Моделирование физических процессов

Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения физических систем. Часто компьютерные модели проще и удобнее исследовать, они позволяют проводить вычислительные эксперименты, реальная постановка которых затруднена или может дать непредсказуемый результат.

Различают аналитическое и имитационное моделирование. Аналитическими называются модели реального объекта, использующие алгебраические, дифференциальные и другие уравнения, а также предусматривающие осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению. Имитационными называются математические модели, воспроизводящие алгоритм функционирования исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Математические модели являются одним из основных инструментов познания человеком явлений окружающего мира. Под математическими моделями понимают основные закономерности и связи, присущие изучаемому явлению. Это могут быть формулы или уравнения, наборы правил или соглашений, выраженные в математической форме. Испокон веков в математике, механике, физике и других точных науках естествознания, для описания изучаемых ими явлений, использовались математические модели. Так, законы Ньютона полностью определяют закономерности движения планет вокруг Солнца. Используя основные законы механики, относительно нетрудно составить уравнения, описывающие движение космического аппарата, например, от Земли к Луне. Однако получить их решение в виде простых формул не представляется возможным. Для расчета траекторий космических аппаратов служат компьютеры.

Методология математического моделирования в кратком виде выражена знаменитой триадой "модель - алгоритм - программа", сформулированной академиком А. А. Самарским, основоположником отечественного математического моделирования. Эта методология получила свое развитие в виде технологии "вычислительного эксперимента", разработанной школой А. А. Самарского, - одной из информационных технологий, предназначенной для изучения явлений окружающего мира, когда натурный эксперимент оказывается слишком дорогим и сложным.

С появлением персональных компьютеров стало возможно развитие информационной технологии вычислительного эксперимента, которая предусматривает поддержку пользовательского интерфейса и поиска нужных алгоритмов и программ с помощью персональных компьютеров.

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент - ведущие методологии изучения глобальных моделей процессов и явлений на Земле, например климата Земли.

Компьютерное моделирование, проведение вычислительного эксперимента является одним из современных методов исследования физических явлений. Он имеет свои особенности, преимущества и недостатки по сравнению с другими методами изучения физических систем. Современный персональный компьютер позволяет за несколько секунд решить сложную систему уравнений, построить график изучаемой зависимости, промоделировать трудновоспроизводимый эксперимент.

К основным этапам компьютерного моделирования относятся: постановка задачи, определение объекта моделирования; разработка концептуальной модели, выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия; формализация, то есть переход к математической модели; создание алгоритма и написание программы; планирование и проведение компьютерных экспериментов; анализ и интерпретация результатов.

В цикле вычислительного эксперимента можно выделить следующие этапы:

Этапы вычислительного эксперимента:

Этап 1. Построение математической модели (составление уравнений, описывающих исследуемое явление).

Этап 2. Выбор численных методов расчета (построение модели, аппроксимирующей исходную математическую задачу, построение схемы, разработка вычислительного алгоритма).

Этап 3. Создание программы, реализующей вычислительный алгоритм.

Этап 4. Проведение расчетов и обработка полученной информации.

Этап 5. Анализ результатов расчетов, сравнение с натурным экспериментом.

2. 2. Моделирование в среде программирования Qbasik.

Я поставил перед собой задачу построения траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха и с учетом сопротивления воздуха при разных углах бросания.

Поставленную задачу я попытался решить двумя способами.

Первый способ – это моделирование траектории движения в среде программирования Qbasik. Данный язык программирования наиболее прост для пользователя, удобен для быстрой отладки программ, имеет команды для работы в графическом режиме.

Методика решения поставленных задач.

1. Составление уравнений, необходимых для решения задачи.

2. Составляем план решения, т. е. определенную последовательность действий, этапов решений. Эту последовательность или план действий называют алгоритмом.

3. Составляем программу в виде отдельных строк. В каждой строке записываются команды, которые указывают машине, что необходимо выполнить.

4. Запускаем программу на выполнение и проводим отладку программы.

