Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Общие сведения о задачах на проценты

В периодических изданиях можно найти немало статей, посвящённых тому, как легко и быстро можно научить решать задачи на проценты, есть целые книги, посвящённые этой теме, но все-таки, большинство людей, не знают и не понимают проценты.

Между тем в настоящее время проценты нужно знать не только школьнику, чтобы сдать выпускной экзамен. С задачами на проценты сталкивается буквально каждый человек. С ними приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада и кредита, покупке товаров в рассрочку, при выплате пени, налогов, страховании и т. д. Такие задачи выразительно демонстрируют практическую ценность математики и позволяют активизировать учебную деятельность.

Изучение этой темы в школе начинается с пятого класса. Умение решать задачи на проценты тесно связано с умением решать задачи на отыскание части от целого, целого по его части, а так же какую часть составляет одно число от другого.

В этом пособии мне хочется предложить свою позицию по вопросу изучения данной темы. Я считаю, что трудность восприятия темы «Проценты» связана, в большей мере, с очень коротким сроком её изучения. Это несколько часов в пятом классе, и на протяжении изучения двух тем «Действия с обыкновенными дробями» и «Пропорция» в шестом классе. За это короткое время не происходит «привыкания» к данному понятию, оно не становится «своим», «широко употребимым». И не смотря на то, что задачи на проценты включены в обязательный минимум образования и присутствуют в экзаменационной работе как в 9, так и в 11 классе, их изучение заканчивается в шестом классе.

На мой взгляд, изучение процентов надо начинать сразу с первых уроков изучения обыкновенных дробей в пятом классе и решать задачи на проценты в течение всего изучения математики в школе. По мере накопления опыта работы с обыкновенными дробями, учащиеся будет накапливать опыт работы с процентами.

В течение нескольких уроков учащиеся будут привыкать к понятию «процент», понимая, что это другое названия дроби 1/100, затем опять же в течение нескольких уроков учиться находить 1% от числа, затем 10% от числа и т. д. При этом запоминая часто встречающиеся соотношения процентов и обыкновенных дробей. Например, 10% = 1/10, 50%=1/2, 25% = ¼ и т. д.

Таким образом, когда учащиеся пятого класса подойдут к изучению темы «проценты», она не будет для них новой, неожиданной. Может показаться, что для этого потребуется много времени, которого и так на уроке не хватает для изучения основного материала, но это не так. Эти задачи каждый урок можно включать в устную работу, это не отнимет много времени.

Главное надо помнить изучение должно быть систематическим и не ограничиваться 5 – 6 классом.

В пятом классе рассматриваются задачи на проценты лишь двух типов: на нахождение процента от числа и на нахождение числа по его проценту. Задачи на процентное отношение рассматриваются лишь в шестом классе после изучения темы «Пропорция». Задачи первых двух типов школьники в той или иной мере решают, а задачи третьего типа вызывают большие затруднения.

В пятом классе при изучении темы «Проценты» главное приучить учащихся при анализе условия задачи определять, какая величина принята за 100% и известна ли эта величина. В шестом классе уровень сложности задач повышается. Возникают задачи с разными процентными базами. В результате решения таких задач учащиеся осознают, что в одной и той же задаче за 100% могут быть приняты разные величины.

Задачи на проценты, предлагаемые на экзаменах в 9 и 11 классах не всегда можно решить по пропорции, хотя этот способ и является самым широко используемым среди школьников. При решении некоторых задач необходимо составить уравнение, а для этого надо чётко знать правила решения всех трёх типов задач, которые изучаются в шестом классе.

Если над формированием умений решать задачи на проценты в 5-6 классе работать систематически, то можно заложить фундамент, на основе которого можно рассматривать в дальнейшем решение более сложных задач.

Знания по изучаемому вопросу формализуются только после того, как учащиеся полностью усвоили все понятия, свободно оперируют терминами, демонстрируют понимание смысла условий и вопросов тех или иных задач и упражнений по данному разделу, осознанно осуществляют поиск решения задач.

