Общие понятия теории неравенств

В последние годы на вступительных экзаменах по математике нередко предлагаются задачи на доказательство неравенств. Особенно часто их дают на устном экзамене. Для решения подобных задач используются самые различные приемы и методы, например, метод интервалов или графический метод.

В данной работе мы рассмотрим способы решения и доказательства неравенств с помощью среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического, среднего квадратичного и среднего степенного чисел. Часто использование теории о средних величинах для решения и доказательства неравенств позволяет по-другому взглянуть на задачу и предложить короткое и изящное решение. Далее мы кратко изложим соответствующую теорию и покажем, как она применяется при решении реальных экзаменационных задач.

Основная часть.

Основные понятия и определения теории о средних величинах.

Общие понятия теории неравенств. Свойства неравенств.

Неравенством с одной или более переменными называются два выражения с одной или несколькими переменными, соединенные знаком неравенства: > (больше), < (меньше), (больше или равно; не меньше), (меньше или равно; не больше). Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых неравенство превращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Рассмотрим две функции f(x) и g(x), определенные на некотором множестве М. Требуется найти все значения переменной, при которых верны числовые неравенства f(x) < g(x). Такого типа задачи принято называть задачами на решение неравенств. Решить неравенство f(x) < g(x), где f(x) и - функции, определенные на некотором множестве М, - это значит найти все значения x, при подстановке которых в неравенство получается верное числовое неравенство или доказать, что таких значений x нет. Каждое такое значение x называется решением неравенства. Совокупность всех решений называется множеством всех решений. Решить неравенство – значит найти его множество решений. Неравенство f(x)

При решении неравенств, так же как и при доказательстве неравенств, фундаментальное значение имеет понятие равносильности неравенств. Два неравенства f1(x)

В некоторых случаях удается, последовательно преобразуя данное неравенство, свести его к более простому неравенству, равносильному исходному. При установлении равносильности неравенств используются следующие утверждения:

1. Неравенства и равносильны на любом числовом множестве.

2. Если и на множестве М принимают только положительные значения, то неравенства и равносильны на М.

3. Если функции , g(x), определены на множестве М, то неравенства f(x)

4. Если функции f(x), g(x), определены на множестве М и >0 на этом множестве, то неравенства f(x)

Если функции f(x), g(x), определены на множестве М и <0 на этом множестве, то неравенства f(x) g(x) равносильны на М.

5. Если функции f(x) и g(x) определены на множестве М и f(x)>0 и g(x)>0, то неравенства f(x)

Если обе части неравенства возвести в нечетную натуральную степень и сохранить знак равенства, то получим неравенство, равносильное данному.

6. Если первое неравенство равносильно второму, а второе – третьему, то первое неравенство равносильно третьему.

Справедливость этих утверждений легко следует из соответствующих свойств числовых неравенств. Аналогичные утверждения верны и для нестрогих неравенств. Заметим, что для доказательства неравносильности двух неравенств на некотором множестве достаточно указать один элемент этого множества, являющийся решением одного неравенства, но не удовлетворяющий другому неравенству.

Рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции. Иррациональными неравенствами называют неравенства, в которых переменные или рациональные функции переменных находятся под знаком радикала. Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам. Освободиться от корней часто удается путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Решение неравенства с одним или несколькими параметрами представляет собой более сложную задачу. Решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Часто встречается другая постановка задач, связанная с неравенствами. Помимо неравенства задается некоторое множество значений переменной и требуется доказать, что все его элементы принадлежат множеству решений данного неравенства. Такие задачи принято называть задачами на доказательство неравенств. Для решения подобных задач используются разные приемы, например, метод интервалов или графический метод.

В данной работе мы рассмотрим способы решения и доказательства неравенств с помощью среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического,среднего квадратичного и среднего степенного чисел.

Задачи, где неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел, используется при решении уравнений, неравенств и систем методом оценок, нередко появляются в вариантах письменных экзаменов.

