Линейные уравнения и неравенства с параметром

В последние годы задачи с параметрами (и, прежде всего уравнения и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и, но и в контрольных и экзаменационных работах в школе. Задачи с параметрами для большинства учащихся являются непривычными, а для многих из них сложными. Школьная программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, всеми учащимися, и более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях. В этом заключается главная проблема, в которой мы постараемся разобраться. Мы решили создать проект по теме «Линейные уравнения и неравенства с параметром» и защитить его на районной научно – практической конференции школьников по теме «Мой первый научный проект».

То есть для каждого значения параметра нужно указать множество решений данного уравнения или неравенства.

Эта задача может формулироваться не только прямым указанием «для каждого значения параметра найти все решения уравнения (неравенства)», но и несколько закамуфлировано, например, «найти все значения параметра, при каждом из которых решение уравнения (неравенства), удовлетворяет заданным условиям».

Задача исследования уравнения или неравенства с параметром, как правило, довольно трудна. Она всегда предполагает рассмотрение нескольких случаев, ни один из которых нельзя потерять. К тому же при решении можно «приобрести» так называемые посторонние корни, проверка которых для уравнения с параметром – задача весьма непростая.

Поэтому при решении крайне важно понимать, какие преобразования происходят – равносильные или нет, и применять по возможности равносильные.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат.

Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, - это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Рассмотрим несколько уравнений и неравенств, а остальные предлагаем для самостоятельного решения, из которых составили дидактический материал.

Пример 1. При каком значении параметра а уравнение а ( х – 1) = 2х + 5 не имеет корней?

Решение: Перепишем уравнение а ( х – 1) = 2х + 5 в виде ах – а = 2х + 5, ах – 2х = 5 + а, х(а – 2) = 5 + а. Если а = 2, то уравнение корней не имеет.

Ответ: при а = 2.

Пример 2. Решить уравнение а2х - а2 - х + а + 2 = 0.

Решение: Оставим в левой части уравнения выражения с переменной, а константы перенесем в правую часть: а2х - х = а2 - а - 2,

(а2 - 1)х = (а - 2)(а + 1),

(а - 1)(а + 1)х = (а - 2)(а + 1).

Достаточно рассмотреть три случая: 1) а = 1, 2) а = -1, 3) а ±1.

Если а = 1, то уравнение перепишется в виде 0·х = -2.

Это уравнение решений не имеет. Если а = -1, то 0 · х = 0, и решением будет любое действительное число.

Если а ±1, то х =.

Ответ: если а = ±1, то х = ; если а = -1,то х- любое; если а = 1, то решений нет.

Пример 3. Определить количество корней в зависимости от значений параметра b: b2х + 4b + 4 = 4х + 3b2

Решение: Преобразуем уравнение: b2х – 4x = 3b2 - 4b – 4,

(b2 – 4)x = 3b2 - 4b – 4.

Разложим на множители выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения:

(b - 2)(b + 2)х = 3(b+ )(b - 2).

Проведя рассуждения, аналогичные рассуждениям при решении примеров

1 и 2, получим ответ.

Ответ: если b ±2, то одно решение; если b= 2, то решений бесконечно много; если b= -2, то решений нет.

Пример 4. При каких целых значениях параметра а корень уравнения

(а - 5)х + а = 3 лежит в промежутке [0; 5]?

Решение. Очевидно, при а 5 уравнение имеет корень х =.

Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0; 5].

Для этого решим двойное неравенство 0 5:

В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи.

Ответ: а = 3, а = 4.

Пример 5. При каких значениях параметра а корень уравнения 2ах - 3 = 4х + а не меньше корня уравнения 5х - а(х + 1) = 0?

Решение: Приведем оба уравнения к виду хр = q и решим их:

2ах - 3 = 4x + а 2аx - 4х = 3 + а х(2а – 4) = а + 3,

5x – а(х + 1) = 0 5x - ах = а х(5 - а) = а. Первое уравнение имеет корень х = при а 2, второе уравнение имеет корень х = при а 5. Из условия получаем неравенство.

Преобразуем его:

Последнее неравенство приводится к виду

Решаем это неравенство методом интервалов:

Ответ: а

Пример 6. Решить неравенство - 1 + 3ах 6х + 10а.

Решение: Преобразуем неравенство:

-1 + Зах 6х + 10а,

3ах - 6х 10а + 1, х(3а - 6) 10а + 1.

Если а = 2, то неравенство перепишется так: 0•х 21, то х- любое число.

Если а > 2,то х ; если а < 2, то х.

Ответ: если а < 2, то х ;); если а = 2, то х – любое число; если а > 2, то х;).

Пример 7. Решить неравенство ax + 4 > 2x + a².

