Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений

Для решения тригонометрических уравнений используется несколько основных формул, около 20 дополнительных, и всего 8 методов решения. Все эти методы по-своему хороши и применимы для разных видов тригонометрических уравнений. Главная задача при решении тригонометрического уравнения состоит в том, чтобы правильно преобразовать его, свести к какому-нибудь более стандартному варианту подобрать наилучших способ решения для конкретного случая. То есть, в большинстве своём, главная проблема заключается в том, что уравнения надо непременно сначала привести к какому-то виду, прежде чем применить нужный метод решения.

Итак. как я уже сказала, основным методов решения тригонометрических уравнений 8:

1)Разложение одной из частей уравнения на множители.

В данном случае мы все слагаемые переносим в левую часть, раскладываем её на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

Недостаток метода: может быть применён только к узкому кругу уравнений.

2)Замена переменной.

В данном случае уравнение приводят к такому виду, чтобы остался только один вид тригонометрической функции, а затем заменяют её на новую переменную. После решения уравнения относительно введённой переменной, остаётся только решить получившиеся простейшие тригонометрические уравнения согласно базовым формулам.

Преимущество метода: может быть применён к любому тригонометрическому уравнению (если только это целесообразно), так как все тригонометрические функции можно выразить друг через друга. Может также применяться совместно с другими методами.

Недостаток метода: Иногда, пытаясь свести всё уравнение к одному типу тригонометрической функции, мы получаем слишком сложное уравнение, так как не все функции связаны простыми зависимостями. К тому же метод нецелесообразен, когда в уравнении много разных тригонометрических функций.

3)метод решения однородных тригонометрических уравнений. В данном случае мы сначала приводим уравнения к однородному тригонометрическому уравнению. Затем делим обе части на cos x/cos2x/cos3x в зависимости от степени уравнения. Затем производим замену переменной и решаем методом замены переменной.

Преимущество метода: очень прост в применении. Одинаков для всех тригонометрических уравнений одной степени.

Недостаток метода: Далеко не все тригонометрические уравнения можно привести к виду однородных.

4) Решение уравнений вида a*cos x + b*sin x = c с помощью введения вспомогательного угла.

Недостаток метода: можно решить только уравнения определённого вида или сводимые к ним уравнения.

5) Метод подстановки.

В этом случае вместо часто повторяющейся разности или суммы двух функций подставляют переменную, решают уравнение относительно неё, а затем возвращаются к сумме или разности функций, которая была заменена.

Преимущество метода6 даёт большие результаты в комплексном использовании вместе с другими методами.

Недостаток метода: редко применим к сложным уравнениям.

6)Решение тригонометрических уравнении, содержащих обратные тригонометрические функции.

7)Метод универсальной подстановки.

Преимущество: применим для большинства уравнений. В сопряжении с другими методами едва ли не уникален.

Недостаток: после применения подстановки сужается область определения уравнения, поэтому все значения необходимо проверять.

8) ограниченность функций(графический способ). Каждая часть уравнения рассматривается как отдельная функция, причём первая из них – тригонометрическая, а вторая – алгебраическая, строятся графики этих функций, находятся их пересечения.

Преимущество метода: Наглядность, отсутствие сложных преобразований.

Недостатки: Невозможность построения некоторых графиков. Возможность неточностей в определении координат точек пересечения. Возможность ошибки в построении.

*9) Решение тригонометрических уравнений с параметрами.

также существуют общие правила решения тригонометрических уравнений. Во время решения необходимо решать задачи:

1) отсева посторонних корней,

2) потери корней,

3) пересечения решений.

Основная часть.

Общие правила решения тригонометрических уравнений:I.

Решение тригонометрических уравнений сводится, как правило, к решению простейших уравнений: a) sin x = a.

Все решения можно описать формулой: x = (-1)k arcsin a + k, где k – число целое.

b) cos x = a.

Все решения можно описать формулой: x = arccos a + 2k, где k – число целое.

c) tg x = a.

Все решения можно описать формулой: x = arctg a + k, где k – число целое.

d) ctg x = a.

Все решения можно описать формулой: x = arcсtg a + k, где k – число целое.

Если a = 0, то для решения уравнений используются следующие частные формулы: sin x = 0, x = k, где k – число целое.

sin x = 1, x = +2k, где k – число целое.

sin x = -1, x = - + 2k, где k – число целое.

cos x = 0, x = +k, где k – число целое.

cos x = 1, x = 2k, где k – число целое.

cos x = -1, x = +k, где k – число целое.

tg x = 0, x = k, где k – число целое.

ctg x = 0, x = +k, где k – число целое.

