Паркеты и орнаменты

Человек издавна украшал свое жилище, одежду, предметы домашнего обихода. На глиняных сосудах, на орудиях труда древних людей мы видим простейшие узоры: точки, прямые, волнистые линии, образующие узор орнамента.

На Руси традиционными были удивительные, замысловатые орнаменты, в основном цветочные, которыми украшались терема, церкви. Орнаментами украшаются книги для детей младшего школьного возраста. Каждая народность имеет свой круг орнаментики. Орнамент черпает свои мотивы из геометрии, фауны, флоры; они могут быть подсказаны очертаниями человеческого тела или окружающих предметов.

Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. С паркетами мы часто встречаемся в повседневной жизни.

Правильные многоугольники

Определение. Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны.

Построение правильных многоугольников.

Для построения правильного шестиугольника, со стороной АВ, достаточно построить окружность радиуса PQ=АВ, взять на ней произвольную точку и, не меняя раствора циркуля, отметить на ней последовательно шесть точек. Соединив точки отрезками, получим шестиугольник.

Для того чтобы построить правильный треугольник нужно соединить точки данного шестиугольника через одну, значит соединим точки A, C и E. Треугольник ACE-искомый.

Для построения квадрата достаточно провести диаметр АС в окружности произвольного радиуса и провести к нему серединный перпендикуляр, который пересечет окружность в двух точках В, D. Последовательно соединив точки А, В, С, D, получим искомый квадрат АВСD.

Для построения паркетов необходимо уметь строить правильный восьмиугольник. Это делается так: сначала строим квадрат, затем проводим в нем четыре оси симметрии и точки их пересечения с окружностью последовательно соединяем отрезками.

3. Паркеты.

Советский энциклопедический словарь дает такое определение паркета: паркет (франц. parquet), небольшие древесные, строганные планки (клепки) для покрытия пола. Паркет изготавливают преимущественно из твердых пород дерева, для художественного паркета используют ценные породы. Различают несколько видов паркета: штучный, наборный (мозаичный), щитовой, паркетные доски.

Другое определение: паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Также паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников.

Сколько же всего существует правильных паркетов? Может их бесчисленное множество? Как они устроены? Вот на эти вопросы я хочу дать ответы.

3. 1. Паркеты с тремя многоугольниками в вершине.

В зависимости от набора многоугольников в каждой вершине возможны три случая.

1. Три одинаковых многоугольника.

2. Два одинаковых и один отличный от них.

3. Три различных многоугольника.

Решение задачи естественно начать с исследования вершин паркета. Из определения правильности сразу вытекает принцип эквивалентности вершин: любые две вершины устроены одинаково в том смысле, что звезды всех вершин одинаковы. (Звездой называется фигура, образованная всеми многоугольниками, содержащими ее). Введем обозначения: mi – число прилегающих к вершине i-угольников

αi – величина внутреннего угла правильного i-угольника.

Сумма углов многоугольников, сходящихся в одной вершине равна 360°

, где в сумму мы включаем все слагаемые с номерами i, для которых к вершине примыкает хотя бы один i-угольник).

Подставляя в эту формулу известное из геометрии выражение для

αi = - величина угла правильного многоугольника, получим

, сократив данное равенство на 1800 , получаем

Таким образом, числа mi являются целочисленными решениями уравнения.

В вершине паркета может сходиться не более шести и не менее трех многоугольников.

В первом случае сумма в уравнении сводится к одному слагаемому, отвечающему трем одинаковым n-угольникам, поэтому получаем или n=6, то есть к каждой вершине примыкает 3 шестиугольника. Это один из простейших правильных паркетов.

Если же предположить, что в одной вершине сходится семь и более многоугольников, то хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 600, что невозможно (минимальный угол у треугольника равен 600). Таким образом, решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине паркета сходятся 3, 4 и 5 правильных многоугольников.

Итак, я составил 1 паркет.

Рассмотрим второй случай.

Для второго случая (два k-угольника, один n-угольник) имеем уравнение

Решение:

3nk-2k-4n=2nk nk-2k=4n k(n-2)=4n

Целочисленные решения последнего уравнения проще всего найти перебором различных значений:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

k 12 8 6 5

Продолжать перебор дальше нет смысла, так как целочисленных k мы больше не получим: а при n >10 последнее слагаемое не может быть целым.

Таким образом, кроме уже рассмотренного случая n=k=6 мы получили три решения, которые запишем в виде суммы углов в вершине:

; ; , где α3, α4, α5, α8, α10, α12 – углы правильных многоугольников.

Первому решение отвечает паркет, часто встречающийся на практике . Менее обычный паркет, отвечающий второму решению.

А вот комбинация , в отличие от ранее рассмотренных, правильного паркета не образует .

Рассмотрим третий случай (три разных многоугольника с n, m и k вершинами).

Получен следующий вариант паркета.

Далее я рассмотрел паркеты с четырьмя многоугольниками в вершине .

Попытался составить паркет с пятью многоугольниками в вершине.

Таких «пятимногоугольных» паркетов три.

