Правильные невыпуклые многогранники

Многогранник - поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. В курсе геометрии даётся определение: «Выпуклый многогранник является правильным, если все его грани суть равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны». Из этого определения следует, что в правильных многогранниках равны все плоские углы, все двугранные углы и все рёбра.

Всего существует 5 видов правильных многогранников, дальше я остановлюсь на этом. ( Куб. Тетраэдр.

Октаэдр. Додекаэдр. Икосаэдр. )

То, что каждый из них выпуклый, легко проверить экспериментально: подержите в руках каждую модель и прислоните ладонь к каждой грани фигуры. Вы убедитесь, что вся фигура оказалась по одну сторону от ладони. Касаясь любой грани ладонью и мысленно проводя через ладонь плоскость, мы увидим, что эта воображаемая плоскость нигде не разрежет ни одну из рассматриваемых фигур. Это и означает, что фигура выпуклая.

2. Правильные многогранники: а) Куб.

б) Тетраэдр.

в) Октаэдр.

г) Додекаэдр.

д) Икосаэдр.

а) б) в) г)

В истории математики известный философ Платон открыл пять правильных многогранников.

Платон(427-347 г. г. до н. э. ) – древнегреческий философ.

- Под влиянием пифагорейцев признавал, что знания математики необходимо каждому образованному человеку. На дверях его «Академии» была надпись: «Пусть тот, кто не знает геометрии не входит сюда».

- Выпуклые правильные многогранники - тетраэдр, октаэдр, куб, додекаэдр и икосаэдр - принято называть «платоновыми телами», хотя он только упомянул о них в одной из своих работ (они были известны задолго до него).

- Платон сформулировал концепцию Высшей ступени развития античной атомистики для атомов пяти сущностей ( земля, огонь, воздух, вода, мировой эфир): «Земле предоставляем мы вид кубический телесный вид пирамиды должен быть у нас стихиею воздуха, а третий – воды но так как оставалось ещё одно – пятое соединение, то Бог употребил его для очертания вселенной».

Атомическая теория материи Платона привлекает внимание, исследователей нашего времени, как источник традиции приписывать Платону открытие пяти правильных выпуклых многогранников (называть правильные многогранники платоновыми телами).

Куб - один из пяти типов правильных многогранников, правильный прямоугольный параллелепипед; имеет 6 граней (квадратных), 12 ребер, 8 вершин (в каждой сходится 3 ребра).

Куб состоит из его внутренних и граничных точек. Грани куба лежат в разных плоскостях. Отдельно выделяются в пространстве плоскости, содержащие каждую из граней куба. На каждой из этих плоскостей можно рассматривать прямые, которые продолжаются неограниченно в обе стороны.

Тетраэдр - правильная треугольная пирамида; имеет 4 грани (треугольные), 6 ребер, 4 вершины (в каждой сходятся 3 ребра).

Правильный тетраэдр - это треугольная пирамида, все рёбра которой равны. Грани правильного тетраэдра - равносторонние треугольники. Из каждой вершины его выходит по три ребра.

Октаэдр - (от греч. okto — восемь и hedra — грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 8 граней (треугольных), 12 ребер, 6 вершин (в каждой сходятся 4 ребра).

Правильный октаэдр - многогранник, имеющей 8 граней, которые являются равносторонними треугольниками. Из каждой его вершины выходит по четыре ребра. В его основании находится квадрат.

Додекаэдр - (от греч. dodeka — двенадцать и hedra — грань), имеет 12 граней (пятиугольных), 30 ребер, 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра).

Икосаэдр - от греч. eikosi — двадцать и hedra — грань) ; имеет 20 граней (треугольных), 30 ребер, 12 вершин (в каждой сходится 5 ребер).

Его грани - правильные треугольники.

Идеи Платона о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-ых высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считали, что ядро земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро - додекаэдровую структуру Земли.

Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро - додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления.

Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций. Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдается максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

3. Полуправильные многогранники («архимедовы тела»):

Архимед ( ок. 287 - 212 до н. э. ) - древнегреческий математик. Физик и механик. Родился в Сиракузах.

- Автор многочисленных открытий и изобретений. Основная тема его математических работ - задача на нахождение площадей поверхности и объёмов посредством оригинального метода (разработанные Архимедом методы через 2000 лет развились в интегральное исчисление).

- Ему принадлежит открытие 13 полуправильных многогранников, каждый из которых ограничен неодноимёнными правильными многоугольниками, и в котором многогранные углы равны.

В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед рассматривает шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет их объемы. В сочинении «О спиралях» исследует свойства кривой, получившей его имя и касательной к ней. В трактате «Измерение круга» Архимед предлагает метод определения числа π, который использовался до конца XVII в. , и указывает две удивительно точные границы числа π: 3 10/71< π <3 1/7. В «Псаммите» («Исчисление песчинок») Архимед предлагает систему счисления, позволявшую записывать сверхбольшие числа, что поражало воображение современников. В «Квадратуре параболы» определяет площадь сегмента параболы сначала с помощью «механического» метода, а затем доказывает результаты геометрическим путем. Кроме того, Архимеду принадлежат «Книга лемм», «Стомахион» и обнаруженные только в 20 веке «Метод» (или «Эфод») и «Правильный семиугольник». В «Методе» Архимед описывает процесс открытия в математике, проводя четкое различие между своими механическими приемами и математическим доказательством.

АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА

4. Правильные невыпуклые многогранники:

4. Правильные невыпуклые многогранники.

Пуансо Луи (3. 01. 1777-5. 12. 1859) -французский инженер, механик и математик.

- Широко применял геометрические методы в исследовании механических проблем. Основная работа « Элементы статики» содержит учение о равновесии твёрдых тел и их систем на основе закона сложения и разложения сил и пар сил.

- Геометрические работы Пуансо касаются звёздчатых многогранников. Он указал на существование ещё двух правильных звёздчатых многогранников (в дополнение к построенным И. Кеплером). Четыре правильных невыпуклых многогранника, описанные Пуансо в 1809 г. , получили название «тела Пуансо».

5. Параллелоэдры - многогранники, которые всецело выполняют пространство, будучи равными, параллельно расположенными и смежными по целым граням. Таких многогранников всего четыре типа: кубы и продукты их однородных деформаций, гексагональные призмы с пинакоидом и продукты их однородных деформаций. Удлинённый - растянутый - ромбододекаэдр рассматривается как пятый тип. Однородные деформации - суть сдвиги и растяжения.

Открыл параллелоэдры русский кристаллограф Фёдоров

Евграф Степанович. - Являлся одним из основоположников структурной кристаллографии и минералогии, геометр, петрограф и геолог. Большое значение для развития теории многогранников как самостоятельного раздела геометрии имели его исследования кристаллографических структур.

- Разрабатывал геометрию, в которой основными элементами являются круги, сферы, векторы плоскости и другие геометрические образы.

- Ему принадлежит « Новая геометрия как основа черчения» (1907). Книги «Правильное деление плоскости и пространства» (1899), «Начала учения о фигурах» (1895), «Симметрия и структура кристаллов» составили трёхтомник избранных трудов по геометрии пространства, симметрии и структуре кристаллов в серии «Классики науки».

Сформулированные им в «Началах учения о фигурах» понятия послужили основой вывода 230 пространственных групп симметрии кристаллов - правильных систем фигур.