1 метод: Разложение одной из частей уравнения на множители.

При данном методе решения всё переносится в левую часть уравнения так, чтобы в правой при этом оставался 0. Затем левая часть уравнения раскладывается на множители и далее уравнение решается согласно известному правилу: если произведение равно нулю, значит хотя бы один из множителей равен нулю. Так мы получаем из сложного уравнения совокупность простых уравнений вида cos t = a, sin t = a, tg t = a, ctg t = a, для решения которых используются вышеприведённые формулы

Примеры применения данного метода:

1) 4sin tcos t – 2cos t + 2sin t - 1 = 0

(2sin t – 1)(2cos t + 1) = 0

2sin t – 1 = 0 или 2cos t + 1 = 0 sin t = или cos t = -

Тогда: t = (-1)karcsin + k, k – число целое или t = arcos(-) a + 2k, где k – число целое.

Иначе: t = (-1)k + k, k – число целое или t = + 2k, где k – число целое.

2) 3tg2 t – 2tg t = 0 tg t (3tg t – 2) = 0 tg t = 0 или 3 tg t – 2 = 0 tg t = 0 или tg t =

Тогда: t = arctg 0 + k = k, где k – число целое или t = arctg + k, где k – число целое.

3) ctg t = ctg3 t ctg t – ctg3 t = 0 ctg t( – ctg2 t) = 0 ctg t( – ctg t)( + ctg t) = 0 ctg t = 0 или – ctg t = 0 или + ctg t = 0

Тогда: t = + k, k – число целое.

t = arcctg + k, где k– число целое t = ( – arcctg ) + k, где k – число целое.

4) 1 – sin xcos x = sin x – cos x

1 – sin xcos x – sin x + cos x = 0

(sin x -1) + cos x (sin x – 1) = 0

(cos x + 1)(sin x – 1) = 0 cos x + 1 = 0 или sin x – 1 = 0 cos x = -1 или sin x = 1 x1 = + k, где k– число целое.

x2 = + 2n, где n – число целое.

2 метод: Замена переменной.

При данном методе решения также все слагаемые переносятся в левую часть, в правой остаётся 0, а тригонометрическая функция в уравнении заменяется переменной. Далее уравнение решается как обычное квадратное уравнение относительно этой переменной. После нахождения значений необходимо заменить переменную соответствующей тригонометрической функцией и найти корни исходного уравнения по формулам.

Примеры применения данного метода:

1) 3cos2 x = 7(sin x +1)

3 – 3sin2 x – 7sin x – 7 = 0

3sin2 x + 7sin x + 4 = 0

Пусть sin x = a, тогда:

3a2 + 7a + 4 = 0

D = 49 – 4*12 = 1 a1 = = -1 a2 = = = , посторонний корень.

Т. к. a = sin x, то: sin x = -1 x = (-1)k+1 * arcsin1 + k, k – число целое.

x = (-1)k+1 * + k, k – число целое.

2) tg2 x + 2tg x – 3 = 0

Пусть tg x = a, тогда: a2 + 2a – 3 = 0

D = 4 + 12 = 16 = 42 a1 = = 1 a2 = = -3

Т. к a = tg x, то: tg x = -3 или tg x = 1 x = -arctg 3 + k или x = + k, где k – число целое.

3) + 10 = + 7

2ctg2 x + 10 + 5ctg x – 7 = 0

2ctg2 x + 5 ctg x + 3 = 0

Пусть ctg x = a, тогда:

2a2 + 5a + 3 = 0

D = 25 – 423 = 1 a1 = = -1 a2 = = -1. 5

Т. к. a = ctg x, то: ctg x = -1 или ctg x = - 1. 5 x = – arcctg1 + k или x = – arcctg1. 5 + k, где k – число целое.

x = + k или x = – arcctg1. 5 + k, где k – число целое.

4)Перепишем уравнение в виде получили уравнение, однородное относительно и Рассмотрим два случая:

1)тогдаоткудачто невозможно, поскольку в этом случае корней нет.

2)тогда разделим обе части уравнения на Пусть Получим откуда Осталось решить уравнения и

Ответ: где

3 метод: Применяется к однородным тригонометрическим уравнениям.

Определение однородных тригонометрических уравнений:

Уравнение вида asin x + bcos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

Уравнение вида asin2 x + bsin xcos x+ ccos2 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Уравнение вида asin3 x + bsin2 xcos x+ csin xcos2 x + dcos3 x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением третей степени.

А вообще тригонометрическое уравнение называют однородным, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.