Самым простым оказался паркет с шестью многоугольниками в вершине. Он единственный. .

Перечисленные выше случаи исчерпали все многообразие правильных паркетов. Их общее число – 11!

Делаю вывод: паркетов составленных из правильных многоугольников 11. Мое предположение о бесконечном количестве таких паркетов было неверно.

3. 2. Построение паркетов в программе Paint.

Невозможно правильно, а значит красиво изобразить паркеты на доске или в тетради. Однако в современных условиях выход из этого положения есть - это использование компьютера, например использование графического редактора «Paint», входящего в стандартный пакет Microsoft Office.

Алгоритмы построения паркета.

Алгоритм № 1.

1. Рисуем выбранный многоугольник.

2. Копируем.

3. Полученную копию передвигаем с помощью мышки так, чтобы исходный многоугольник и его копия соприкасались сторонами.

Если необходимо, то отражаем на определенный угол правильный многоугольник относительно стороны соприкосновения.

Алгоритм № 2.

1. Выделить многоугольник (с помощью инструмента выделения).

2. Выбрать на панели меню команду «Рисунок».

3. Отразить/повернуть.

4. Задать величину угла поворота.

Можно использовать различные цвета заливки, в результате получаются очень красивые разноцветные паркеты. Я покажу заполнение плоскости неправильными одинаковыми многоугольниками и проверю утверждение о том, что для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость без пробелов и наложений.

Возьмем произвольный четырехугольник ABCD и рассмотрим симметричный ему относительно середины стороны AB четырехугольник. Исходный четырехугольник ABCD обозначим цифрой 1, а симметричный – цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны BC.

Полученный четырехугольник обозначаем цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD. Полученный четырехугольник обозначен цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами A, B, C и D. А так как сумма углов четырехугольника равна 360º, то эти четырехугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и дает искомое заполнение плоскости.

Можно заполнить плоскость, даже если четырехугольник невыпуклый.

3. 3. Другие паркеты.

На сайте в Интернете рассматриваются паркеты из копий правильного многоугольника, правильные «по граням», т. е. допускающие самосовмещения, которые переводят любую заданную плитку в любую другую. Число таких паркетов 46. Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами.

А вот этот красивый паркет из криволинейных плиток получен деформацией обычного шестиугольного паркета из правильных шестиугольников. Как легко видеть, его можно продолжить на всю плоскость. Как устроены отдельные плитки, показано на схеме внизу. Стороны треугольников заменены дугами описанных около них окружностей.

Все вышеперечисленные паркеты периодичны, т. е. в каждом из них можно выделить составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет.

Интерес ученых к таким конструкциям объясняется тем, что периодические замощения, особенно замощения пространства, моделируют кристаллические структуры.

Существуют и непериодические замощения, например спиральное замощение плоскости девятиугольниками, придуманное в 1936 году немецким математиком Х. Фодербергом.

Также существуют квазипериодические паркеты, например паркет английского математика Роджера Пенроуза.

Вывод: паркетов великое множество, но правильных только 11.

4. Орнаменты.

Орнаменты с давних времен применяются в декоративном искусстве. Человек издавна украшал свое жилище, одежду, предметы домашнего обихода. На глиняных сосудах, на орудиях труда древних людей можно увидеть простейшие узоры: точки, прямые, волнистые линии, образующие узор орнамента.

Орнамент – узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов для украшения архитектурных сооружений.

4. 1. Виды орнаментов.

Все орнаментальные рисунки можно разделить на три вида.

• Орнамент изобразительный, включающий в себя конкретный рисунок человека, животных, растений, пейзажные или архитектурные мотивы, рисунок предметов неживой природы или сложную эмблему.

• Орнамент неизобразительный, образованный из геометрических элементов, абстрактных форм, лишенных конкретного предметного содержания.

• Орнамент комбинированный, представляющий собой сочетание изобразительных мотивов или отдельных элементов, с одной стороны, и абстрактных форм с другой.

Для меня наибольший интерес представил геометрический орнамент, который состоит из точек, прямых и перекрещивающихся линий, зигзагов, кругов, звезд. Число абстрактных неизобразительных форм весьма велико, но линии, которые резко отличаются одна от другой только три:

▪ прямые - вертикальные, горизонтальные, наклонные;

▪ кривые – с постоянным радиусом кривизны - окружности и их дуги;

▪ кривые – с переменным радиусом кривизны – параболы, гиперболы.

Эти линии являются первичными элементами для всех орнаментальных образований. Все три вида линий обладают зрительной выразительностью и не похожи одна на другую. Сами по себе прямые и кривые линии не являются носителями художественной выразительности, но при определенных условиях они могут «обнаружить» скрытый в них эмоциональный заряд. Так, прямые и кривые с постоянным радиусом кривизны способны выразить плавное, спокойное движение. В природе этих линий лежат постоянство, статика, уравновешенность. Считается, что горизонтальные линии в орнаменте символизируют стройность, строгость, определенную стабильность; наклонные же прямые линии создают впечатление постоянного движения.

