Пифагор и теорема Пифагора

Пифагор – это греческий ученый, религиозный и политический деятель. Считается, что он родился на острове Самос (откуда и пошло прозвище Пифагор Самосский). Пифагор происходил из аристократической семьи (считается, что его отец был ювелиром – резчиком драгоценных камней ) и в детстве получил превосходное по тем временам образование. Однако этих знаний ему показалось недостаточно, и он отправился в трудное и небезопасное путешествие по странам восточной части Средиземного моря, Египту и Вавилону, чтобы постичь премудрости других народов.

Сохранилось предание, что во время пребывания в Египте жрецы, хранители научных и мистических знаний, посвятили его в свои священные науки.

Научные знания считались в Египте великой тайной, секретом, которым владели только жрецы. С вновь посвященных брали своего рода « подписку о неразглашении», неофиты обязывались не передавать знания остальным. По легенде, Пифагор клятву нарушил, создав в последствии свою школу и свое религиозное учение.

В Вавилоне (туда он попал, якобы взятым в плен персами) в течение семи лет он постигал кабалистические науки халдейских магов, мистическую науку о числах, законы музыки.

При этом успехи были столь значительны, что слава о нем прокатилась не только по всему Вавилону, но достигла и родного острова Самос. Когда Пифагор вернулся на свой остров, его приняли как величайшего ученого.

Борьба мелких собственников и ремесленников против родовой знати, что привело к становлению и укреплению единоличной власти. Такую власть называли тиранией. На острове Самос установилась тирании Поликрата.

Пифагор, принадлежащий к родовой аристократии, не обосновался в Самосее, а в знак протеста покинул остров и уехал в один из цветущих городов южной Италии, Кротон. Он считал, что свободный человек должен подчиняться деспотизму.

В Кротоне Пифагор основал школу, которая больше походила на тайное аристократическое общество. Он «сразу привлек внимание как человек, много странствующий, многоопытный и дивно одаренный судьбой и природой: с виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него в голосе, и в обхождении, и во всем».

Одним из жестких правил пифагорейцев было условие сохранение тайны учения. В это Пифагор, очевидно, следовал примеру египетских жрецов.

Члены школы Пифагора делились на учеников и слушателей. Слушателям не дозволялось видеть своего учителя, поэтому комната, в которой проходили учения, была разделена легкой перегородкой на две части. В одной из них занимался Пифагор с учениками, а в другой находились слушатели.

Многочисленные ученики и последователи Пифагора, которых называли пифагорейцами, свято почитали своего учителя. Поэтому в том наследии, которое оставили пифагорейцы, нельзя отделить открытия самого Пифагора и от идей его учеников и последователей. Все свои идеи они приписывали своему «научному руководителю».

Члены этой организации не только занимались наукой, но и стремились оказать влияние на политическую жизнь города, объединив вокруг себя наиболее видных представителей городской власти. Пифагорейцы – это не только научная школа, но и некий тайный монашеский орден.

Что отличало пифагорейцев от всех других сект - это способ, при помощи которого они считали возможным очищение души и соединение с божеством; это делалось при помощи математики. Математика была одной из составных частей религии.

А какая религия обходится без символов? Пентаграмма (или пифагорейская звезда – «правильная пятиконечная звездочка») была для пифагорейцев так же значима, как крест для христиан или полумесяц для мусульман.

В первозданном виде пифагорейский союз существовал недолго – до южно-итальянской провинции докатилась борьба демоса против родовой аристократии. В Кротоне она в первую очередь была направлена против Пифагора и его учеников. Около 510 г. до н. э. союз был разгромлен, а пифагорейцы бежали.

Пифагор со своими учениками вынужден был укрыться в соседнем городе Таранту. Но вскоре и там начались волнения, что вынудило Пифагора и его учеников перебраться в городе Мерапонт, где он погиб, как гласит одна легенда, в ночной сватке с демосом.

Смерть Пифагора, как и его жизнь, окружена легендами. Согласно другой из них, в Кротоне был подожжен дом пифагорейцев, и последователи Пифагора проложили своими телами ему дорогу – мост через огонь. Они погибли, а Пифагор, будучи не в силах продолжать жизнь, купленную такой ценой, затосковал и покончил с собой.

Пифагорейцы в математике

Пифагорейцы занимались накоплением абстрактных математических фактов и объединением их теоретической системы. Так, например, из арифметики была выделена в отдельную область исследований теория операций с натуральными числами. Были найдены (или специально отмечены) способы суммирования простейших арифметических прогрессий.

С именем Пифагора связывают также учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

Пифагорейцы занимались изучением свойств многоугольников, треугольников и так называемыми звездными многоугольниками (много внимания уделялось изучению пентаграммы). Школе Пифагора приписывается построение планиметрии прямолинейных фигур.

Характеристической особенностью построения древнегреческой математики является ее логическая доказательность, которая берет свое начало также в пифагорейской школе. Возможно, школа Пифагора имеет отношение и к построению теории подобия.

Основным содержанием пифагорейской математики является учение о числе. Пифагорейцы искали в числовых отношениях мистические тайны и откровения. Одним из отправных пунктов в учении о числе была музыка.

Пифагор сам установил, что приятнее слуха созвучия получаются, только если длины струн, издающих эти звуки. Относятся как целые числа первой четверки: 1: 2, 2: 3, 3: 4. Числа 1 ,2, 3, 4 играли у пифагорейцев особую роль, их называли тетрактисом.

Величайшим открытием пифагорейцев было открытие несоизмеримости величин. Для самих пифагорейцев это открытие оказалось величайшим потрясением. Несоизмеримость отрезков была обнаружена в квадрате – фигуре, которую они считали наиболее совершенной. Открытие несоизмеримости разрушило «числовую гармонию мира». Оказалось, что любое число может быть представлено геометрической величиной, например длиной отрезка, но не всякий отрезок может быть выражен числом.