1)Итак, однородные тригонометрические уравнения первой степени решают так:

Сначала обе части уравнения делим почленно на cos x, получим: asin x + bcos x = 0

Выполнив преобразования, получим: atg x + b = 0 tg x =

Отсюда по формуле находим x.

2)Однородные тригонометрические уравнения второй степени решают так: asin2 x + bsin xcos x+ ccos2 x = 0 cos2 x

+ + =

Выполнив преобразования, получим: atg2 x + btg x + c = 0

Далее решаем уравнение методом замены переменной. (см. пример 4) к этому методу).

3)Однородные тригонометрические уравнения третей степени решают так: asin3 x + bsin2 xcos x+ csin xcos2 x + dcos3 x = 0 cos3 x

+ + + = 0

Выполнив преобразования, получим: atg3 x + btg2 x + ctg + d = 0

Далее производим замену переменной и решаем получившееся кубическое уравнение относительно новой переменной. Затем возвращаемся к замене и вычисляем по формуле корни уравнения.

Примеры применения данного метода:

1) sin2 x + 2sin( – x) cos x – 3cos2 (2 – x) = 0

Выполнив преобразования, получим: sin2x + 2sin xcos x – 3cos2 x = 0 cos2 x

+ - = tg2x + 2tg x – 3 = 0

Получаем уравнение, уже решённое нами как пример 2 ко второму методу решения тригонометрических уравнений.

2) 3sin2 3x -2 3 sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2

Данное уравнение не является однородным уравнением, поэтому сначала его необходимо привести к виду asin2 x + bsinxcos x+ ccos2 x = 0.

sin2t + cos2t = 1

Тогда 2sin2t + 2cos2t = 2. Заменим t на 3x. Получим равенство:

2sin23x + 2cos23x= 2

Подставим выражение из левой части в правую часть исходного уравнения. Получим:

3sin2 3x - 2sin3xcos3x + 5cos2 3x = 2sin23x + 2cos23x

3sin2 3x - 2sin3xcos3x + 5cos2 3x – 2sin23x – 2cos23x = 0 sin2 3x - 2sin3xcos3x + 3cos2 3x = 0 cos2 3x

- + = tg2 3x – 2tg3x + 3 = 0

Пусть z = tg3x, тогда: z2 – 2z + 3 = 0

(z-)2 = 0 z =, т. е. tg 3x =

Тогда по формуле 3x = arctg + k

3x = П/3 + k x = П/9 + Пk/3, где k – число целое

3) 2sin x – 3cos x = 0

2tg x – 3 = 0 tg x = 1. 5 x = arctg 1. 5 + k, где k – число целое.

4 метод: Решение уравнений вида a*cos x + b*sin x = c с помощью введения вспомогательного угла.

a*cos x + b*sin x = c

Разделим обе части уравнения на = 0.

Легко проверить, что

+ = 1 этому существует такой угол, что cos =, sin =

Если c2 a2 + b2, то найдётся такой угол n,что = cos. В этом случае получим уравнение coscos x + sinsin x = cos cos(x –) = cos, равносильное данному. Решая это уравнение, находим множество решений x = ++ , k – число целое. Если же условие c2 a2 + b2 не выполняется, то уравнение решений уравнение решений не имеет.

Примеры применения данного метода:

1) sin 2x + cos 2x + 1 = 0

+ = sin 2xcos + cos 2xsin = sin(2x + ) =

Откуда x = (-1)k+1 – + , где k – число целое.

2) 12cos x – 5sin x + 13 = 0

Разделив обе части уравнения на = 13, получим cos x – sin x = -1

Полагая cos= и sin=, записываем cos(x +) = -1, где = arccos = arcsin. Решая это уравнение, находим x + = +2k, где k – число целое x = -+ +2k, где k – число целое, откуда x = -arccos + (2k = 1), где k – число целое.

5 метод: Метод подстановки.

Иногда методом введения вспомогательного угла = решаются уравнения, содержащие одно из выражений sin x + cos x, sin x – cos x или sin xcos x. При этом вводят подстановку t = sin x + cos x или t = sin x – cos x и, учитывая, что sin 2x = 2sin xcos x = (sin x + cos x)2 – 1 = t2 – 1 или sin 2x = 1 - (sin x - cos x)2 = 1 – t2, приходят к уравнению относительно переменной t.

Примеры применения данного метода:

1) sin x + cos x = 1 – sin 2x

Обозначим t = sin x + cos x, тогда sin 2x = t2 – 1, поэтому t = 1 – (t2 – 1) t2 + t – 2 = 0,t1 = 1,t2 = -2, откуда: 1) sin x + cos x = 1, x1 = (-1)k – + k, где k – число целое

2) уравнение sin x + cos x = -2 решений не имеет, так как

= cos < 2

Заметим, что при решении тригонометрических уравнений часто произведения разноимённых или одноимённых тригонометрических функций вида sinx* cosx, sinx*sinx, cosx*cosx следует записать в виде суммы или разности этих функций.

