Определение правильного многогранника

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэрролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Среди плоских многоугольников особое место занимают правильные многоугольники. Как известно, для любого натурального n на плоскости существует правильный n-угольник. Естественно задаться вопросом, имеет ли место подобный факт в пространстве? Существуют ли «правильные многогранники», и что это такое?

Еще в древней Греции были известны пять удивительных многогранников. Их названия пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник". Этим красивым телам посвящена 13-я книга "Начал" Евклида.

Их изучали ученые, ювелиры, священники, архитекторы. Этим многогранникам даже приписывали магические свойства. Древнегреческий ученый и философ Платон (IV–V в. до н. э. ) считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. В своем диалоге «Тимей» Платон говорит, что атом огня имеет вид тетраэдра, земли – гексаэдра (куба), воздуха – октаэдра, воды – икосаэдра. В этом соответствии не нашлось места только додекаэдру и Платон предположил существование еще одной, пятой сущности – эфира, атомы которого как раз и имеют форму додекаэдра. Ученики Платона продолжили его дело в изучении перечисленных тел. Поэтому эти многогранники называют Платоновыми телами.

В работе рассмотрены основные определения и свойства выпуклых многогранников. Доказано существование лишь пяти правильных многогранников. Подробно рассмотрены соотношения для наиболее часто встречающейся в задачах по стереометрии правильной n-угольной пирамиды и правильного тетраэдра. В работе приведен большой объем аналитического и иллюстративного материала представленного в виде презентации, который может быть использован при изучении некоторых разделов стереометрии.

1. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА.

Многогранниками называют тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. На рисунке 2 приведены примеры выпуклых и не выпуклых многогранников.

Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Доказательство. Пусть F – какая- нибудь грань многогранника M; A, B – точки принадлежащие грани F . Из условия выпуклости многогранника M следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, то есть F – выпуклый многоугольник.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Доказательство. Пусть M – выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, то есть такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости многогранника M все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти пирамиды целиком содержатся в M и все вместе составляют многогранник M.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Доказательство. Предположим противное, то есть существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N . Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать, рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – ребер, Г – граней данного многогранника:

Наименование многогранника В Р Г

Треугольная пирамида 4 6 4

Четырехугольная пирамида 5 8 5

Треугольная призма 6 9 5

Четырехугольная призма 8 12 6

n-угольная пирамида n+1 2n n+1

n-угольная призма 2n 3n n+2

n-угольная усеченная пирамида 2n 3n n+2

Из этой таблицы непосредственно видно, что для выбранных многогранников имеет место равенство. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство , где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней данного многогранника. (Доказательство приведено в приложении 1)

Свойство 4.

2. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.

2. 1. Определение правильного многогранника.

Многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники, из каждой его вершины выходит одинаковое число ребер и все двугранные углы равны.

Оказывается, что существует всего пять видов правильных многогранников. Докажем это, а затем предъявим каждый из них, доказав тем самым их существование.

Лемма 2. 1.

Рассмотрим многогранный угол с вершиной S, у которого равны все плоские и все двугранные углы. Выберем на его ребрах точки A1, A2, , An так, что SA1 = SA2 = = SAn. Тогда точки A1, A2, , An лежат в одной плоскости и являются вершинами правильного n-угольника.

Доказательство.

Докажем, что любые идущие подряд точки лежат в одной плоскости. Рассмотрим четыре подряд идущие точки A1, A2, A3 и A4. Пирамиды SA1 A2 A3 и SA2 A3 A4 равны, поскольку их можно совместить, совместив ребра SA2 и SA3 (берутся, разумеется, ребра разных пирамид) и двугранные углы при этих ребрах. Аналогично можно показать, что равны пирамиды SA1 A3A4 и SA1 A2 A4, поскольку все их ребра равны. Отсюда следует равенство

Из последнего равенства следует, что объем пирамиды A1A2A3A4 равен нулю, то есть указанные четыре точки лежат в одной плоскости. Значит, все n точек лежат в одной плоскости, и в n-угольнике A1 A2 An равны все стороны и углы. Значит, он правильный, и лемма доказана.