Сохранилось придание, что открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор воспринял как начало хаоса и приказал ученикам хранить это открытие в глубочайшей тайне.

Для математики открытие несоизмеримости трудно переоценить. В момент осознания несоизмеримости отрезков, едва ли не впервые, в математику вошла сложная теоретическая абстракция. Это имело огромное философское и методическое значение для всей дальнейшей математики.

Теорема Пифагора

Имя Пифагора носит известная теорема о том, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на его катетах.

Справедливо и обратное утверждение: если стороны a, b, c треугольника отвечают пифагорейскому условию: a2 + b2 = c2 , то треугольник будет прямоугольным, с прямым углом, лежащим против стороны с.

О том, что теорема «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» восходит к Пифагору, утверждали древнегреческий писатель и историк Плутарх (Iв. ) и древнегреческий философ – идеалист Прокл (Vв. ).

Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была извесна, и поэтому ее назвали «теоремой Пифагора». С таким названием она и сейчас изучается в курсе планиметрии средней школы.

Однако, известно, что она применялась для решения различных задач задолго до Пифагора древними египтянами, вавилонянами, китайцами, индусами и другими древними народами.

На практике при построении прямого угла используется треугольник со сторонами 3, 4, 5, что, безусловно, было известно в глубокой древности. Именно такими пропорции археологи находят в размерах тесаных плит пирамиде Хефрена.

Интересным является и тот факт, что так называемая царская комната в знаменитой пирамиде Хеопса имеет размеры, связанные с числами 3, 4, 5. Эти же самые пропорции использовались и при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, а, вероятно, также и в Мексике.

Таким образом, открытие соотношения между сторонами треугольника приписывать Пифагору нельзя. Скорее всего, он только первым сумел обобщить и дать первое строгое доказательство в общем виде, смог перевести это утверждение из области практики в область науки.

Естественно, что для пифагорейцев, как сторонников мистификации чисел, особый интерес представляли треугольники, все три стороны которых выражаются целыми числами, подчиняющимися пифагорейскому условию: a2 + b2 = c2. Такие треугольники называют пифагорейскими.

Пифагорейцы нашли способ построения неограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел: где п – нечетное число.

Позднее было открыто много соотношений, позволяющих находить «пифагоровы» числа. Так Платон предложил правило, по которому можно построить ряд «пифагоровых» троек вида где п – четное.

Вот несколько троек «пифагоровых» чисел:

Историки математики предполагают, что теорема Пифагора сначала была доказана для равнобедренного треугольника . Эти треугольники часто встречаются в орнаментах и выглядят как сеть квадратов и их диагоналей. площадь квадрата, построенного на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах, так как все эти квадраты состоят из равных равнобедренных треугольников.

На протяжении веков теорема Пифагора была многократна доказана. Сейчас она – теорема-рекордсмен по количеству различных доказательств, и занесена в книгу рекордов Гиннеса.

Приведем несколько интересных ее доказательств.

Но прежде сформулируем саму теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Докажем ее так, как по легенде, доказывал ее Пифагор. Для всех доказательств, где прямоугольный треугольник обозначен буквами АВС: его прямой угол – угол С, катеты ВС = а, СА = b, гипотенуза АВ = с .

Доказательства Пифагора

Первое доказательство Пифагора основано на понятии равновеликих фигур.

Равновеликие фигуры – плоские фигуры одинаковой площади.

доказательство

I доказательство

Построим квадрат A1B1C1D1 , сторона которого равна сумме катетов a и b данного треугольника .

Отметим на стороне B1C1 точку F, а на стороне A1B1 точку Н так, что B1F = A1H = а (соответственно FC1 = B1H = b).

Затем параллельно стороне A1B1 проведем прямую FE, а параллельно стороне A1D1 проведем прямую HG. Эти прямые разделят квадрат A1B1C1D1 на четыре части: квадрат A1HOE (со стороной а), квадрат OFC1G (со стороной b) и два прямоугольника HB1FO и OGD1E (со сторонами a и b).

В прямоугольниках проведем диагонали и получим четыре прямоугольных треугольника. Обозначим их для простоты цифрами I, II, III, IV.

Все четыре полученные прямоугольные треугольники имеют равные катеты a и b, и, следовательно, все эти треугольники равны.

Затем прямоугольные треугольники I, II, III, IV расположим так, что катет а оного треугольника будет продолжением катета b другого. Получится квадрат A2B2C2D2, сторона которого тоже равна сумме катетов a и b.

Таким образом, квадраты A1B1C1D1 и A2B2C2D2 равны, а значит, равны их площади.

Полученный четырехугольник О1О2О3О4 - является квадратом, равны все его стороны (они являются гипотенузами с разных треугольников), и все углы – прямые. Докажем это на примере угла при вершине О1.

Угол A2O1D2 - развернутый, а сумма углов A2O1O2 и D2O1O4 равна 90º , как сумма острых углов прямоугольного треугольника. Поэтому угол O2O1O4 - прямой.

: Таким образом:

И так как SA1B1C1D1 = SA2B2C2D2 , то c2 = a2 + b2 , и теорема доказана.

II доказательство

Второе доказательство, приписываемое Пифагору, основывается на подобии треугольников. Однако нет единого мнения по поводу того, насколько пифагорейцы были знакомы с учением о подобии. Одни историки считают, что учение о подобии было создано в школе Пифагора, другие относят время его создания ко временам Евклида.

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольного АВС опустим на его основание высоту СD . Треугольники АВС, CDB и ACD подобны по двум углам(,

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.