Методы решения конкурсных задач, основанные на свойствах монотонности функции

Функция f(x), определенная на множестве D, называется монотонно возрастающей на этом множестве, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. По-другому это означает, что если Х1, Х2 ∈ D и при этом Х1 < Х2, то выполняется условие f(х1) < f(х2).

Функция f(x), определенная на множестве D, называется монотонно убывающей на этом множестве, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. По-другому это означает, что если X1, X2 ∈ D и при этом X1 < X2, то выполняется условие f(х1) > f(х2).

Свойства:

1. Если f(x) возрастающая функция, то неравенства a< b и f(a) < f(b) равносильны.

Доказательство: т. к. f(x) – функция возрастающая и f(a) < f(b), то не может ни быть a’ b (иначе было бы f(a) ’ f(b)), ни a> b (было бы f(a) > f(b)). Остается a< b.

2. Если f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке D, то уравнение f(x)’ c, где c’ const, может иметь не более одного корня.

Доказательство: Предположим, что уравнение f(x)’ c имеет два корня X1 и X2 (X1≠ X2).

Значит f(x1)’c и f(x2)=с. Не нарушая общности рассуждений будем считать, что х1>х2, тогда в силу возрастания (убывания) функции f(x) получим f(х1) > f(х2) (f(х1) < f(х2)), что противоречит определению корня. Следовательно, уравнение f(x)’ c может иметь не более одного корня.

3. Если f(x) и g(x) – непрерывные на промежутке D функции, f(x) – строго возрастающая, а g(x) – строго убывающая на этом промежутке, то уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного корня.

Доказательство: Допустим, что уравнение f(x) = g(x) имеет два корня X1 и X2 (X1≠ X2), тогда f(x1) = g(x1) и f(x2) = g(x2). Пусть х1 < х2, тогда f(x1) < f(x2) (f(x) – функция возрастающая) и g(x1) > g(x2) (g(x) – функция убывающая). Получим f(x1) < f(x2) = g(x1) > g(x2) (1). А т. к. f(x1) = g(x1) и f(x2) = g(x2), то выражение (1) противоречит определению корня, следовательно, что уравнение f(x) = g(x) может иметь не более одного корня.

4. Наибольшее и наименьшее значения возрастающей функции, заданной на отрезке, достигаются в концах отрезка (наибольшее – в правом конце, наименьшее – в левом). Чтобы их найти, достаточно вычислить значения функции в этих концах.

Доказательство: Т. к. функция f(x) – возрастает на промежутке [a;b], то для всех х, неравных а, из этого промежутка f(а)< f(х). Значит, f(а) – наименьшее значение функции на промежутке [a;b]. А для всех х, неравных b, из этого промежутка f(b) > f(x). Следовательно f(b) - наибольшее значение функции на заданном отрезке.

5. Если f(x) – функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то уравнение f(x) = x (1) и f(f(x)) = x (2) равносильны.

Доказательство: 1) Пусть x0 – решение уравнения (1), значит, что f(x0) = x0. Применяя к обеим частям этого числового равенства функцию f, получим f(f(x0)) = f(x0), а f(x0) = x0, следовательно, (f(x0)) = x0. Значит,x0 является решением уравнения (2).

2) Пусть x0 – решение уравнения (2), значит, что f(f(x0)) = x0. Предположим, что x0 не является корнем уравнения (1), т. е. f(x0) ≠ x0. Без ограничения общности, можно считать, что, f(x0) > x0. Применяя к обеим частям этого неравенства функцию f, получаем f(f(x0)) > f(x0), а поскольку мы допустили, что f(x0) > x0, получим f(f(x0)) > x0, что противоречит условию f(f(x0)) = x0, следовательно f(x0) = x0.

Аналогично можно доказать следующее утверждение: если функция f(x) возрастающая (убывающая) на множестве D, то уравнение f(f(f(x)))) = x равносильно уравнению f(x) = x.

III Конструирование монотонных функций

Способ 1. Если f – возрастающая функция, то для любого числа c функция f + c – тоже возрастающая.

Доказательство: Рассмотрим x1∈ D и x2 ∈ D и пусть x1 < x2, тогда f(x1) < f(x2), значит f(x1) + с < f(x2) + с, следовательно, по определению f(x) + с – функция возрастающая.

Примеры: f(x) = log2 x + 12;

Способ 2. Если f – возрастающая функция, а λ - положительное число, то и fλ - возрастающая функция.

Доказательство: Рассмотрим x1∈ D и x2 ∈ D и пусть x1 < x2, тогда f(x1) < f(x2), значит f(x1)λ < f(x2)λ, следовательно, по определению f(x)λ - функция возрастающая.

Примеры: f(x) = 8⋅ 4x; f(x) = f(x) = 6(x3 + 5.

Способ 3. Если f и g – функции возрастающие на промежутке D, то и функция f + g – возрастающая на промежутке D.