Теорема 2. 1.

Существует не более пяти различных видов правильных многогранников.

Доказательство.

Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.

Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.

Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и AD, а из вершины A1 другого – ребра A1B1, A1C1 и A1D1. ABCD и A1B1C1D1 – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A и A1, и плоские углы при этих вершинах.

Рисунок 6

Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A1B1C1D1, то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой многогранник единственный.

Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 2. 1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.

Заметим, что из этой теоремы не следует, что существует именно пять видов правильных многогранников. Теорема лишь утверждает, что таких видов не более пяти, а теперь нам осталось доказать, что этих видов действительно пять, предъявив все пять видов многогранников.

2. 2. Тетраэдр, гексаэдр, октаэдр.

Предъявим теперь многогранники каждого вида, доказывая тем самым их существование.

Тетраэдр (tetra – четыре, hedra – грань). Правильный тетраэдр – правильный четырехгранник, то есть тетраэдр с равными ребрами, представляет собой правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и из каждой вершины которого выходит ровно три ребра. Очевидно, что тетраэдр с заданной длиной ребра единственен. Все остальные тетраэдры подобны ему и определяются длиной ребра, что следует из теоремы 2. 1.

Гексаэдр (куб, hexa – шесть). Гексаэдр – правильный многогранник, все грани которого – квадраты, и из каждой вершины выходит три ребра.

Октаэдр (okto – восемь). Это правильный многогранник, все грани которого – правильные треугольники и к каждой вершине прилегают четыре грани. Покажем, что этот многогранник имеет восемь граней, указав способ его построения.

Рассмотрим квадрат ABCD и построим на нем, как на основании, по обе стороны от его плоскости четырехугольные пирамиды, боковые ребра которых равны сторонам квадрата. Полученный многогранник и будет октаэдром .

Чтобы это доказать, нам остается проверить, что у него равны все двугранные углы. Действительно, пусть O – центр квадрата ABCD. Соединив точку O со всеми вершинами нашего многогранника, мы получим восемь треугольных пирамид с общей вершиной O. Рассмотрим одну из них, например ABEO. AO = BO = EO и, кроме того, эти ребра попарно перпендикулярны.

Пирамида ABEO правильная, так как ее основание – правильный треугольник ABE. Значит, все двугранные углы при основании равны. Аналогично, все восемь пирамид с вершиной в точке O и основаниями – гранями восьмигранника ABCDEG – являются правильными и более того, равны между собой. Значит, все двугранные углы этого восьмигранника равны, так как каждый из них в два раза больше двугранного угла при основании каждой из пирамид.

Отметим интересный факт, связанный с гексаэдром (кубом) и октаэдром. Куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин, а октаэдр – 8 граней, 12 ребер и 6 вершин. То есть число граней одного многогранника равно числу вершин другого и наоборот. Как говорят, куб и гексаэдр являются двойственными друг к другу. Это также проявляется в том, что если взять куб и построить многогранник с вершинами в центрах его граней, то, как несложно убедиться, получится октаэдр. Верно и обратное – центры граней октаэдра служат вершинами куба. В этом-то и состоит двойственность октаэдра и куба .

Несложно сообразить, что если взять центры граней правильного тетраэдра, то мы вновь получим правильный тетраэдр . Таким образом, тетраэдр двойственен самому себе.

2. 3 Икосаэдр и додекаэдр

Теорема 2. 2. Существование правильного икосаэдра.

Существует правильный многогранник, у которого все грани – правильные треугольники, и из каждой вершины выходит 5 ребер. Этот многогранник имеет 20 граней, 30 ребер, 12 вершин и называется икосаэдром (icosi – двадцать).

Доказательство

Рассмотрим октаэдр ABCDEG с ребром 1 (Рис. 13). Выберем точки M, K, N, Q, L и P на его ребрах AE, BE, CE, DE, AB и BC соответственно так, чтобы AM = EK = CN = EQ = BL = BP = x. Выберем x таким, чтобы все отрезки, соединяющие эти точки, были равны между собой.