1. 2. Основные определения и понятия теории средних величин

1. 2. 1. Случай двух чисел

Определение среднего арифметического двух чисел хорошо известно.

Определение1. Средним арифметическим чисел и называется число

А(x1; x2) = (1)

Если числа x1 и x1 равны, то их среднее арифметическое совпадает с ними. Если же они различны, то на числовой оси среднее арифметическое лежит точно посередине между точками x1 и x2.

Поговорим теперь о среднем геометрическом двух чисел.

Определение 2. Средним геометрическим неотрицательных чисел x1 и x2 называется число G(x1; x2) = (2)

Если x1 и x2 отрицательны, тогда термин «среднее» не будет оправдан, так как число положительно и не может лежать между числами x1 и x2 (например, если x1=-4, а x2=-1,то =2).

Основное утверждение для среднего арифметического и среднего геометрического двух неотрицательных чисел x1 и x2, — это знаменитая теорема (неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел):

Теорема 1. Если числа x1 и x2 неотрицательны, то или, используя обозначения (1), (2),

G(x1; x2) А(x1; x2) (3) причем это нестрогое неравенство сводится к равенству тогда и только тогда, когда x1= х2: = x1= х2 (4)

На вступительных экзаменах часто приходится пользоваться важным следствием этих результатов — неравенством для суммы двух взаимно обратных положительных чисел x1= x и x2=.

Теорема 2. Если x > 0, то х + 2, причем

+=2 х=1

Более того, наличие в задаче двух взаимно обратных чисел часто является сигналом, что решение должно базироваться на этом неравенстве.

Если в задаче стоит сумма двух взаимно обратных чисел t = х+, но из условия задачи не следует, что они положительны, то нужно рассматривать два случая: х > 0 и х < 0. В первом случае можно применять теорему 2, что дает оценку t 2. Во втором случае часто полезно следующее преобразование: t = -. Число –х уже положительно. Поэтому теорема 2 влечет, что. Соответственно, можно утверждать, что t=х+-2, причём знак равенства в этом нестрогом неравенстве стоит тогда и только тогда, когда х=-1(напомним, что мы рассматриваем случай х<0 ).

Решение многих экзаменационных задач становится проще, если использовать другие средние: среднее гармоническое и среднее квадратичное.

Определение 3. Средним гармоническим положительных чисел x1 и x2 называется число H(; ) ==

Поскольку , среднее гармоническое — это такое число, что обратное к нему является средним арифметическим чисел, обратных к исходным.

Требование положительности чисел x1 и x2 кроме справедливости прочих естественных утвёрждений, гарантирует существование числа.

Как и для среднего арифметического и среднего геометрического, легко доказать, что среднее гармоническое лежит между числами x1 и x2 (совпадая с ними в случае, когда числа равны).

Теорема 3. Если числа x1 и x2 — положительны, то

H(; ) G(; ) (5) причем это нестрогое неравенство сводится к равенству тогда и только тогда, когда x1= x2.

Определение 4. Средним квадратичным неотрицательных чисел x1 и x2 называется число: K(; )=

Другими словами, среднее квадратичное – это такое неотрицательное число, что его квадрат является средним арифметическим квадратов исходных чисел.

Как и для среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического, легко доказать, что среднее квадратичное лежит между числами x1 и x2 (совпадая с ними в случае, когда числа равны). Следует отметить, что величина имеет смысл для любых действительных x1 и x2 (не обязательно неотрицательных), но тогда она может и не лежать между точками x1 и x2. Например, если x1=-7, x2=1 то =5 – в этом случае термин среднее квадратичное вряд ли оправдан. Тем не менее часто число называют средним квадратичным и в случае, когда одно или оба из чисел x1 и x2 отрицательны.

Аналогом предыдущих неравенств для средних является следующее неравенство для среднего арифметического и среднего квадратичного.