5. Анализируем результаты расчетов.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха.

Задача:

Построить траекторию движения тела, брошенного со скоростью V0 под углом А к горизонту без учета сопротивления воздуха.

Движение тела описывается формулами:

X=V0x*t ; y=V0y*t-gt 2 / 2 ( Ось Y направлена вверх)

Время полета: T2=2*V0y/g (равно удвоенному времени подъёма на максимальную высоту)

Дальность полета: L=V0x*T2

Программа:

5 REM Движение тела брошенного под углом к горизонту

10 PRINT «Введите угол в градусах»

15 INPUT A1

20 PRINT «Введите скорость в м/с»

25 INPUT V

30 G=9. 81

35 A=A1*3. 14/180

40 V1=V*cos (A): V2=V*sin(A)

45 T2=2*V2/G

50 H=V2*V2/(2*G)

55 L=V1*T2: M=250/L

60 SCREEN 2

65 LINE (0,0)-(0,191): LINE-(250,191)

67 S=T2/200

70 FOR T=0 TO T2 STEP S

75 X=V1*T: 5 X=V1*T: =V2*T-G*T*T/2

85 PSET(X*M,191-Y*M)

90 NEXT

Оператор 35 в этой программе переводит угол, введенный в градусах, на радианы. Операторы 40-55 вычисляют проекции начальной скорости на оси координат (V0x и V0y), высоту подъема Н, время полета Т2, дальность полета L. Также рассчитывается масштаб М, чтобы независимо от начальных условий траектория на экране дисплея занимала значительную его часть. Операторы 70-90 вычисляют и фиксируют на экране дисплея точки траектории с определенным шагом.

На рисунке показаны траектории движения при углах, равных 30°, 60° и 45°.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту с учетом сопротивления воздуха

Описать движение и построить траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту, предполагая, что сопротивление воздуха пропорционально первой степени скорости.

В этом случае уравнения движения имеют вид:

X=V0x*t – К* V0x ; y=V0y*t-gt 2 /2 – K*V0y.

Решая эти уравнения, определяем как скорость тела

Vx=V0x*exp(-K*T),

Vy= - G/K +( V0y + G/K)*exp(-KT), так и траекторию в параметрической форме

X= V0x/K*(1-exp(-K*T)).

Время подъема на максимальную высоту найдем из условия Vy(T1)=0.

Она оказывается равной: T1=LOG(1+K*V2/G)K.

Максимальная высота подъема определяется как Y(T1). Подставив в выражение для y(t), значение t равное времени подъёма T1, находим

H= V0y/K – (G*ln(1+K*V0y/G))/K^2.

Программа:

5 REM Движение тела с учетом сопротивления воздуха

15 PRINT «Введите угол в градусах»

20 INPUT A1

25 PRINT «Введите скорость в м/с»

30 INPUT V

35 PRINT «Введите коэффициент сопротивления»

40 INPUT K

45 G=9. 81:A=A1*3. 14/180

50 V1=V*cos (A): V2=V*sin (A)

55 T1=LOG(1+K*V2/G)K

60 L=V1*2*T1:M=240/L

65 SCREEN 2

75 LINE (0,0)-(0,190):LINE-(250,190)

85 FOR T=0 TO 3*T1 STEP T1/100

95 B=1-EXP(-K*T)

105 X=M*V1*B/K

115 Y1=(G+K*V2)*B/K^2-G*T/K

120 Y=190-Y1*M

125 IF Y1<0 GOTO 140

130 PSET (X,Y)

135 NEXT

140 GOTO 140

Программа описывает построение траектории по уравнениям.

Оператор 55 в этой программе вычисляет Т- время подъема на максимальную высоту. Оператор 60 вычисляет примерную дальность полета, что необходимо для вычисления масштаба М. Оператор 85 открывает цикл для вычисления точек траектории в различные близко стоящие моменты времени. Поскольку полное время полета нам неизвестно (оно будет несколько большим 2Т поскольку сопротивление задерживает движение).