Глава 1. Общие сведения о задачах на проценты.

«Рационально мыслить и рационально считать» таков девиз при решении задач.

1. Исторические сведения о развитии понятия «процент»

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленной производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8/% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т. д.

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто». Часто вместо слова «процент» используют это словосочетание. То есть процентом называется сотая часть числа.

Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег.

Проценты ещё в V в. были известны индийцам и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в

Древнем Риме.

Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег.

«Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы».

От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т. д.

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует ещё другая версия: символ % появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: сtо. В 1685г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо сtо было набрано %. После этого знак %, получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

В некоторых вопросах применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии процентов. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Еще мы говорили о предметах, о некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100%».

Если речь идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100%. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это 100 сотых частей зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%» хлопка на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит их чистого хлопка. 3,2 жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но, если он повысился на 30%, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия, соответствующих мер.

2. Характеристика задач на проценты и общие приёмы их решения

Так как проценты выражаются дробями, то задачи на проценты являются по существу теми же задачами на дроби. В зависимости от того, что неизвестно, выделяют три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число процентов % выражается дробью.

На мой взгляд, главный недостаток в изучении задач на проценты заключается в изучении их в отрыве от соответствующих задач на дроби. В результате изучение идёт от частного к общему, что менее эффективно и даёт меньше возможностей для развития обучаемого. Школьников учат находить несколько процентов числа и число по его процентам в два действия и это происходит до того как в конце шестого класса им объяснят как находить дробь от числа умножением на дробь и число по дроби делением на дробь.

Эти приёмы применительно к процентам не рассматривались вообще – они и являются дополнительным резервом, дающим простой метод для решения сложных задач.

Я думаю, что можно сделать задачи на проценты всего лишь частным случаем задач на дроби и на них можно перенести некоторые приёмы решения задач.

Рассмотрим возможный порядок изучения задач на дроби и на проценты, не связывая его с конкретными пунктами учебника. Зададим типы задач, подлежащие рассмотрению. Аналогичные задания можно легко составлять самим или подобрать в различных задачниках. Здесь же приведём примеры более сложных задач, которые для всех ребят необязательны. Эти задачи пометим звёздочкой, они предназначены более сильным ученикам.

Предлагаю изучение задач на проценты вести в следующем порядке:

I. Научиться находить дробь числа, умножением на дробь увеличивать (уменьшать) число на некоторую его часть.

1. Найдите 2/5 числа 60.

2. Велосипедисты за два дня проехали 48 км. В первый день они проехали 2/3 всего пути. Сколько км они проехали за второй день?

3. Уменьшите число 90 на 1/10 этого числа.

4. Увеличьте число 80 на 2/5 этого числа.

5. * Число 200 увеличили на 1/10 этого числа, полученный результат уменьшили на 1/10. Получилось ли снова число 200? Ответ обосновать.

II. Научиться находить число по его дроби делением на дробь.

1. Найдите число 2/5, которого равны 60.

2. В первый день туристы прошли 2/5 намеченного маршрута, а во второй день, оставшиеся 15 км. Какова длина маршрута?

3. После того как число уменьшили на 3/10 этого числа, получилось 210. Найдите это число.

4. Задумали число. Увеличили его на 1/7 задуманного числа и получили 56. Какое число задумали?

III. Научиться находить какую часть одно число составляет от другого.

1. Какую часть число 40 составляет от числа 50?

2. Какую часть 50 составляет от 40?

3. Саша и Коля играли в баскетбол. Саша из 10 бросков имел 6 попаданий в кольцо. А Коля из 8 бросков имел 5 попаданий. Чей результат лучше?

IV. Научиться выражать проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби, выполнять обратное преобразование.

1. Выразите в виде обыкновенной и десятичной дроби: 39%, 17%, 3%, 50%, 25%, 20%, 10%,

2. Какую часть числа составляют его 50%, 25%, 20%, 10%?