Доказательство: Т. к. функции f(x) и g(x) возрастают на промежутке D, то для любых x1∈ D и x2 ∈ D при условии, что x1 < x2 выполняется неравенство f(x1) < f(x2) и g(x1) < g(x2), значит f(x1) + g(x1) < f(x2) + g(x2), следовательно, функция f + g – возрастающая.

Примеры: x2 + log5 x.

Способ 4. Если f и g – функции возрастающие на промежутке D, то и функция h, определенная формулой h(x) = f(g(x)), возрастающая.

Доказательство: Т. к. функции f(x) и g(x) возрастают на промежутке D, то для любых x1∈ D и x2 ∈ D при условии, что x1 < x2 выполняется неравенство g(x1) < g(x2) и f(g(x1)) < f(g(x2)), значит функция f(g(x)), следовательно, функция h является возрастающей.

Примеры: f(x) = log3 (5x)

Все данные способы применяются и к монотонно убывающим функциям и доказываются аналогично.

IV Решение задач

1. Решить уравнение: х5 + х3 + 2 = 0

Решение:

Рассмотрим функцию f(x) = x5 + x3 + 2. Т. к. функция f(x) – возрастающая, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором х = −1.

Ответ: х = −1.

2. Решить уравнение: 2x = 1 – x3

Решение:

Рассмотрим функцию f(x) = 2x и функцию g(x) = 1 – x3. Т. к. функция f(x) – возрастающая, а функция g(x) – убывающая, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором х = 0.

Ответ: х = 0.

3. Решить уравнение: x⋅ 2+2x+3=64

Решение:

Т. к. 2x2+2x+3 > 0 при любом x, то корень данного уравнения – число положительное, т. е. x > 0. При x > 0 функция g(x) = х2 + 2х + 3 – возрастающая, тогда f(x) = 2x2+2x+3 – возрастающая, следовательно, функция у = х⋅ 2x2+2x+3 – возрастающая, как произведение двух возрастающих положительных функций, а т. к. у = 64 – функция постоянная, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором. х = 1.

Ответ: х = 1.

4. Решить неравенство: 2x + 3x + 4x < 3.

Решение:

Рассмотрим функции f(x) = 2x, g(x) = 3x, и h(x) = 4x. Т. к. функции f(x), g(x) и h(x) – возрастающие, то функция у = 2x + 3x + 4x – возрастающая. Очевидно, что при x = 0 функция у = 2x + 3x + 4x принимает значение 3. Зная, что функция у непрерывна и строго монотонна, то ланное неравенство выполняется при x < 0.

Ответ: x ∈ (- ∞; 0).

5. Решить уравнение:

Решение:

Рассмотрим функции , , и. Т. к. функции f(x), g(x) и h(x) – возрастающие, то функция - функция возрастающая, как сумма трех возрастающих функций, а т. к. у = 12 - функция постоянная, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором х= 10.

Ответ: х= 10.

6. Решить уравнение:

Решение:

Рассмотрим функции и. Т. к. функция - возрастающая, а функция - убывающая, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором х=19.

Ответ: х = 19.

7. Решить уравнение: + + ++ += 27.

Решение:

Рассмотрим функции , , , , ,. Т. к. функции f(x), g(x), h(x), q(x), t(x), p(x) - функции возрастающие, то у = - возрастающая, как сумма возрастающих функций, а у=27 - функция постоянная, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором х=10.

Ответ: х = 10.

8. Решить уравнение:.

Решение:

Рассмотрим функции и. Т. к. функции f(x) и g(x) - возрастающие, то функция - возрастающая, как произведение двух возрастающих положительных функций. А т. к. у = 4 - функция постоянная, то данное уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Ответ: х = 7.

9. Решить неравенство:.

Решение:

Рассмотрим функцию , g(x) = 2x3, h(x) = log3 (x + 2), , т. к. функции f(x), g(x), h(x), q(x) – возрастающие, то функция - возрастающая. ОДЗ данного неравенства x ( (0;1(. Очевидно, что у(1) = 4, то все значения х из множества (0;1( удовлетворяют данному неравенству.

Ответ: х ( (0;1(.

10. Решить уравнение: log2 (( x – 1 ( + 1) + = 2

Решение:

Перепишем уравнение в виде

Рассмотрим функции и. Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке. Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке. Так как на промежутке , функция возрастает, а функция убывает, то на этом промежутке уравнение = может иметь не более одного корня. Легко проверить, что таким корнем является число. Так как на промежутке функция убывает, а функция возрастает, то на этом промежутке уравнение = также может иметь не более одного корня. Легко видеть, что таким числом является число. Итак, данное уравнение имеет два корня и.

Ответ: ;.

11. Решить уравнение:

Решение:

Рассмотрим функцию f(t) = 3t - 2 ( t – 2 (, тогда f(x) = 3x – 2 (x – 2 (, a

=. Уравнение принимает вид f(x) =.

Функция f(t) - непрерывная, возрастающая, так как. Следовательно, уравнение f(x) = ( ((((.

Ответ: х = 6.