Конец цикла берем с определенным запасом до 3Т. Операторы 105-115 определяют Х и У для каждого Т. Оператор 120 переводит начало построения траектории на левый нижний угол. Оператор 125 выводит из цикла как только У=0, т. е. когда точка достигнет уровня горизонта. Соответствующее значение переменной Т и есть время полета, соответствующее значение Х- дальность полета.

Можно построить график движения тела брошенного под углом к горизонту с учетом и без учета сопротивления воздуха.

5 REM Движение тела брошенного под углом к горизонту

10 PRINT «Введите угол в градусах»

15 INPUT A1

20 PRINT «Введите скорость в м/с»

25 INPUT V

30 G=9. 81

35 A=A1*3. 14/180

40 V1=V*cos (A): V2=V*sin(A)

45 T2=2*V2/G

50 H=V2*V2/(2*G)

55 L=V1*T2: M=200/L

60 SCREEN 2

65 LINE (150,150)-(400,150): LINE (150,150-(150,50)

67 S=T2/200

70 FOR T=0 TO T2 STEP S

75 X=V1*T: 5 X=V1*T: =V2*T-G*T*T/2

85 PSET(X*M,191-Y*M)

90 NEXT

REM Движение тела с учетом сопротивления воздуха

PRINT «Введите коэффициент сопротивления»

INPUT K

G=9. 81:A=A1*3. 14/180

V1=V*cos (A): V2=V*sin (A)

T1=LOG(1+K*V2/G)K

L=V1*2*T1:M=150/L

SCREEN 2

LINE (150,150)-(400,150):LINE(150,150)-(150,50)

FOR T=0 TO 3*T1 STEP T1/100

B=1-EXP(-K*T)

X=M*V1*B/K

Y1=(G+K*V2)*B/K^2-G*T/K

Y=190-Y1*M

IF Y1<0 GOTO 140

PSET (X+150,Y)

140 GOTO 140

Получим следующую картину траектории движения:

Как видно из рисунков, сопротивление воздуха задерживает движение: дальность полета и высота подъема уменьшились.

2. 3. Моделирование в табличном редакторе Microsoft Excel.

Второй способ – это построение траектории движения, используя табличный редактор Excel. Программа Microsoft Excel представляет собой мощный инструмент для создания, обработки, анализа, совместного использования и отображения информации в виде электронных таблиц. При решении физических задач электронные таблицы позволяют создавать, форматировать и распечатывать данные, проводить расчеты различного уровня сложности, анализировать и строить сводные отчеты и графики. Основные элементы табличного редактора находятся в Приложение 2.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Задача:

Построить траекторию движения тела, брошенного со скоростью V0 под углом А к горизонту без учета сопротивления воздуха.

Движение тела описывается формулами:

X=V0x*t ; y=V0y*t-gt 2 /2

Проекция скорости описываются формулами:

V0x=V0*COS(A); V0y=V0*SIN(A).

Время полета:

T2=2*V0y/g

(равно удвоенному времени подъёма на максимальную высоту)

Дальность полета:

L=V0x*T2

В ячейку А1 запишем начальную скорость, в ячейку В1 угол в радианах (формула = SIN (3,14/6)), в ячейку С1 время.

Для расчета высоты в ячейку D2 необходимо ввести следующую формулу

= (А2*SIN(B2)*C2 – 10*C2*C2/2)

Дальность запишем в ячейке Е2, вводя формулу для расчета дальности:

= (А2*COS(3,14/6)*C2)

Таблица расчетов для угла бросания, равным 45 °

(полная таблица расчетов приведена в Приложении 1)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту с учетом сопротивления воздуха

Описать движение и построить траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту, предполагая, что сопротивление воздуха пропорционально первой степени скорости.

В этом случае уравнения движения имеют вид:

X=V0x*t – К* V0x ; y=V0y*t-gt 2 /2 – K*V0y.