3. Выразите десятичные дроби в виде процентов: 0,99; 0,25; 0,7; 1,02; 1, 21.

4. * Число а умножили на 0,19. Сколько процентов числа нашли этим действием?

5. Сколько процентов числа а составляют 0,99а и 0,01а? На сколько эти числа меньше (больше) а?

V. Научиться находить несколько процентов числа, увеличивать (уменьшать) число на несколько процентов.

1. Найдите 12% числа 300.

2. Изделие стоило 500 рублей. Цену уменьшили (увеличили) на 10%. Сколько теперь стоит изделие?

3. В сбербанк положили 1000 рублей. Посчитайте, какую сумму должны получить через 2 года, если по истечении каждого года банк начисляет 3% дохода?

4. * Увеличьте (уменьшите) число а на 10%.

5. Цена товара (а) увеличилась сначала на 10%, потом ещё на 10%. Какой теперь стала цена? На сколько процентов она больше первоначальной цены?

6. Число а увеличили на 10%, результат уменьшили на 10%. Какое получилось число – больше или меньше первоначального? На сколько процентов?

VI. Научиться находить число по нескольким его процентам.

1. Найдите число, 7% которого равны 14.

2. После снижения цены на 20% прибор стал стоить 160 рублей. Какова была его первоначальная цена?

3. Мальчик израсходовал 70% имеющихся у него денег, после чего у него осталось 42 рубля. Сколько денег было у мальчика первоначально?

VII. Научиться находить сколько процентов одного числа составляет другое, на сколько процентов одно число больше (меньше) другого?

1. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

2. Цена товара снизилась с 40 рублей до 30 рублей. На сколько процентов снизилась цена?

3. Зарплата повысилась с 5000 рублей до 6000 рублей. На сколько процентов повысилась зарплата?

4. * На сколько процентов 50 больше 40? На сколько процентов 40 меньше 50?

5. * Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась его площадь?

Перед решением задач, в которых надо найти процент от числа или число по его проценту, учащиеся должны ответить на вопросы:

• Какая величина принята за 100%?

• Известна ли эта величина?

• Что требуется найти процент от числа или число по его проценту?

При этом важно, чтобы учащиеся в случае, если величина, принятая за 100%, известна, при ответе на первый вопрос называли бы не числовое её значение, а описывали бы величину словами. Например, вместо «50 кг» говорили бы «масса всего мешка», а вместо «230 км» - «длина всего пути».

Практические советы:

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем задачу!

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно читаем задачу!

Глава 2. Виды задач на проценты, методы их решения и примеры.

2. 1 Задачи на нахождение процентов от числа.

❖ Чтобы найти процент от числа, надо процент записать в виде дроби (обыкновенной или десятичной) и это число умножить на соответствующую дробь.

Пример. 1: 20% от 45 кг равны 45•0,2 = 9 кг, или

118% от х равны 1,18х.

Нахождение процентов от числа  связано с нахождением дроби от числа. Проценты - это особый способ записи обыкновенной дроби, поэтому  начинать раскрывать смысл понятия процентов следует с осмысливания понятия обыкновенной дроби.

Возьмем несколько обыкновенных дробей, равных частей нужно разделить некий реальный или абстрактный объект, числитель показывает, сколько таких частей нужно взять. Возьмем в качестве примера какую-нибудь правильную дробь. Например: 2/3. Смысл этого выражения можно раскрыть следующим образом. Некий реальный объект разделили на 3 равные части и взяли из них 2 части.

В качестве реального объекта можно взять, например, прямоугольник.

- это выражение представляет собой частное чисел a и b, где b не равно 0.

- это отношение чисел a и b, где b не равно 0.

- это обыкновенная дробь. a – числитель, b – знаменатель (b не равно 0).

Пример 2.   Емкость бочки 200 л. 2/5 бочки заполнили водой. Какой смысл вложили в это предложение?