Теорема 4. Если x1 и x2 — неотрицательные действительные числа, то

А(x1; x2) K(x1; x2) (6) причем это нестрогое неравенство сводится к равенству тогда и только тогда, когда x1 = x2.

По аналогии со средним квадратичным вводят более общее понятие среднего степенного порядка n.

Определение 5. Средним степенным порядка n неотрицательных чисел x1 и x2 называется число Sn (x1; x2)= =

Другими словами, среднее степенное порядка n — это такое неотрицательное число, что его п-ая степень является средним арифметическим n-ых степеней исходных чисел.

Как и для среднего арифметического, среднего геометрического и среднего гармонического, легко доказать, что среднее степенное порядка п лежит между числами x1 и x2 (совпадая с ними в случае, когда числа равны). Следует отметить, что величина определена для любых действительных x1 и x2 (не обязательно неотрицательных), но она может и не лежать между точками x1 и x2.

Среднее степенное порядка n=2 — это введенное ранее среднее квадратичное; среднее степенное порядка п=1 — это среднее арифметическое. Более того, среднее гармоническое можно рассматривать как среднее степенное порядка п =-1.

Для средних степенных порядка п можно получить следующие неравенства:

S1 (x1; x2) S2 (x1; x2) S3 (x1; x2) S4 (x1; x2) (7)

Доказанные выше теоремы, связывающие между собой различные средние, в случае x1 > 0, x2 > 0 можно объединить в следующую цепочку неравенств:

H (x1; x2) G (x1; x2) A (x1; x2) K (x1; x2), причем все равенства достигаются при x1 = x2.

1. 2. 2 Обобщение на случай произвольного количества чисел

Мы определили средние значения для двух чисел. В математике вводят аналогичные понятия для произвольных наборов чисел.

Определение 6. Средним арифметическим чисел x1,, xn называется число

A (x1;;xn)=

Если x(1)= min (x1;;xn) — наименьшее из этих чисел, а x(n) = maх (x1;;xn)— наибольшее из них, то для любого k = 1,. , п верно неравенство x(1) A(x1;;xn) x(n).

Определение 7. Средним геометрическим неотрицательных чисел x1,,xn называется число G (x1;;xn)=.

Как и для среднего арифметического, легко доказать, что x(1) G (x1;;xn) x(n).

Определение 8. Средним гармоническим положительных чисел x1,,xn называется число H (x1;;xn)=.

Иначе говоря, среднее гармоническое — это число, обратное к среднему арифметическому чисел, обратных к исходным:

Как и для среднего арифметического, легко доказать, что x(1) H (x1;;xn) x(n).

Определение 9. Средним квадратичным неотрицательных чисел x1,,xn называется число K (x1;;xn)=

Иначе говоря, среднее квадратичное — это такое неотрицательное число, что его квадрат является средним арифметическим квадратов исходных чисел:

K2(x1;;xn)= A (;;).

Как и для среднего арифметического, легко доказать, что x(1) K (x1;;xn) x(n).

Для введенных средних значений (среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное) для произвольного набора чисел справедливы неравенства, аналогичные доказанным ранее, для случая n=2.

Теорема 5. Если числа x1,,xn неотрицательны, то

G (x1;;xn) A (x1;;xn) (8) причем это нестрогое неравенство сводится к равенству тогда и только тогда, когда ==

Теорема 6. Если числа x1,,xn положительны, то

H (x1;;xn) G (x1;;xn),(9) причем это нестрогое неравенство сводится к равенству тогда и только тогда, когда == xn.

Теорема 7. Если числа x1,,xn неотрицательны, то

А(х1;. ;хn)К(х1;. ;хn), (10) причем это нестрогое неравенство сводится к равенству тогда и только тогда, когда == хn.

2. Решение задач

Все последующие задачи были предложены в разные годы на вступительных экзаменах в МГУ.