6 метод: Решение тригонометрических уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, проводя аналогии с решением подобных уравнений с прямыми тригонометрическими функциями на основе определения зависимости между этими функциями.

Примеры применения данного метода:

1) arcsin x = -

Так как – < - < , то x = sin (-) =

2) arcsin2 x – П/2 arcsin x + П2/18 = 0

Воспользуемся методом замены: t = arcsin x, тогда t2 – П/2 t + П2/18 = 0

Решив это уравнение. получим: t1 = , t2 =.

Т. е. arcsin x = или arcsin x =.

Отсюда x1 = , x2 =.

7 метод: Метод универсальной подстановки.

При решении тригонометрических уравнений можно использовать и так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:

Если теперь ввести обозначение то

С помощью универсальной подстановки мы можем любое уравнение вида свести к алгебраическому уравнению. Важно при этом помнить, что, делая замену, мы можем потерять те корни исходного уравнения, для которых не определён, то есть значения их мы должны проверять отдельно.

В общем о решении тригонометрических уравнений.

При решении тригонометрических уравнений следует соблюдать общие правила: следить за равносильностью преобразований, не допускать потери корней, отбрасывать посторонние корни.

1) Отсев посторонних корней.

При решении уравнений вида возникает проблема отсеивания посторонних корней. Напомним, что

Примеры:

Далее из соотношения получаем , но тогда и

Замечание1.

Найдя корни уравнения, необходимо выбрать те значения m, которые удовлетворяют неравенству Так как период функций, входящих в уравнение, равен , то достаточно выполнить проверку на любом отрезке длины , например, на отрезке На этом отрезке необходимо проверить значения и. Только во второй точкеЭто значение с периодичностью и будет давать ответ.

Замечание2.

Можно заметить, что при Неравенство системы оставляет только один из возможных вариантов -

Область определения уравнения

Выполняя очевидные преобразовании, получим и В результате получаем систему

Ясно, что тогда, когда т. е. Легко видеть, что при но тогда

Находим область определения уравнения:

Решаем уравнение:

Если ,то

Если то

Но область определения даёт тогда но поэтому корни уравнения содержатся среди корней уравнения

В результате получаем систему

Попарная проверка соотношений приводит к соотношения которые всегда выполняются, так как в левой части этих неравенств чётные числа, а в правой – нечётные.

Покажем, что область определения уравнения есть все значения x, удовлетворяющие двойному неравенству <1. Действительно, где Таким образом, При при т. е. Аналогично, где Таким образом Очевидно, что и при т. е. Из исходного уравнения следует, что Ясно, что Теперь замечаем, что Для определения допустимых значений n решаем двойные неравенства Неравенство выполнено при любых а вот неравенство не выполнено ни при каком значении таким образом, не существует решений уравнения при Второе двойное неравенство приводится к виду откуда поэтому и

2) Потеря корней.

При решении некоторых тригонометрических равнений может произойти потеря корней. Это связано с применением формул, у которых левая и правая части имеют различные области определения, причём правая часть имеет более узкую область определения, чем левая. Это, например, формулы и т. д.

Замена при решении тригонометрических уравнений левой части указанных формул правой части может привести к потере корней, так как происходит сужение области определения уравнения. Поэтому после применения формул с различными областями определений необходимо выполнить проверку для тех значений неизвестного, при которых не определена правая часть формул. но определена их левая часть.

Примеры:

Для данного уравнения Заменяем исходное уравнение на уравнение

В первоначальном уравнении числа вида принадлежат области определения уравнения, а в полученном уравнении – нет, поэтому проверяем, не являются ли числа вида корнями данного уравнения:

- равенство верное.

Значит, - решение данного уравнения.

Продолжим решение уравнения

Ответ: ;

Область допустимых значений определяется системой неравенств: откуда Применяя формулы с и приходим к уравнению при этом произошло сужение области определения – добавилось ограничение

Для простоты дальнейшего решения положим где тогда уравнение принимает вид Так как то, сократив обе части уравнения на получим

Поскольку то Последнее уравнение положительных корней не имеет, так как при и непосредственная проверка показывает, что числа вида являются корнями данного уравнения.