2/5 - эта дробь означает, что некий объект разделили на 5 равных частей и из них взяли 2 части. Объектом в данной задаче является объем бочки равный 200 л, следовательно,200:5=40,402=80.

В бочку налили 80 литров воды.

Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение дроби от числа.

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Понятие процента  определяют так: 1% от числа это сотая часть числа,     т. е. 1% = 0,01.

Тогда смысл предложения а% от числа b можно пояснить так. Некий объект (величина, которого равна b единиц) разделили на 100 равных частей и взяли из них a частей.

Пример 3. У Маши было 400 рублей. 24% этой суммы она израсходовала.

Какой смысл заключен в этом высказывании?

Так как 24% = 0,24, а 0,24 означает, что некий объект разделили на 100 равных частей и взяли из них 24 части. В данном случае объектом является сумма денег равная 400 руб. , следовательно,

400:100=4, 4*24=96.

Ответ. Маша израсходовала 96 рублей.

Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение процентов от числа.

Пример 4. Огород занимает 8 га. Картофелем занято 45% площади этого огорода. Сколько гектаров занято картофелем?

Решение. Так как 45% = 0,45, то для решения задачи надо умножить 8 на 0,45. Получим 8* 0,45 = 3,6. Значит картофелем занято 3,6 га.

Пример 5. Нужно найти р% от числа b.

Пусть x – число, которое нам нужно найти.

p% = 0,01p, x = b0,01 p

Чтобы найти проценты от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную дробь.

Другой подход к этой задаче. Можно использовать понятие и свойства пропорции. Если вспомнить, что пропорция - это равенство двух отношений, а отношение двух чисел - это обыкновенная дробь, то этот способ также связан с понятием обыкновенной дроби. в – 100% x  -  р%,

Имеем пропорцию: b : 100 = x : р,    (b относится к 100 как x относится к p) откуда, x = (b * p) / 100.

Пример 6. Постройка дома стоила 9800 рублей, из них 35% заплатили за работу, а остальные деньги за материал. Сколько рублей стоили материалы?

Решение.

За работу заплатили: 35% = 0,35

0,359800 = 3430.

Следовательно, материалы стоили: 9800 — 3430 = 6370.

Ответ: 6370 руб.

Пример 7. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:

Пусть цена товара х руб.

1) х + 0,25х = 1,25х;

2) 1,25х - 0,25. 1,25х = 0,9375х

3) х - 0,9375х = 0,0625х

4) 0,0625х/х. 100% = 6,25%

Ответ. первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

2. Задачи на нахождение числа по его процентам.

❖ Чтобы найти число по его проценту надо процент записать в виде обыкновенной или десятичной дроби и число умножить на полученную дробь.

Пример 1. 8% длины отрезка составляют 2,4 см, от длины всего отрезка. Чему равна длина всего отрезка? 8% = 0, 08 2,4:0,08 = 240:8 = 30 (см).

Пример 2.   Тракторист вспахал 6 га, что составило 25% всего поля. Чему равна площадь всего поля.

Это типичная задача нахождения числа по его процентам.   Пусть площадь всего поля равна x, тогда имеем уравнение x * 0, 25 = 6. Откуда x = 6 : 0,25 ;   x = 24. Площадь поля равна 24 га.

Чтобы найти число по его дроби, нужно число соответствующее данной дроби разделить на дробь.

Пример 3. Дано число b, которое составляет p% от числа a. Найти число а.

p%=0,01* p b=0,01*p*a a = b : (0,01p)

Дано число b, которое составляет p% от числа a.

Найти число а.

 a   -   100% b  -    p% a : 100 = b : p

Пример 4. Увеличив производительность труда на 7%, рабочий сделал за этот же срок на 98 деталей больше, чем намечалось по плану. Сколько деталей рабочий должен был сделать по плану?

Решение. Так как 7% = 0,07, а 98 : 0,07 = 1400, то рабочий по плану должен был сделать 1400 деталей.

Пример 5. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?

Решение.