Задача №1. Докажите, что если x1, x2, x3 – положительные числа, то

Решение. Перепишем данное неравенство в виде:

+ + 3

Введем новые переменные:a=, b=, c=;

Сложим их поочередно: b + c = + + = 2 + + a + c = + = 2 + + a + b = + = 2 + +

Основные переменные могут быть выражены через них в виде:

2 = b + c – () = b + c – a

2 = a + c – ( + ) = a + c – b

2 = a + b – ( + ) = a + b – c

Соответственно неравенство, которое нужно доказать, примет вид:

В силу неравенства для суммы двух взаимно обратных положительных чисел, каждая из трех скобок в левой части последнего неравенства больше или равна 2, что и требовалось доказать.

Задача №2. Докажите справедливость неравенства для любых действительных чисел a, b, c.

Решение. Рассмотрим слагаемое.

Выражение представляет сумму двух взаимно обратных чисел.

Рассмотрим 2 варианта: а>0 и a<0.

1) а>0, в этом случае по теореме имеем

2) в случае a<0 <0, т. е.

Аналогично можно оценить каждое слагаемое левой части исходного выражения, тогда получим:

++ , что и требовалось доказать.

Задача № 3. Докажите, что если положительные числа a, b, c таковы, что a+b+c=1, то + + 9.

Решение. Перепишем данное неравенство в виде 3.

Левая часть выражения – среднее арифметическое чисел , , :

Среднее арифметическое положительных чисел a,b,c А(a;b;c)=. Т. к. по условию) a+b+c=1, то А(a;b;c)=.

По определению среднего гармонического

А(a;b;c)= ==3.

В результате исходное неравенство сводится к неравенству для среднего арифметического и среднего гармонического:.

Задача №4. Докажите, что для любых четырех положительных чисел a, b, c и d выполняется неравенство (a+b+c+d)16.

Решение. Перепишем данное неравенство в виде.

Левая часть выражения – это среднее арифметическое четырех положительных чисел a, b, c и d - A(a;b;c;d)=.

Рассмотрим правую часть выражения.

По определению среднего гармонического H(a;b;c;d)=.

В результате исходное неравенство сводится к неравенству для среднего арифметического и среднего гармонического: A(a;b;c;d) H(a;b;c;d).

Задача №5. Пусть a, b, c – положительные числа и. Докажите, что

Решение. По условию b=.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

+4+4+++4 +3 1 ac

Т. к. = A(a2;c2), а ac = G(a2;c2), то исходное неравенство сводится к неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух положительных чисел: A(a2;c2) G(a2;c2).

Задача №6. Сумма четырех чисел равна 2. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 1.

Решение. Пусть a, b, c, d – исходные числа. По условию a+b+c+d=2. Требуется доказать, что 1.

Среднее арифметическое четырех чисел a, b, c, d

A(a;b;c;d)= ==

Перепишем данное неравенство в виде

Из последней формулы мы видим, что левая часть уравнения – это среднее квадратичное четырех чисел a, b, c, d K(a;b;c;d). А правая часть уравнения, как выше доказано, - среднее арифметическое тех же чисел A(a;b;c;d). Таким образом, исходное неравенство сводится к неравенству для среднего арифметического и среднего квадратичного четырех указанных чисел:

K(a;b;c;d) A(a;b;c;d).

Задача №7. Докажите, что если +=1, то справедливо неравенство x+y.

Решение. Выполним преобразование

+ + 2xy - 2xy =(x + y)2 - 2xy=1(x + y)2=1+2xy x + y=

Оценим величину.

Если x0, y0, то справедливо неравенство (т. е. A(;)G(;)). Тогда получим: 2xy + 2xy1.

В этом случае максимальное значение выражения ==.

В случае, если x или y – отрицательное число, справедливость неравенства сохраняется. +1.

В этом случае минимальное значение выражения =-.

Таким образом, максимальное значение выражения =, а минимальное =-.

Задача №8. Положительные числа a и b таковы, что a+b2. Докажите, что +2.

