Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Магические квадраты

Магические квадраты относятся к известным на протяжении всей истории цивилизации применениям математики, являются красивым и общепризнанным достоянием истории и культуры.

Существует предание, согласно которому китайский император Ию, примерно четыре тысячи лет назад, увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире.

Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Чтобы и нам он стал понятен, заменим каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков.

Если сложить числа первой строки таблицы, получится 15.

4+9+2=15

Точно такой же результат получается, если сложить числа второй, а также третьей строки.

3+5+7=15, 8+1+6=15

При сложении чисел любого столбца тоже получается 15.

4+3+8=15, 9+5+1=15, 2+7+6=15

Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям:

4+5+6=15, 8+5+2=15.

Символ китайцы назвали «ло-шу» и считали его магическим – он использовался при заклинаниях. Поэтому квадратные таблицы чисел, обладающие таким удивительным свойством, с тех пор называют магическими квадратами или волшебными. Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой.

Как же составляют магические квадраты? Составим, например, такой магический квадрат, как 3×3. Для этого можно попробовать перебрать различные варианты расстановки чисел от 1 до 9 в клетках таблицы. Если повезет – вы получите магический квадрат. Однако при этом надо иметь в виду, что всего существует почти 400 000 разных расстановок чисел в этом квадрате.

Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате три строки. Значит, в каждой строке магического квадрата сумма чисел должна быть равна 45:3 =15. Но тогда, чтобы квадрат был магическим, в каждом столбце и на каждой диагонали сумма чисел тоже должна быть равна 15.

Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы трех слагаемых от 1 до 9:

Заметим, что число, стоящее в центре таблицы, должно встречаться в выписанных суммах четыре раза (столбец, строка и две диагонали). Каждое число, стоящее в углу таблицы, должно встречаться в суммах три раза (строка, столбец диагональ). А число, стоящее на одном из оставшихся четырех мест, должно встречаться в суммах только два раза (строка и столбец).

Поскольку в полученных суммах четыре раза встречается только число 5, оно и должно стоять в центре таблицы.

Трижды встречаются в суммах числа 2, 4, 6 и 8. Значит, они должны стоять в углах таблицы, причем так, чтобы 2 и 8 были на одной диагонали (2+5+8=15), а 4 и 6 – на другой (4+5+6=15). Дважды в суммах встречаются числа 1, 3, 7 и 9. Их нужно поставить на свободные места, учитывая при этом, что сумма чисел в каждой строке должна быть равна 15.

Описанный способ даёт несколько магических квадратов. Например, число 8 можно расположить в любом из четырёх углов, что позволит получить разные по виду квадраты.

Все эти квадраты можно получить из «ло-шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90º, 180º или 270º, либо зеркально отражая его.

Магические квадраты почитались не только в Древнем Китае. Во времена Средневековья в Европе свойства магических квадратов считалось волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед.

Знаменитый магический квадрат изображен на гравюре великого немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия».

Этот квадрат составлен из чисел, записанных арабскими цифрами. Интересно, что средние числа в нижней его строке изображают год создания гравюры – 1514. Возможно, Дюрер знал этот квадрат, а может быть, начав именно с этих чисел, смог найти остальные методом подбора

Магическая константа квадрата Дюрера равна 34.

При сложении чисел любой строки квадрата Дюрера получается 34.

16+3+2+13=34, 5+10+11+8=34, 9+6+7+12=34, 4+15+14+1=34

При сложении чисел любого столбца тоже получается 34.

16+5+9+4=34, 3+10+6+15=34, 2+11+7+14=34, 13+8+12+1=34

Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям.

16+10+7+1=34, 13+11+6+4=34

Квадрат Дюрера обладает и другими свойствами: сумма чисел каждого из угловых квадратов и сумма чисел центрального квадрата одинакова. Она тоже равна 34.

16+3+5+10=34, 2+13+11+8=34, 9+6+4+15=34, 7+12+14+1=34, 10+11+6+7=34

Вообще, если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него поворотами и зеркальными отражениями получить ещё 7 магических квадратов.

Рассмотрим один из вариантов получения магического квадрата 4×4, магическая константа которого равна 34.

Возьмём квадрат 4×4 и впишем в него числа от 1 до 16 по порядку.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

Теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах квадрата. А затем поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах центрального квадрата. В результате получим магический квадрат, из которого можно получить квадрат Дюрера.

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

Рассмотрим способ получения магического квадрата 5×5.

Он заключается в следующем. Берём средний столбец и в его верхней клетке пишем число 1. Это же число пишем ниже самой нижней клетки среднего столбца и от него начинаем писать числа 2 , 3. , идя вверх и вправо (нижнее число 1 находится вне квадрата). Это делаем до тех пор, пока не дойдём до самого первого столбца. Тогда последнее написанное число записываем в той же строке слева от квадрата и идем от него вправо вверх, записывая числа в порядке возрастания. Когда дойдём до числа, за которым идёт ранее написанное число 1, опускаемся на одну клетку вниз, записываем в ней следующее по порядку число и снова пишем числа в порядке возрастания так же, как и раньше. Получим магический квадрат 5×5.

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

17 24 1 8

Магическая константа этого квадрата равна 65.

При сложении чисел любой строки квадрата получается 65.

17+24+1+8+15=65, 23+5+7+14+16=65, 4+6+13+20+22=65, 10+12+19+21+3=65, 11+18+25+2+9=65

При сложении чисел любого столбца тоже получается 65.

17+23+24+10+11=65, 24+5+6+12+18=65, 1+7+13+19+25=65, 8+14+20+21+2=65, 15+16+22+3+9=65

Тот же результат получается и при сложении чисел по диагоналям.

17+5+13+21+9=65, 15+14+13+12+11=65

Построение магических квадратов - старинное развлечение, а в те далекие времена, когда некоторым числам предписывались магические свойства, подобные построения служили предметом серьезного исследования.

Математическая теория построения магических квадратов была развита во Франции в XVII веке. Позднее она стала излюбленной темой исследований многих авторов из разных стран.

Хотя некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие различных разделов математики, с наибольшим энтузиазмом построением магических квадратов занимались любители.

Найти все магические квадраты удаётся только для квадратов 3×3 и 4×4. Общий метод построения магических квадратов 5×5 и других неизвестен, хотя широко применяются различные схемы.

Данная работа является комментарием к прилагаемой презентации, которая может быть использована во внеклассной работе по математике для учащихся 4-5-х классов.

Задача о составлении магических квадратов, как одна из самых интересных математических головоломок, может привлечь внимание детей к новым головоломкам, к решению других занимательных задач по математике.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)