Если незаполненная часть цистерны составляет 6,5% вместимости, то заполненная часть составляет: 100% — 6,5% = 93,5%. Тогда, если х — масса бензина, который осталось долить в цистерну, то имеем пропорцию х        -      6,5%

37,4   -       93,5%, откуда.

Ответ: 2,6 т.

Пример 4. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.

Решение.

25%=0,25,

45%=0,45.

Пусть х — искомое число. Имеем

0,25x = 0,45 640.

x = 1152.

Ответ: 1152.

3. Задачи на нахождение процентного отношения чисел.

❖ Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а, надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а затем эту часть выразить в процентах.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Пример 1. Масса станка 9,6 ц, а масса электромотора 36 кг. Найдите отношение массы электромотора к массе станка. Результат выразите в процентах.

Решение. Выразим массу станка в килограммах. Получим 9,6 ц = 960 кг. Значит, отношение массы электромотора к массе станка равно 36/960 = 3/80 = 0,0375.

Итак, масса электромотора составляет 0,0375 массы станка. Этот ответ выразим в процентах: 0,0375 =3,75%. Значит, масса электромотора составляет 3,75% массы станка.

Ответ. 3. 75%.

Пример 2. Какой процент урока заняла самостоятельная работа, которая длилась 15 минут, если продолжительность урока 45 минут (результат округлите до десятых)?

Решение. Найдём отношение продолжительности самостоятельной работы к продолжительности урока: 15 : 45 = 1/3 или 0,333 Выразим это отношение в процентах. 0,333 * 100 = 33,3 (%). Итак продолжительность самостоятельной работы составила 33,3%.

Ответ. 33,3%

Пример 3. На сколько процентов число 250 превышает число 200?

Решение.

Выполним два действия.

1) Выясняем, сколько процентов составляет число 250 т от числа 200:

200   -    100%

250   -     х%

2) Так как число 200 в данном примере составляет 100%, то число 250 больше числа 200 на 125% -100% = 25%.

Ответ: 25%.

Пример 4. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?

Решение.

Обозначим второе число через х, тогда первое число равняется 0,5х. Чтобы узнать, сколько процентов составляет число х от числа 0,5x; составим пропорцию:

0,5х    -    100%, х         -     р%, из которой находим

Ответ: 200%.

Глава 3. Задачи на проценты для самостоятельного решения.

Задачи с экологическим содержанием.

1. В 1966 году оборотное водоснабжение наше страны (когда в промышленность направляется уже ранее использованная и очищенная вода) составляло 65 тысяч м3, а в 1970 году оно было доведено до 98,2 тысяч м3. На сколько процентов увеличилось водоснабжение в нашей стране?

2. С 1600 года на Земле вымерло 94 вида птиц. Из них гибель 86% птиц связана с деятельностью человека. Сколько примерно видов птиц погибло по вине человека?

3. США ежегодно выбрасывают в атмосферу более 200 млн. т. вредных веществ. Из них более 40% происходит по вине транспорта, главным образом автомобилей. Сколько тонн вредных веществ выбрасывается в атмосферу транспортными средствами США?

4. В реку Чусовую и её притоки поступают промышленные и бытовые сточные воды из пяти населённых пунктов. В 1993 году из этих пунктов было сброшено свыше 90 млн. куб. м. сточных вод. Из них загрязнённых – 47 млн. куб. м. Какой процент сточных вод составляли загрязнённые?

5. Сосновый лес задерживает на своих кронах 20% выпадающих осадков, еловый – 40%, пихтовый – 60%. За время дождя выпало 10 см осадков. Сколько вылилось на вас влаги, если вы прятались под пихтой, елью, сосной? Считайте, что площадь занимаемая вами, равна 1/6 м2.

Экономико-математические задачи

1. При покупке стиральной машины стоимостью 6500р. покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу, дающую право на скидку 5%. Сколько он заплатит за машину?

2. Плата за коммунальные услуги составляет 800р. Сколько придется платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%.

