с графиком функции.

Ответ: при m = 1 и -1

Пример 2 (11 класс)

При каких значениях а число корней уравненияв четыре раза больше а?

Решение. Построим график левой части уравнения.

Проводя горизонтали у = а при различных а, получаем такую информацию о количестве точек пересечения этой горизонтали с графиком левой части:

Значения а (-;0) 0 (0;6) 6 (6;7) 7 (7; +)

Число корней (=4а) 0 2 4 5 6 4 2

Если а<0, то и 4а<0, т. е. ситуация из первого столбца невозможна. Если а=0, то и 4а=0, т. е. невозможна ситуация и из второго столбца. Аналогично перебирая все ситуации, находим, что возможна только ситуация из третьего столбца, когда 4а=4 и а=1.

Ответ: 1.

1. Для каждого действительного числа а решить уравнение:

Х2+x+a=0.

Ответ: при а<0; при а=0 х=0; при а>0 уравнение не имеет корней.

2. Определить все значения а, при которых уравнения х2+ах+1=0 и х2+х+а=0 имеют хотя бы один общий корень.

Ответ: а = 1 и а = -2.

3. При каких значениях k верно утверждение: «неравенство

(k-1)x2+(2k-3)x+k-3>0 выполняется хотя бы при одном х<1»?

Ответ: k>0,75.

4. Даны два уравнения: х2-5х+k=0 х2-7x+2k=0,(k≠0).

Определить то значение k,при котором один из корней второго уравнения вдвое больше одного из корней первого уравнения.

Ответ:2 и 3; 3 и 4.

5. Найти все действительные решения уравнения

8(х4+у4)-4(х2+у2)+1=0

6. Найти все действительные значения k, при которых квадратный трехчлен будет отрицателен для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 1

Ответ: -0,5(7+3 )≤k≤2

7. Найдите действительные значения с, при которых корни многочлена будут действительными и оба корня будут больше с.

Ответ: с<-2.

8. Найти все значения а, при которых система имеет хотя бы одно решение для любого значения b(a, b, x, y – действительные числа).

Ответ: 1.

9. Найти все значения k, при которых один корень уравнения

Находится между числами 0 и 2, а второй – между числами 3 и 5.

Ответ: 1

10. При каких k уравнение имеет единственное решение?

Ответ: k=0 или k=1\12.

11. При каких k уравнение имеет единственное решение?

Ответ: k=5.

12. При каких k уравнение к(k+3)x2+(2k+6)x=3k-9=0 имеет более одного корня?

Ответ: k=-3, или -1\30.

13. При каких а уравнения х2-а=0 и равносильны?

Ответ: а≤0.

14. Решить неравенство

(а-1)≤0.

Ответ: если а≤1, то х≥0; если а>1, то х=0.

15. При каких а неравенство

(х-а)(х-2) ≤0 имеет единственное решение?

Ответ: а=-2.

16. Решить уравнение относительно х: а) (x-5)x2+3kx-(k-5)=0; b) 4(k-1)2x+4(k-1)+

17. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (a+1)x2+2(a+1)x+a-2=0 а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня; г) имеет два отрицательных корня.

18. При каких значениях m уравнения

2x2-(3m+2)x+12=0 и 4x2-(9m-2)x+36=0 имеют общий корень?

19. Решить неравенства относительно x.

А) mx2-2(m-1)x+(m+2)<0

Б) x2-(a=1)x+a+1>0

20. При каких значениях k неравенство(k-1)x+2k+1>0 верно для всех значений x, удовлетворяющих условию ?

21. При каких значениях а неравенства удовлетворяются при всех действительных значениях x? a) ax2-2x+3>0; б) x2-9x+(a-3)2≥0

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)