Проекция скорости описываются формулами:

V0x=V0*COS(A); V0y=V0*SIN(A).

Время полета:

T2=2*V0y/g

(равно удвоенному времени подъёма на максимальную высоту)

Дальность полета:

L=V0x*T2 – К* V0x

Высота полета: h =V0y*t-gt 2 /2 – K*V0y.

В данной таблице необходимо изменить формулы для расчета высоты и дальности полета. А также записать в ячейку С1 коэффициент сопротивления.

Для расчета высоты в ячейку Е2 необходимо ввести следующую формулу

=(A2*SIN(B2)*D2-5*D2^2-C2*A2*SIN(B2))

Дальность запишем в ячейке F2, вводя формулу для расчета дальности:

=(A2*COS(B2)*D2-C2*A2*COS(B2))

с учетом сопротивления воздуха угол 30°

нач. скорость угол в радианах коэффициент сопр. время высота дальность

20 0,499770103 0,1 0 0 -1,755385515

20 0,499770103 0,1 -0,05 0

20 0,499770103 0,2 0,758447544 1,755385515

20 0,499770103 0,3 1,466895088 3,510771029

20 0,499770103 0,4 2,075342632 5,266156544

20 0,499770103 0,5 2,583790176 7,021542059

20 0,499770103 0,6 2,99223772 8,776927574

20 0,499770103 0,7 3,300685264 10,53231309

20 0,499770103 0,8 3,509132808 12,2876986

20 0,499770103 0,9 3,617580352 14,04308412

По данным таблицы построим диаграмму. Для этого выбираем точечный тип диаграммы.

Зависимость дальности полета от высоты подъема

Дальность, м

Таблица расчетов дальности полета и высоты подъема для угла 45°

с учетом сопротивления воздуха, угол 45°

начальная скорость,v0 угол в радинах коэффициент сопр. время дальность высота

20 0,706825181 0,1 0 -1,520855009 -1,298845657

20 0,706825181 0,1 1,520855009 -0,05

20 0,706825181 0,2 3,041710019 1,098845657

20 0,706825181 0,3 4,562565028 2,147691314

20 0,706825181 0,4 6,083420038 3,09653697

20 0,706825181 0,5 7,604275047 3,945382627

20 0,706825181 0,6 9,125130057 4,694228284

20 0,706825181 0,7 10,64598507 5,343073941

20 0,706825181 0,8 12,16684008 5,891919597

20 0,706825181 0,9 13,68769509 6,340765254

20 0,706825181 1 15,20855009 6,689610911

Покажем зависимость дальности полета и высоты подъема от сопротивления воздуха на графике для угла бросания 30°.

Покажем зависимость дальности полета и высоты подъема от сопротивления воздуха на графике для угла бросания 45°.

Заключение

Компьютер находит широкое применение в учебном процессе. Современные ПК предоставляют большие возможности для повышения эффективности преподавания многих дисциплин, в том числе и физике.

Моделирование физических процессов с помощью компьютера позволяет наглядно увидеть картину происходящего.

В своей работе я, при помощи среды программирования QuickBasic и Microsoft Excel, смоделировал траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту с учетом сопротивления воздуха и без учета сопротивления воздуха.

С помощью программы QuickBasic составил программу, которая, при указании начальной скорости, угла и коэффициента сопротивления воздуха, моделирует траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту при различных углах броска. Так же в своей работе изучил зависимость дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту от сопротивления воздуха.

Одновременно с программой QuickBasic использовал программу Microsoft Excel для построения графиков движения. Программа Microsoft Excel представляет собой мощный инструмент для создания, обработки, анализа, совместного использования и отображения информации в виде электронных таблиц. При решении данной задачи электронная таблица позволила провести расчеты для разных углов броска, проанализировать и построить графики движения тела с учетом и без учета сопротивления воздуха.

Проведя данные исследования, я выяснил, что дальность полета тела зависит от сопротивления воздуха, значений угла броска и начальной скорости.