Находим область определения уравнения. Очевидно, что Замечая, что приходим к уравнению Произошло сужение области определения – к ранее полученным ограничениям на x добавляется новое: Так как равенство верное, то - решение данного уравнения. Введём обозначение тогда последнее уравнение примет вид При и оно равносильно уравнению

или откуда или Но тогда

3) Пересечение решений.

Запись решения тригонометрического уравнения часто связана с понятиями «объединение» и «пересечение» множеств». Обычно при решении уравнений получаются серии корней и ответ записывается в виде объединения этих серий. Но иногда эти серии пересекаются. В этом случае следует исключить повторяющиеся решения. Кроме того, в ответе не должно быть значений неизвестных, при которых выражения в левой и правой частях уравнения не определены. Такие значения, если они появились в процессе решения, надо исключить. Для этого также следует найти пересечения различных серий. При решении некоторых тригонометрических уравнений их заменяют эквивалентной совокупностью уравнений и находят объединение множеств решений этих уравнений.

Пример:

Допустимые значения неизвестного x определяются условиями откуда Эти три условия можно заменить одним: Увидеть это можно, например, на тригонометрическом круге: множество всех чисел вида содержит в себе числа видов Умножив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному на множестве допустимых значений Заметив, что получим

Но поэтому последнее уравнение равносильно совокупности уравнений и которые дают соответственно следующие серии корней: и Поскольку а при получается серия исключается. Рассмотрим серию исключим такие целые k, при которых найдётся такое n, что выполнится равенство или решим это уравнение в целых числах. Левая часть уравнения делится на 4, поэтому и откуда Числа - нечётные, поэтому и Значит, Отсюда следует, что в серии нужно исключить все корни, соответствующие значениям Значит, где - все решения исходного уравнения.

Решение тригонометрических уравнений с параметрами.

1) В зависимости от значений параметра a решить уравнение и определить число его корней на отрезке

Допустимые значения переменной х задаются системой

Исходное уравнение равносильно уравнению которое равносильно совокупности двух уравнений

Так как то второе уравнение системы решений не имеет. Рассмотрим первое уравнение системы. Так как здесь числитель должен равняться нулю, т. е. то При таких значениях х с учётом области допустимых значений находим, что. Итак, при из неравенств следует, что Этим неравенствам удовлетворяют девять целых значений k и, следовательно, исходное уравнение имеет девять решений на заданном промежутке.

Пустьтогда первое уравнение системы запишется в виде Исключая из множества решения уравнений и получим А тогда решая неравенство находим, что и, таким образом, существует пять целых решений рассматриваемого неравенства. Рассмотрим случай При таком значении параметра а имеем уравнение Здесь уже надо из множества решений исключить решения уравнений и Сделав это, получим решая же неравенство окончательно находим, что при исходное неравенство имеет четыре решения.

Ответ: если , то девять корней если то пять корней если то четыре корня

2) При каких значениях параметров a и b уравнение имеет единственное решение? решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством то условия А=В, С=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы

Из первого уравнения этой системы находим, что А так как то приходим к рассмотрению систем и

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда, с учётом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы ответ здесь очевиден.

Ответ: любое.

3) В зависимости от значений параметров a и b решить уравнение

Обозначив получим систему откуда находим Но так как то и значит

Ответ: если то при других значениях a и b решений нет.

4) В зависимости от значений параметра а решить уравнение

Допустимыми значениями переменной х являются все При таких значениях х полагая перепишем уравнение в виде Если то При записанное уравнение равносильно совокупности Дискриминанты обоих уравнений совокупности совпадают и имеют вид: Поэтому, если то решений у уравнения нет.

Пусть В этом случае решая уравнения совокупности, находим, что

При имеем В остальных случаях все корни определяются формулами.

Ответ: если то решений нет; если то если , то при остальных значениях параметра а

Вывод по работе:

Я провела исследования по способам решения тригонометрических уравнений, выявила 9 основных методов решения тригонометрических уравнений, положительные и отрицательные черты этих методов, решила уравнения, которые не подлежат решению стандартными способами, выявила другие методы решения тригонометрических уравнений. Узнала. что особое внимание следует обратить на решение тригонометрических уравнений с параметрами, поскольку их решение наименее стандартно. При решении нестандартных тригонометрических уравнений следует умело анализировать зависимости между различными тригонометрическими функциями и уметь творчески подходить к работе.

Данная работа имеет большое практическое значение, т. к. тригонометрические уравнения часто содержатся в материалах ЕГЭ и экзаменов для поступления в вузы, а в школьном курсе математике недостаточно изучаются. Исследование может быть употреблено как материал для проведения предметных факультативов по алгебре или при подготовке к ЕГЭ.