12. Решить уравнение: 4 arcsin (2x – 7) - arccos (5x – 124) = 6((x

Решение:

4 arcsin (2x – 7) = arccos (5x – 124) + 6((x

Т. к. D(arcsin) = (-1;1(, то -1 ( 2x -7 ( 1, 6 ( 2x ( 8, log2 6 ( x ( 3. (1)

Т. к. функции f(x) = 2x -7 и g(x) = arcsin t – возрастающие, то у1 = 4arcsin (2x – 7) – функция возрастающая. Т. к. функция f(x) = 5x – 124 – возрастающая, а g(x) = arccos t – убывающая функция, то у = arccos (5x – 124) – убывающая функция и q = 6((x – убывающая функция при log2 6 ( x ( 3 (1), следовательно у2 = arccos (5x – 124) + +6((x – функция убывающая. Уравнение можно записать, как у1 = у2, где у1 – возрастающая, а у2 – убывающая функции, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором х = 3.

Ответ: х = 3.

13. Решить систему

Решение:

Рассмотрим функцию, тогда система примет вид

Функция возрастает, т. к. , при любом t. Следовательно уравнение равносильно уравнению. Получим

Овеет: (0; 0; 0), (-1; -1; -1).

14. Решить уравнение , ОДЗ:

Решение:

Функция - возрастает, функция - возрастает и принимает положительные значения, тогда функция - убывает.

Значит уравнение имеет не более одного корня найдем его подбором , верно.

Ответ:.

15. Решить неравенство

Решение:

Отметим, что областью допустимых значений неизвестного х являются все положительные числа, и перепишем исходное неравенство в следующем виде

Далее воспользовавшись тем, что на области допустимых значений выполнено неравенство >0, перейдем от неравенства (2) к равносильному неравенству (3)

Отметим, что оба сомножителя – логарифма в левой части неравенства (3) являются положительными монотонно возрастающими функциями от х на указанной выше области допустимых значений. Поэтому вся левая часть неравенства (3) монотонно возрастает на области допустимых значений х, причем в точке х=4, как это проверяется непосредственной подстановкой, она превращается в 1. Следовательно в области все х являются решениями неравенства (3). Отсюда следует ответ.

Ответ:.

16. Решить уравнение

Решение:

В обоих логарифмах перейдем к основанию 3 и получим уже следующее уравнение

Умножим обе части полученного уравнения на величину и получим, учитывая положительность этой величины, равносильное исходному уравнению.

Далее введем в рассмотрение вспомогательную функцию и отметим, что последнее полученное уравнение, в свою очередь, может быть переписано в виде

Отметим так же, что на множестве оба сомножителя и , составляющие в произведении функцию , положительны и монотонно возрастают. Поэтому и вся функция на этом промежутке возрастает. Отметим, наконец, что при любом х числа и принадлежат упомянутому множеству , как это усматривается из следующих очевидных неравенств

Можно утверждать, что уравнение (1), а следовательно и исходное уравнение, равносильно следующему уравнению = (2).

Уравнение (2) решим стандартным способом, раскрывая модуль на участках и поочередно.

Пусть сначала. Тогда и поэтому. Уравнение (2) в таком случае принимает вид , после упрощения получаем , откуда

. Отметим, что оба найденные значения принадлежат рассматриваемому участку и поэтому являются искомыми решениями уравнения (2).

Если же , то после раскрытия модуля получаем уравнение , откуда

Ответ:.

17. Решить уравнение (1)

Решение:

Исходное уравнение может быть преобразовано к виду

(2) легко усматривается, что уравнение (2) имеет вид , где

Отметим, что функция является монотонно возрастающей, что усматривается, например, из того, что монотонно возрастающей является функция. Поэтому уравнение (2), а следовательно, и уравнение (1) равносильно уравнению

Уравнение (3) приводится к виду

Отметим, что.

Отсюда следует ответ.

Ответ:.

18. Решить уравнение.

Решение:

Определим область допустимых значений: х>0. Это уравнение является квадратным относительно. Перенесем все в левую часть уравнения:

Решим это уравнение как квадратное относительно.

, при всех значениях х из ОДЗ.

методом подбора найдем корень , корень у данного уравнения только один, т. к. правая часть – возрастающая функция, а левая – убывающая при х>0.

Ответ:.

19. Решить неравенство.

Решение:

ОДЗ неравенства есть все х из промежутка. Все х из промежутка являются решениями исходного неравенства, так как для каждого такого х имеем, что функция неотрицательна, а функция отрицательна.

Рассмотрим неравенство на промежутке. Поскольку функция непрерывна и строго возрастает на этом промежутке, а функция непрерывна и строго убывает, то уравнение = имеет единственный корень на этом промежутке. Легко увидеть, что таким корнем является число.

Для каждого х из промежутка (0;1) имеем, что >1, а <1. Поэтому все х из этого промежутка являются решениями исходного неравенства.

Для каждого х из промежутка имеем, что <1, а >1. Поэтому такие х не удовлетворяют данному неравенству.

Итак решениями исходного неравенства являются все х из промежутка.