Очевидно, что для этого достаточно выполнения равенства KM = KQ. Однако, поскольку KEQ – равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами KE и EQ, то. Запишем теорему косинусов для треугольника MEK, в котором :

Отсюда. Второй корень, который больше 1, не подходит. Выбрав x таким образом, построим искомый многогранник. Выберем еще шесть точек, симметричных точкам K, L, P, N, Q и M относительно центра тетраэдра, и обозначим их K1, L1, P1, N1, Q1 и M1 соответственно. Полученный многогранник с вершинами K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 и M1 и есть искомый. У него все грани – правильные треугольники, из каждой вершины выходит пять ребер. Докажем теперь, что все его двугранные углы равны между собой.

Для этого заметим, что все вершины построенного двадцатигранника равноудалены от точки O – центра октаэдра, то есть, расположены на поверхности сферы с центром O. Далее поступим так же, как и при доказательстве существования правильного октаэдра. Соединим все вершины двадцатигранника с точкой O. Совершенно аналогично докажем равенство треугольных пирамид, основания которых – грани построенного многогранника, и убедимся, что все двугранные углы двадцатигранника вдвое больше углов при основании этих равных треугольных пирамид. Следовательно, все двугранные углы равны, а значит, полученный многогранник – правильный. Он и называется икосаэдром.

Теорема 2. 3. Существование правильного додекаэдра.

Существует правильный многогранник, у которого все грани правильные пятиугольники и из каждой вершины выходит 3 ребра. Этот многогранник имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин и называется додекаэдром (dodeka – двенадцать).

Доказательство.

Как видно, количество граней и вершин многогранника, существование которого мы сейчас стараемся доказать, равно числу вершин и граней икосаэдра. Таким образом, если мы докажем существование многогранника, о котором идет речь в этой теореме, то он непременно окажется двойственным к икосаэдру. На примере куба и октаэдра мы видели, что двойственные фигуры обладают тем свойством, что вершины одной из них лежат в центрах граней другой. Это наводит на идею доказательства данной теоремы.

Возьмем икосаэдр и рассмотрим многогранник с вершинами в центрах его граней. Очевидно, что центры пяти граней икосаэдра, имеющих общую вершину, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного пятиугольника (в этом можно убедиться способом, аналогичным тому, что мы применяли при доказательстве леммы 2. 1). Итак, каждой вершине икосаэдра соответствует грань нового многогранника, грани которого – правильные пятиугольники, а все двугранные углы равны. Это следует из того, что любые три ребра, выходящие из одной вершины нового многогранника, можно рассматривать, как боковые ребра правильной треугольной пирамиды, и все получающиеся при этом пирамиды равны (у них равны боковые ребра и плоские углы между ними, которые суть углы правильного пятиугольника). Из всего вышесказанного следует, что полученный многогранник является правильным и имеет 12 граней, 30 ребер и 20 вершин. Такой многогранник и называется додекаэдром.

Итак, в трехмерном пространстве существует только пять видов правильных многогранников. Мы определили их вид и установили, что все многогранники имеют двойственные к ним. Куб двойственен к октаэдру и наоборот. Икосаэдр – к додекаэдру и наоборот. Тетраэдр двойственен сам себе.

2. 4. Правильная n-угольная пирамида

Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду. Этот многогранник часто встречается в стереометрических задачах и поэтому более подробное и тщательное изучение его свойств представляет большой интерес.

Пусть SA1A2 An – правильная n-угольная пирамида (рис. 16). Введем следующие обозначения:

α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

β – двугранный угол при основании;

γ – плоский угол при вершине;

δ – двугранный угол при боковом ребре.