Решение. Запишем неравенство для среднего арифметического и среднего степенного порядка 3 чисел a и b:

S3(a;b) A(a;b) +2

Т. к. a+b21 +2

Задача №9. Докажите, что , если a+b1.

Решение. Перепишем доказываемое неравенство в виде

Т. к. (по условию) , то мы получаем неравенство для среднего степенного порядка 4 и среднего арифметического чисел a и b:

S4(a;b) A(a;b).

Задача №10. Докажите, что для любых положительных чисел a и b и любом натуральном n справедливо неравенство <.

Решение. Преобразуем исходное неравенство

Используем неравенство для среднего арифметического и среднего степенного порядка n положительных чисел a и b: A(a;b) Sn(a;b)

Т. к. >1 , то левая часть полученного выражения ни при каких условиях не может быть равна правой, и неравенство приобретает вид <

Задача №11. Сравните числа +и 2.

Решение. Предположим, что +> 2.

Преобразуем неравенство: >.

Левая часть неравенства – среднее арифметическое чисел и , а правая – их среднее квадратичное:

Поэтому наше предположение, что +> 2 - неверно.

Т. к. A()K(), то +< 2.

Задача №12. Докажите, что сумма длин медиан треугольника не менее, чем в девять раз превосходит радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Решение. Пусть , , - стороны треугольника, , , - медианы,

, , - его высоты, а - радиус вписанной окружности

Существуют величина, связанная с высотами треугольника и с радиусом вписанной в треугольник окружности – площадь треугольника S:

=, =, =, =(.

Исключим из данных равенств переменную и выразим высоты через стороны: =; =; =.

Складывая эти равенства почленно, получим:

Рассмотрим правую выражения:

++=1++++1++++1=

Выражение внутри каждой из скобок – это сумма двух взаимно обратных чисел, для которых характерно следующее неравенство:

+2; +2; +2.

Поэтому можем записать следующее неравенство:

++6++9.

Поэтому: 9 r

Известно, что высота треугольника – кратчайшее расстояние от вершины треугольника до прямой, содержащей противолежащую сторону, поэтому:

Поэтому: 9r

Задача №13. Докажите, что S,

Где S – площадь треугольника, a и b - любые его стороны.

Решение. Одна из формул площади треугольника имеет вид:

S=ab, где - угол между сторонами a и b

Т. к. , то справедливо неравенство abab (где a и b - положительные числа по условию задачи)

Составим неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического чисел a и b:

Тогда имеем S=abab, т. е. S.

Задача №14. Решите систему уравнений

Решение. Рассмотрим правые части уравнений.

Сначала рассмотрим случай >0: +, где =1,2,,

Согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим

2+2+ - 2+20

Равенство достигается при

Рассмотрим разность -. Обозначим +=t 2. Тогда 2= t =

2- 2=+ - = -.

Полученное выражение обращается в ноль при 2. Т. к. 2, то 2- 2<0, т. е. - 0 или.

Аналогично докажем , , , , т. е.

Причем равенство достигается только при =

Рассмотрим разность - : 2 - 2 = +- 2= -

Т. к. 2, то 2 - 20, т. е. , причем равенство достигается только при ==

В случае <0 + -2, а равенство возможно только при = - 2.

Рассуждая аналогично, получим =====-

Заключение

Многие Вузы включают в материалы вступительных экзаменов неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требуют нестандартного подхода к решению. Использование понятий среднего арифметического, среднего геометрического, среднего гармонического, среднего квадратичного и среднего степенного чисел и теорем, связывающих эти понятия, часто помогает кратко и эффектно решить исходные неравенства.

Готовя данную работу, я ставил целью более глубокое изучение этой темы, выявления наиболее рациональных решений, быстро приводящих к ответу. На мой взгляд, использование понятий среднего арифметического, среднего геометрического, среднего квадратичного и среднего степенного чисел является удобным и быстрым способом решения многих неравенств. В моей работе рассмотрены примеры решения неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.