Дом  ->  Домашние животные  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Правила симметрии в математике

“Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” (Г. Вейль).

Приступая к этой работе, я часто задавала себе вопросы: «Почему мы находим одни вещи красивыми, а другие нет? Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее?»

Кристи Тарликтон – супермодель, признанная одной из самых красивых женщин в мире, - считает, что по большей части обязана своим успехом в качестве модели идеальной симметрии своих губ.

Все красивое радует нас. Мы невольно отмечаем про себя необычный закат, необыкновенные листья растений, строгие формы кристаллов. Когда мы рассказываем об удивительном, то мысленно еще раз созерцаем. Постепенно у нас формируется картина окружающего мира, мы находим общее в различных предметах.

Оказывается, симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Пропорция и симметрия объекта всегда необходимы нашему зрительному восприятию для того, чтобы мы могли считать этот объект красивым. Баланс и пропорция частей относительно целого обязательны для симметрии. Смотреть на симметричные изображения приятнее, нежели антисимметричные. Красота и гармония тесно связаны с симметрией, это подметили ещё древние архитекторы и художники.

Признаки симметрии встречаются в геометрических фигурах: в неорганической природе (кристаллы), в растительном мире, (расположение листьев, лепестков цветов), в животном мире (расположение некоторых наружных органов), в строительстве, искусстве (орнамент, узоры), в рукоделье (кружева, вышивки), в технике.

Симметрия — слово греческое и обозначает оно регулярную систему, гармонию между частями целого, «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.

Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях учёных прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна.

Древнегреческий философ Платон придавал особое значение правильным многогранникам, считая их олицетворением четырёх природных стихий: огонь-тетраэдр (вершина всегда обращена вверх), земля-куб (наиболее устойчивое тело), воздух-октаэдр, вода-икосаэдр (наиболее "катучее" тело). Додекаэдр представлялся как образ всей Вселенной. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона.

Греческий скульптор Поликлет, очевидно, был первым, кто использовал этот термин ещё в V в.

до н. э. Во время Пифагора и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно чётко. В то же время они смогли подвергнуть его серьёзному анализу и получить результаты универсального назначения. Вот некоторые из них:

1. Для симметрии важны равенство, однообразие и пропорциональность: однообразно

(в смысле подчинения какой-либо математической закономерности) располагая равные части, можно построить симметричную фигуру, допустим, квадрат из четырёх равнобедренных треугольников. Если же нарушить закон однообразия в расположении равнобедренных треугольников, то мы получим уже менее симметричную, в пределе – ассиметричную, фигуру.

2. Пифогорейцы выделили 10 пар противоположностей, среди них «правое» (D) и «левое» (L). Выделим важный момент в учении пифагорейцев. Диалектичность и современность: «мир – это множество, и состоит из противоположностей», «то, что приводит противоположности к единству, и создаёт всё в космосе», есть симметрия».

Симметрии геометрических тел большое значение придавали греческие мыслители эпохи Пифагора. Они считали, что для того, чтобы тело было "совершенно симметричным", оно должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. И Пифагор, вероятно, был первым, кто сделал величайшее открытие, что есть только 5 таких тел.

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно - в19 веке. В наиболее простой трактовке (по Г. Вейлю) современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к каким-то преобразованиям, выполняемым над ними.

СИММЕТРИЯ В МАТЕМАТИКЕ.

Простейшими видами пространственной симметрии являются центральная, осевая, зеркально- поворотная и симметрия параллельного переноса.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ.

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А1, симметричную ей относительно центра О, называется центральной симметрией.

Две точки- А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О- середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ.

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая а называется осью симметрии.

ЗЕРКАЛЬНО-ПОВОРОТНАЯ.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол- углом вращения.

Центральная симметрия есть поворот фигуры на 180о.

ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ.

Если при переносе плоской фигуры F вдоль заданной прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой, то говорят о переносной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, расстояние а элементарным переносом или периодом.

СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования обладают следующими свойствами:

1) отрезок переходит в равный ему отрезок;

2) угол переходит в равный ему угол;

3) окружность переходит в равную ей окружность;

4) любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т. д. ;

5) параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

Симметрия присутствует и в прошлом и в будущем. Симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии. Симметрия в живой природе: в животном и растительном мире, – передается генетически из поколения в поколение.

Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создаётся, как в технике и в искусстве, а лишь фиксируется, выражается.

СИММЕТРИЯ У РАСТЕНИЙ.

На явления симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием учения о гармонии (V век до н. э. ). В XIX веке появились единичные работы, посвящённые симметрии в растительном и животном мире. В XX веке усилиями российских учёных В Беклемишева, В Вернадского, В Алпатова, Г. Гаузе - было создано новое направление в учении о симметрии - биосимметрика, которое, исследуя симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях, позволяет заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых организмов.

Посмотрите на кленовый лист, снежинку.

Их объединяет то, что они симметричны. Если прочертить вертикальную прямую вдоль центральной прожилки листа и поставить зеркальце вдоль прочерченной прямой, то отражённая в зеркальце половинка фигуры дополнит её до целой. В этом случае симметрия называется зеркальной или осевой.

Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере любого дерева.

Дерево поглощает из почвы влагу и питательные вещества за счёт корневой системы, то есть внизу, а остальные жизненно важные функции выполняются кроной, то есть наверху. Поэтому направления "вверх" и "вниз" для дерева, существенно различны. А направления в плоскости, перпендикулярной к вертикали, для дерева фактически неразличимы: по всем этим направлениям к дереву в равной мере поступают воздух, свет, и влага. В результате появляется вертикальная поворотная ось и вертикальная плоскость симметрии.

Зеркальной симметрией обычно обладают листья растений.

Удивительно симметричны листья дуба, вербы, крапивы.

У цветковых растений в большинстве проявляется радиальная и билатеральная симметрия. Цветок считается симметричным, когда каждый околоцветник состоит из равного числа частей. Цветки, имея парные части, считаются цветками с двойной симметрией и т. д. Тройная симметрия обычна для однодольных растений, пятерная - для двудольных.

Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, иными словами, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Необходимый для совмещения угол поворота в разных случаях неодинаков. Для цветка колокольчика он равен 72о, для нарцисса – 60о. Цветок анютины глазки совместится сам с собой только при повороте на 360о. Это значит, что цветок обладает лишь осью первого порядка.

Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки. В некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки.

Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки, он обладает только осевой.

Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Стебель обладает винтовой осью симметрии. У подсолнечника каждый листок появляется после поворота на 72о. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет.

Дальнейшие наши поиски были сосредоточены на центральной симметрии. Она наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, но мы остановились на ягодах: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.

А вот плоды (яблоко или груша) достаточно правильной формы могут оказаться совмещёнными сами с собой при повороте на любой, в том числе сколь угодно малый угол вокруг оси, идущей вдоль черенка.

СИММЕТРИЯ У ЖИВОТНЫХ.

Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии.

Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.

Асимметрию можно наблюдать на примере простейших животных. Сферическая симметрия имеет место у радиолярий и солнечников, тела которых сферической формы, а части распределены вокруг центра сферы и отходят от неё. У таких организмов нет ни передней, ни задней, ни боковых частей тела, любая плоскость, проведённая через центр, делит животное на одинаковые половинки.

Симметрия у живых организмов (поворотная симметрия – медузы, морские звёзды) служит не только для красоты; она, прежде всего, связана с приспособлением их к окружающему миру, с их жизнестойкостью. Подавляющее большинство живых организмов обладает одним из трёх видов симметрии: шаровидной, осевой, а более высокоразвитые существа – зеркальной симметрией.

При радиальной или лучистой симметрии тело имеет форму короткого или длинного цилиндра либо сосуда с центральной осью, от которого отходят в радиальном порядке части тела. Это кишечнополостные, иглокожие, морские звёзды.

Для насекомых, рыб, птиц, животных характерно несовместимое с поворотной симметрией различие между направлениями «вперёд» и «назад». Направление движения является принципиально выделенным направлением, относительно которого нет симметрии у любого насекомого, любой птицы или рыбы, любого животного. В этом направлении оно спасается от преследователей.