Пусть О – центр основания пирамиды, В – середина ребра А1А2, D – точка пересечения отрезков А1А3 и ОА2, С – точка на боковом ребре SA2 такая, что A1CSA2, Е – точка пересечения отрезков SB и А1С, К – точка пересечения отрезков А1А3 и ОВ. Пусть А1ОА2=. Несложно показать,

. Обозначим также через Н высоту пирамиды, апофему – через m, боковое ребро – через l, сторону основания – через a, а через r и R – радиусы окружностей, вписанной в основание и описанной около него.

2. 5. Правильный тетраэдр

Применение соотношений полученных в предыдущем разделе к правильному тетраэдру позволяет получить ряд интересных соотношений для последнего. В этом разделе мы приведем полученные формулы для данного конкретного случая и, кроме того, найдем выражения для некоторых характеристик правильного тетраэдра, таких как, например, объем, площадь полной поверхности и тому подобное.

Следуя обозначениям предыдущего раздела, рассмотрим правильный тетраэдр SA1A2A3 с длиной ребра а. Обозначения для его углов оставим теми же и вычислим их.

В правильном треугольнике длина высоты равна. Так как этот треугольник является правильным, то его высота одновременно является биссектрисой и медианой. Медианы, как известно, точкой своего пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Несложно найти и точку пересечения медиан. Так как тетраэдр правильный, то этой точкой будет точка O – центр правильного треугольника А1А2А3. Основание высоты правильного тетраэдра, опущенной из точки S, также проектируется в точку O. Значит,. В правильном треугольнике SA1A2 длина апофемы тетраэдра равна. Применим теорему Пифагора для Δ SBO:. Отсюда.

Таким образом, высота правильного тетраэдра равна.

Площадь основания тетраэдра − правильного треугольника:

Значит, объем правильного тетраэдра равен:

Площадь полной поверхности тетраэдра в четыре раза больше площади его основания:.

Двугранный угол при боковой грани для правильного тетраэдра, очевидно, равен углу наклона боковой грани к плоскости основания:

Плоский угол при вершине правильного тетраэдра равен.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания можно найти из :

Радиус вписанной сферы для правильного тетраэдра можно найти по известной формуле , связывающей его с объемом и площадью полной поверхности тетраэдра (отметим, что последняя формула справедлива для любого многогранника, в который можно вписать сферу). В нашем случае имеем.

Найдем радиус описанной сферы. Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на его высоте, так как именно прямая SO перпендикулярна плоскости основания и проходит через его центр, а на этой прямой должна лежать точка, равноудаленная от всех вершин основания тетраэдра. Пусть это точка О1, тогда О1S=O1A2=R. Имеем. Применим теорему Пифагора к треугольникам BA2O1 и BO1O:

Отметим, что R = 3r, r + R = H.

Интересно вычислить то есть тот угол, под которым видно ребро правильного тетраэдра из центра описанной сферы. Найдем его:

Значит, Это знакомая нам величина из курса химии: это угол между связями С–Н в молекуле метана, который удается очень точно измерить в эксперименте, а поскольку ни один атом водорода в молекуле СН4, очевидно, ничем не выделен, то разумно предположить, что эта молекула имеет форму правильного тетраэдра. Этот факт подтверждается фотографиями молекулы метана, полученными при помощи электронного микроскопа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В представленной работе рассмотрены:

- определение выпуклых многогранников;

- основные свойства выпуклых многогранников, в том числе и теорема Эйлера, связывающая число вершин, ребер и граней данного многогранника;

- определение правильного многогранника, доказано существование только пяти правильных многогранников;

- подробно рассмотрены соотношения между характерными углами правильной n-угольной пирамиды, являющейся составной частью правильного многогранника;

- подробно рассмотрены некоторые характеристики правильного тетраэдра, такие как объем, площадь поверхности и тому подобное.

Приложения содержат доказательства основных свойств выпуклых многогранников и других теорем, содержащихся в данной работе. Приведенные теоремы и соотношения могут быть полезны при решении многих задач по стереометрии. Работа может быть использована при изучении отдельных тем стереометрии в качестве справочного и иллюстративного материала.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство , где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней.