Например, зигзаг (ломаная линия) в Древнем Египте служила знаком воды. Она находила применение в орнаментах многих народов в самые разные времена.

Шевроны – ломаная лента с ритмическим чередованием узора. Встречается в декоративном искусстве Китая.

Меандр – ломаная под прямым углом линия. Самые первые образцы этого орнаментального мотива относятся к эпохе палеолита. Позже меандр использовался в греческой керамике, в искусстве древних жителей Мексики.

Квадрат и прямоугольник являются основной формой в орнаменте. Они служат для ограничения поверхности, заполненной орнаментальными мотивами. Их можно видеть на старинных греческих вазах, а также в архитектуре – кессонированные потолки Эпохи Возрождения.

Шашечный орнамент широко используется в узорах тканей со времен Древнего Египта вплоть до наших дней.

Шестиугольник и восьмиугольник были очень распространены в декоративном искусстве мусульманских стран. К прямолинейным мотивам, широко использовавшимся с доисторических времен, следует отнести крест и свастику, которые служили в качестве религиозных символов: крест – на Западе, свастика – в странах Центральной и Юго-Восточной Азии.

Окружность считается одной из самых совершенных и законченных форм. Она используется и как собственно орнаментальный элемент и для ограничения поверхности. Важную роль играли окружности в средневековых орнаментах (так называемые готические «розы»).

Мотив спирали был распространен еще в эпоху неолита. Стал излюбленным мотивом в древнем искусстве Египта, Ассирии, Греции.

Линии с переменным радиусом кривизны несут в себе динамичность, напряженность, неравномерность и активное движение. Мотивом «бегущая волна» в древности пользовались как символом непостоянства жизни.

Интересны узбекские орнаменты – загадки древних мастеров. Древние мастера Средней Азии славились тем, что орнаменты, которые они создавали, носили ярко выраженный геометрический характер. Построение было основано на симметрии и свойствах вписанных многоугольников. Все элементы орнаментов мастера строили только с помощью циркуля и линейки, повторение элементов осуществляли на основе симметрии. Таким образом, можно было сделать сетку из правильных геометрических фигур (квадратов, треугольников, шестиугольников и т. д. ). Дальнейшее творчество зависело от фантазии мастера. Такие орнаменты называются «гирих». Многообразие орнаментов типа «гирих» наиболее богато представлено решетками, которые вставлялись в двери и окна с целью защиты от палящего солнца. Такие орнаменты строились с помощью симметрии, причем необходимо найти все оси симметрии, что и показано на рисунке.

4. 2. Построение орнаментов.

Как же можно построить орнамент? Орнаменты строятся по трафаретам, к которым применяются виды движения: осевая симметрия, повороты и параллельные переносы.

В одном из журналов «Квант» за 1979 год в статье А. Землякова «Орнаменты» я нашел атлас орнаментов. На нижеприведенном рисунке изображены 15 фигур F, для каждой из которых указаны некоторые перемещения. Оси симметрии отмечены пунктиром, центры поворотов обведены кружком, а в скобках указаны углы поворотов; стрелками показаны параллельные переносы. Если в каждом случае к фигуре F применить указанные перемещения, то получится 15 орнаментов. Это будут орнаменты разных типов.

Если добавить к этим орнаментам еще два, то получится полный «атлас» плоских орнаментов. Оказывается, существует только 17 различных типов орнаментов.

Если же плоская фигура отображается сама на себя при параллельных переносах только одного направления (и противоположного ему), причем среди этих переносов существует перенос наименьшей длины, то такая фигура называется линейным орнаментом, который широко применяется в художественных ремеслах

Оказывается геометрические орнаменты можно задавать уравнениями. Этот материал, освещен в журнале «Квант» за 1972 год в статье М. И. Бржозовского «Уравнения орнаментов». Многие из них включают в себя тригонометрические уравнения. Решение таких уравнений не являлось предметом моего исследования.

В энциклопедическом словаре меня поразило слово, следующее за словом орнамент. Это орнаментика (муз. ), способы украшения вокальных и инструментальных мелодий. Первоначально орнаментирование осуществлялось по усмотрению исполнителя, позднее обозначалось специальными знаками или полностью выписывалось в нотах. Так вот откуда красота в музыки с ее повторами – орнаментами!

Заключение.

Несмотря на известность понятий «паркет», «орнамент» нет собранной воедино теории по этому вопросу. Литература разрознена, сайты в Интернете дают скудную информацию. Поэтому практическую значимость работы вижу в ее дальнейшем применении.

В результате изучения научной литературы о паркетах и орнаментах я считаю, что цель моей работы достигнута. Я подробно изучил паркеты и орнаменты, понял принципы их построения, а самое главное получил эстетическое наслаждение от их красоты. Увидел их широкое применение в жизни людей Обнаружил связь геометрии, черчения, информатики, изобразительного искусства, истории, и даже музыки.

Выдвинутая мною гипотеза о бесконечном множестве паркетов верна, но правильных паркетов только 11.

Считаю, что моя работа может быть использована учителями школьных предметов на своих уроках, факультативных занятиях и внеклассных мероприятиях.