Билатеральная (зеркальная) симметрия – характерная симметрия всех представителей животного мира. Эта симметрия хорошо видна у бабочки. Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью.

При билатеральной симметрии осей симметрии три, но симметричных сторон только одна пара. Потому что две другие стороны - брюшная и спинная - друг на друга не похожи. Этот вид симметрии характерен для большинства животных, в том числе насекомых, рыб, земноводных, рептилий, птиц, млекопитающих.

СИММЕТРИЯ ЧЕЛОВЕКА

Человеческое тело, также как и тело других позвоночных, в основе своей построено зеркально симметрично. Иммануил Кант сказал: «Что может быть больше похоже на мою руку или моё ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И всё же руку, которую я вижу в зеркале «нельзя поставить на место настоящей руки».

Отметим, наконец, билатеральную симметрию человеческого тела (речь идёт о внешнем облике и строении скелета). Эта симметрия всегда являлась и является основным источником нашего эстетического восхищения хорошо сложенным человеческим телом.

Общие принципы строения человека заложены миллиарды лет назад, когда формировался генетический код, и возникла первая клетка. В наших генах содержится значительная часть генофонда древних рыб, первых хордовых и некоторых беспозвоночных животных. Одним из признаков, переданных нам, является двусторонняя симметрия человеческого тела. Тело человека построено по принципу двусторонней симметрии.

Большинство из нас рассматривает мозг как единую структуру, в действительности он разделён на две половины. Эти две части - два полушария - плотно прилегают друг к другу. В полном соответствии с общей симметрией тела человека каждое полушарие представляет собой почти точное зеркальное отображение другого.

Управление основными движениями тела человека и его сенсорными функциями равномерно распределено между двумя полушариями мозга. Левое полушарие контролирует правую сторону мозга, а правое - левую сторону.

Физическая симметрия тела и мозга не означает, что правая сторона и левая равноценны во всех отношениях. Достаточно обратить внимание на действия наших рук, чтобы увидеть начальные признаки функциональной симметрии. Лишь немногие люди одинаково владеют обеими руками; большинство же имеет ведущую руку.

Среди врачей существует мнение, что причинами наших болезней являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды, сколько генетически обусловленные нарушения конструкции тела. «Симметричные» животные живут дольше, чем «несимметричные», что также говорит в пользу того, что симметрия – это показатель здоровья. Это также и показатель лучшей способности к воспроизводству.

Асимметрия лица – это показатель старения.

СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ.

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причём древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты. Ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, о том, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным.

Покажем симметрию в архитектуре Древнего мира на примере пирамиды Хеопса.

Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

По измерениям пирамиды Хеопса учёными мы знаем, что в основании пирамиды лежит квадрат со сторонами 227,5м. При строительстве высота пирамиды составляла 146,6м, а сейчас пирамида на 9м, ниже: верхние блоки, скорее всего, упали во время землетрясений. Грани пирамиды ориентированы по сторонам света, а угол наклона их к основанию равен 51°52’. Из этих фактов мы можем сделать вывод, что пирамида симметрична.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией.

Каждая деталь в симметричной системе существует как двойник своей обязательной паре, расположенной по другую сторону оси, и благодаря двойственности отдельных элементов сооружение “читается” целиком даже при восприятии с одной стороны.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор ( храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве. Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора «кружатся» в своём асимметричном «танце», создавая впечатление радости и праздника.

Как вы думаете, есть ли симметрия в архитектуре нашего города? Мы предлагаем Вам прогуляться по Усть – Куту и особенно обратить внимание на композиции зданий, на их красоту и симметричность.

Вы убедились, что в окружающей нас действительности очень много симметричных объектов. Это делает мир вокруг нас красивым и гармоничным.

Оказывается, симметрия присутствует и в музыке, и в литературе, и в картинах. Наиболее поразительным примером симметрии в неорганическом мире являются кристаллы. Но это уже тема следующей работы.

Классик современного естествознания, мыслитель Владимир Иванович Вернадский сказал: “Принцип симметрии охватывает все новые и новые области”. Это значит, что симметрия была, является и всегда будет мерилом порядка, красоты и совершенства.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)