3. В декабре каждому сотруднику предприятия выплатили премию, составившую 130% его месячной заработной платы. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого равна 5500р.

4. Некоторый товар поступил в продажу по цене 800р. В соответствиями с принятыми в магазине правилами цена реализованного товара каждый месяц снижается на 10%. Сколько будет стоимость товара на 50-й день, если не будет куплен?

5. Шариковая ручка стоит 40р. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 300 рублей после повышения цены на ручки на 10%?

6. Хозяин овощной лавки купил на оптовом рынке 100кг помидоров и заплатил 400р. После продажи помидоров оказалось, что за время хранения в лавке 10% помидоров испортились, и хозяин не смог их продать. Остальные помидоры он продал по цене 50р за килограмм. Какую прибыль он получил % ?

7. При получении денег через банкомат банк удерживает 3% от снятой суммы. Сколько всего денег будет снято со счета клиента, если он получает через банкомат а р. ?

8. В палатку завезли 850кг огурцов. Первый покупатель взял для соления 1% всех огурцов , а второй 3% всех огурцов. Сколько килограммов огурцов купил каждый из покупателей?

9. После снижения цен в магазине «Юнона» на 30% свитер стал стоить 2100 рублей. Сколько стоил свитер до снижения цен?

10. До снижения цен книга в магазине стоила 120 рублей. Вычислите цену книги после двух последовательных снижений, если первое снижение было на 10%, а второе на 5%.

11. Задача 3:Цена на молоко сначала снизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

12. (Из данных сберегательного банка России) Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Молодежный» в сбербанк России. Через два года вклад достиг 2809 рублей. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

13. Цена мандарин в магазине поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Груши поднялись в цене на 30% и стали по цене равной мандарин. Какова первоначальная цена мандарин, если груши до повышения цены стоили 125 рублей?

14. (из рекламы) Сотовый телефон в «Евросети» стоил 3150 руб. После двух последовательных снижений цены он стал стоить 1512руб. Сколько стоил сотовый телефон после первого снижения, если второе снижение было на 20 процентных единиц больше, чем первое?

3. 3 Задачи с содержанием из различных сфер деятельности человека

Задачи на сплавы, растворы и смеси

При решении задач этого типа используются следующие допущения.

1. Справедлив закон сохранения объема или массы: если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то выполняются равенства:

V = V1 + V2 — сохраняется объем; т = т1 + т2 — сохраняется масса.

2. Точно такой же закон сохранения имеет место для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора): если первый сплав состоит из нескольких компонентов, например из А, В, С, а второй - из компонентов В, С, D, то «новый» сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, D, причем массы этих компонентов в «новом» сплаве равны сумме масс каждого из компонентов, входящих в первый и второй сплавы.

3. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

4. Очень часто в задачах на смеси, и сплавы используются понятия объемной концентрации и массовой концентрации компонентов, составляющих раствор или сплав. Объемная (массовая) концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объема (массы) составляет данный компонент.

Например, если имеется 40%-ный раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4. Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то 4/7 массы всего этого сплава составляет свинец, а 7/11 - медь, т. е. , массовые концентрации свинца и меди в сплаве соответственно равны 4/11 b 7/11

1. Сплав меди и алюминия массой 10 кг содержит 35% меди. Какова масса алюминия в этом сплаве?

2. Два сплава с массами m1 и т2 кг содержат медь и серебро в отношениях 12:1 и 16 : 3 соответственно. Эти два сплава сплавили с т3 кг чистого серебра и т4 кг чистой меди. Определить процент серебра в образовавшемся сплаве.

3. Слиток сплава серебра с цинком весом в 3. 5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10. 5 кг, содержание серебра в котором было 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?

4. 5 л сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 л 20-ти процентных сливок и к смеси добавили 1 л чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

5. Сколько граммов 8% серной кислоты можно получить из 200 г жидкости, содержащей 62% серной кислоты?

6. Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа.

7. Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового сплава, содержащего 10% олова?

8. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?

9. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра?

10. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?

11. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?

12. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Задачи на движение

1. Мотоциклист за день проехал некоторое расстояние. 1% пути он проехал по проселочной дороге, что составило 3,2км. Какое расстояние проехал мотоциклист за день?

2. Автотурист проехал в первый день 120км , что составляет 15% всего намеченного пути. Какой длины намеченный путь?

Задачи на работу

1. На поле, площадь которого 620га, работали хлопкоуборочные машины. За сутки они убрали 15% всего поля. Сколько гектаров хлопка убрали за сутки?

2. Бригаде получили отремонтировать участок дороги длиной 760м. Сколько метров дороги бригада отремонтирует, когда выполнит 30% задания, 50% задания, 10% задания?

3. Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

4. Школьники помогали колхозу собирать яблоки. За день они собрали 4840 кг. 25% собранных яблок отправили в детский сад, а остальные - на колхозный склад. Сколько килограммов яблок отправили на колхозный склад?

5. Себестоимость изготовления одной детали равна 650р. Внедрение новой технологии позволило снизить себестоимость детали на 2%. Какова стала себестоимость такой детали?

6. Применяя интенсивную технологию, бригада изготовила сверх плана 250 деталей, перевыполнив тем самым план на 5%. сколько деталей изготовила бригада?

7. В механическом цехе установлено 350 станков, из которых 35 находятся в ремонте. Сколько процентов станков находится в действующем состоянии?

8. Слесарь и его ученик изготовили 1200 деталей. Ученик сделал 80% всех деталей. Сколько деталей сделал ученик?

9. Первая бригада прополола 30% всей площади, занятой свеклой, вторая бригада прополола 80% того, что прополола первая бригада. Остальную площадь прополола третья бригада. Сколько % всей площади прополола третья бригада?

10. Проложено 75% газопровода, длина которого 102,8км. Сколько км газопровода осталось проложить?

11. При плане 35деталей в день, рабочий сделал 42 детали. На сколько % он перевыполнил план?

Старинная задача

Задача: М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобрел полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены ещё раз вырастут на 20%?

Задачи с историческим содержанием

1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

2. (Более сложная). Некий человек взял в долг у ростовщика 100 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Задачи с физическим содержанием

Задачи с содержанием из различных сфер деятельности человека

1. В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50% , а во второй – в 2 раза. В какой библиотеке книг стало больше?

2. На первый курс института может быть принято 180 человек. Число поданных заявлений составило 129% от количества мест на курсе. Сколько заявлений было подано?

3. В начале года в городской библиотеке было 50 тыс. книг. К концу года 10 тыс. книг списали и купили 16 тыс. новых. На сколько процентов увеличился за год библиотечный фонд?

4. В прошлом году на два самых популярных факультета университета было подано1100 заявлений. В этом году число заявлений на один из факультетов уменьшилось на 20% , а на другой увеличилось на 30%и стало равным 1130. Сколько заявлений подано на каждый из двух факультетов в этом году?

5. Сколько человек было в кино, если 1% всех зрителей составляет 7 человек?

6. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

7. Масса медвежонка составляет 15% массы белого медведя. Найдите массу белого медведя, если масса медвежонка 120кг.

8. Сливочное мороженое содержит 14% сахара. На приготовление мороженого израсходовали 35кг сахара. Сколько сделали порций мороженого, если в каждой порции 100г?

9. В школе 700учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько процентов учащихся этой школы составляют мальчики?

10. Фрекен Бок испекла 80пирожков,и Карлесон тут же съел 10 пирожков. Сколько процентов всех пирожков съел Карлесон?

11. В 4-а классе 40 учеников. С задачей справились 32 ученика. В 4-б классе 35 учеников, а с задачей справились 28 учеников. Какой класс лучше справился с задачей?

12. На водопой пригнали 220 лошадей и жеребят. Жеребята составляли 15% всего табуна. Сколько жеребят было в табуне?