Доказательство. Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник(образованный ребрами удаленной грани многогранника), разбитый на более мелкие многоугольники (образованные остальными гранями многогранника).

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число верши, ребер и граней при этом не изменится.

Докажем, что для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство

, (*) где В − общее число вершин, Р − общее число ребер и Г* − число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что , где Г − число граней данного многогранника.

Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком либо многоугольнике данного разбиения провести диагональ . Действительно, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребро и количество многогранников (граней) увеличится на единицу. Следовательно, имеем

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие многоугольники на треугольники , и для получения разбиения покажем выполнимость равенства (*). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая: а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае − АВ и ВС; б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае − MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребра и Г*-1 многоугольника:

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника, для такого разбиения В=3, Р=3, Г*=1 и, следовательно,. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Доказательство. Действительно, в каждой вершине многогранника сходится по крайней мере три ребра. Если количество вершин равно В и в каждой из них сходится три ребра, то общее число ребер будет больше или равно. Делить на два нужно потому, что при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитываем дважды: один раз − как ребро выходящее из одной его вершины, а второй раз − как ребро выходящее из второй его вершины. Таким образом, для любого многогранника имеет место неравенство.

Обозначим через Гn число граней с n ребрами. Тогда

Каждая треугольная грань имеет три ребра, и число треугольных граней равно Г3. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно 3Г3. Аналогично общее число ребер в четырехугольных гранях равно 4Г4 и так далее.

Поскольку каждое ребро многогранника содержится ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер мы каждое ребро считаем дважды, следовательно, будет иметь место равенство

Воспользуемся равенством , получающимся умножением обеих частей соотношения Эйлера на 6. По доказанному выше имеет место неравенство и, следовательно, неравенство. С другой стороны,

Подставляя эти выражения в неравенство, получим неравенство

В левой части, начиная с Г7, стоят отрицательные числа. Поэтому для того, чтобы вся сумма была больше или равна 12, нужно, чтобы хотя бы одно из чисел Г3, или Г4, или Г5 было отлично от нуля, то есть в многограннике существовала грань с соответствующим числом ребер.

Теорема 2. 4. 1.

Доказательство.

Из находим, что. Из находим, что. Значит. Кроме того, из следует, что , откуда и получается доказываемая формула.

Теорема 2. 4. 2.

Доказательство.

Из находим, что, , а из находим, что. Заметим, что из следует, что. Для доказательства формулы остается приравнять полученные выражения для l.

Теорема 2. 4. 3.

Из и получаем, что и. Но. Приравнивая правые части выражений для СВ, получим требуемую формулу.

Теорема 2. 4. 4.

Доказательство.

Из и найдем m:. Значит. Из найдем. Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к доказываемой формуле.

Теорема 2. 4. 5.

Доказательство.

Заметим, что. Это позволяет из треугольников СА1 А2 и СА1 D получить выражение для СА1 двумя способами:. Несложно доказать, что , и тогда из прямоугольного треугольника ОА1 D следует, что. Подстановка этого выражения в предыдущее равенство и приводит к доказываемой формуле.

Теорема 2. 4. 6.

Доказательство.

, так как SB − апофема боковой грани SA1A2. , поскольку высота пирамиды перпендикулярна любой прямой в основании пирамиды. Значит, в плоскости SBO нашлись две прямые SO и SB, перпендикулярные прямой А1 А2 в плоскости SA1 A2. Следовательно, плоскости SA1 A2 и SBO перпендикулярны. Так как − линейный угол двугранного угла при боковом ребре пирамиды по построению, то и плоскость А1СА3 перпендикулярна плоскости SА1А2. Значит, прямая пересечения плоскостей А1CА3 и SBO − это прямая КЕ − перпендикулярная плоскости SА1А2. Таким образом, имеем. Из треугольника КЕВ по определению находим. Далее заметим, что из треугольника КЕА1 получается , а из треугольника КВА1:. Подстановка двух последних выражений для синуса угла β , полученное из треугольника КЕВ, приводит нас к доказываемой формуле.