13. Из молока получается 10%творога. Сколько творога получится из 32,8 кг молока? Из 58,7кг молока?

14. Масса сушеных яблок составляет 16% массы свежих яблок. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить 4т сушеных? Сколько сушеных яблок получится из 4,5т свежих яблок?

15. В классе 17 мальчиков, а девочек на 6 больше. Сколько процентов класса составляют девочки и сколько процентов класса составляют мальчики?

16. В санатории отдыхали мужчины и женщины. Мужчины составляли 40% всех отдыхающих. Какой процент всех отдыхающих составляли женщины?

17. В городе 550тыс. жителей. Население в нем ежедневно увеличивается на 3%. Сколько жителей будет в городе через год?

18. Глубина горного озера к началу лета была 60м. За июнь его уровень понизился на 15% , а в июле оно обмелело на 12% от уровня июня. Какова стала глубина озера к началу августа?

19. В книге 140 страниц. Максим прочитал 80% этой книги. Сколько страниц прочитал Максим?

20. От куска провода отрезали 50% , а потом еще 20% остатка. Сколько метров провода было в куске первоначально?

21. В школе 700 учащихся. Среди них 357 мальчиков. Сколько % составляют девочки?

22. На водопой пригнали 220 лошадей и жеребят. Жеребята составляли 15% всего табуна. Сколько жеребят было в табуне?

23. Засеяли 24% поля. Осталось засеять 45,6га этого поля. Какова площадь всего поля?уске первоначально?июле оно обмелело на 12% от уровня июня.

24. На складе было Х кг гвоздей. Кладовщик в первый раз выдал 40% имевшихся гвоздей, во второй раз- 75% остатка. Сколько кг гвоздей осталось на складе? Найдите значение получившегося выражения при Х= 1200; 300; 59.

Очень вредные привычки

1. Статистика показывает, что среди курящих подростков мальчиков — 60%, девочек — 40%. Определить, сколько курящих детей в школе, если в ней 450 мальчиков и 620 девочек.

2. Курящие дети сокращают жизнь на 15%. Определить, какова продолжительность жизни (предположительно) нынешних курящих детей, если средняя продолжительность жизни в России 56 лет

3. Средний вес новорожденного ребенка 3 кг 300 г. Если у ребенка отец курит, то вес малыша будет меньше среднего на 125 г, а если курит мать — меньше на 300 г. Определить, сколько % в весе теряет новорожденный, если курит папа? Мама? Ответь округлить до единиц.

4. Если хороший секретарь-машинистка курит, то на странице печатного текста в 800 знаков у нее будет 4% ошибок. Сколько сделает ошибок машинистка?

5. В 2005 году из 100 мужчин курили 78, а из 90 женщин — 40. Ответ Определить % курящих мужчин и женщин. Ответ округлить до десятых.

6. Определить, сколько процентов своего годового дохода тратит на сигареты человек, выкуривающий одну пачку в сутки, если пачка сигарет стоит 12 рублей, ежемесячная зарплата 4500 рублей в месяце 30 дней).

Огромный вред курильщик наносит здоровью окружающих людей. Нахождение в течение 8 часов в накуренном помещении равносильно пяти выкуренным сигаретам. Табачный дым «эффективен» в радиусе 10 м от дымящей сигареты. Довольно громкий скандал произошел в конце 80-х годов в Англии. Около 30 лет сотрудница одной компании проработала в комнате с 4 курящими мужчинами, результатом чего стало заболевание — рак легких. На основании решения суда компанию принудили выплатить родственникам умершей денежную компенсацию. Во многих странах мира запрещено курение в общественных местах. Во Франции с 1996 года запрещено курить в барах и ресторанах. Всемирная организация здравоохранения выдвинула тезис: «Право некурящих на чистый воздух выше права курящего на курение». НЕ пора и нам задуматься серьезно над вопросом «Жить или курить?» и выбрать тот верный ответ, что необходим каждому из нас.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)