Решение: ax + 4 > 2x + a²;

(a – 2)x > a² - 4. Рассмотрим 3 случая: если a = 2, неравенство 0 ∙ x > 0 решений не имеет; если a > 2, ( a – 2) x >(a – 2) (a + 2); x > a + 2; если a < 2, ( a – 2) x >(a – 2) (a + 2); x < a + 2.

Ответ: x > a + 2 при a > 2; x < a + 2, при a < 2; решений нет при a = 2.

Пример 8. При каких a неравенство 3x – 2a > 0 является следствием неравенства x – 1 + a > 0?

Решение. Неравенство 3x – 2a > 0 (1) является следствием неравенства x – 1 + a > 0 (2) в том случае, если множество решений X1 неравенства (1) содержит множество решений X2 неравенства (2). Так как X1 = (2a/3 ; + ∞), то включение X2 c X1 выполняется, если 2a/3 ≤ 1 – a, т. е. при a ≤ 3/5.

Ответ: a ≤ 3/5.

Пример 9. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

< 0 выполняется при всех х таких, что 2 х 4.

Решение: Сначала решим неравенство < 0 методом интервалов. Для этого определим положение чисел а и 8а на координатной прямой.

Пусть а < 8а, то есть а >0. Тогда решением неравенства будет интервал а< х< 8а. Это неравенство по условию должно выполняться для всех 2 х 4, то есть отрезок должен содержаться в интервале (а;8а). Это требование равносильно системе из которой следует, что < а < 2.

Если а > 8а, то а < 0, и оба числа а и 8а будут отрицательными, что не удовлетворяет условию 2 х 4.

Ответ: < а < 2.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Решите уравнение (1-13).

1. (а + 1)х = а- 1.

(Ответ: Если а -1, то х = ; если а = -1, то решений нет).

2. (а - 2)х = 5 - а.

(Ответ: Если а 2, то х =; если а = 2, то решений нет).

3. ах = а2 + 2а.

(Ответ: Если а0, то х = а + 2; если а = 0, то х — любое число).

4. (а - 3)х = 3 - а.

(Ответ: Если а 3, то х = -1;если а = 3, то х — любое число).

5. m x+2x+3=1-x

(Ответ: Если m–3, то х = ; если m = -3, то решений нет).

(Ответ: Если m , m , то х = - ; если m = - или m = 0, то решений нет).

(Ответ: Если m, m, то х = ; если m =0 или m = 3, то решений нет).

(Ответ: Если а , то х = 2а+1; если а = 0, то решений нет).

(Ответ: Если m, m, то х = ; если m = -1 или m = 0, то решений нет).

(Ответ: Если а -2, а0, то х = ; если а = -2 или а = 0, то решений нет).

(Ответ: Если а2, а-1, то х =; если а = 2 или а = -1, то решений нет).

(Ответ: Если а2, а, то х = ; если а = 2 или а = , то решений нет).

(Ответ: Если а-с, с 0, то х = ; если а = -с или с = 0, то решений нет).

14. При каком значении параметра b уравнение bх = b+ х + 1 не имеет корней?

(Ответ: Если а 0,а 1,то х =; если а = 0, то х — любое число).

15. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение а(а + 2)х = 1 - х не имеет решений.

(Ответ: а = -1).

16. Найдите все значения р, при каждом из которых решение уравнения а)6 р - 3р + 4рх = 4р + 12х меньше 1; б)5х - 18р = 21 - 5рх - р больше 3; в)15х - 7р = 2 + 6р - Зрх меньше 2.

(Ответ: а) p (-2;3); б) p;-3); в) p (-5;4)).

17. При каких значениях параметра а уравнение (а - 2)х = а + 4 имеет корень, не равный 3?

(Ответ: При любых а, кроме а =2, а =5).

18. При каких значениях параметра а корень уравнения

(1 - а) х = а + 3 лежит: а) в промежутке [-1; 3]; б) в промежутке [1; 4]?

(Ответ: а) а ;0]; б) а ;).

Решите неравенство (1-7).

1. a (3x – 1) > 3x – 2.

(Ответ: x > при a > 1; x < при a < 1; x є R при a = 1).

(Ответ: Если m, то х ; если 0 m < 2, то х; если m = 2, то решений нет).

(Ответ: Если а <1, то х ; если 1 , то х; если а = 2, то х; если а >2, то х ).

(Ответ: Если а < 0, то х; если а = 0, то х ; если а > 0, то х ).

Ответ. Если а < 0, то х если а = 0, то х; если а >0, то х.

Ответ. Если а < 0, то х; если а = 0, то решений нет; если а >0, то х.

Ответ. Если а < 0, то х ; если а = 0, то решений нет; если а >0, то х.

8. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х промежутка 1.

Ответ. а.

9. При каких a неравенство ax +2 – a/3 < 0 выполняется для всех x (1;2)?

(Ответ: a (2; 8)).

10. При каких a неравенство 5x > a + 3 является следствием неравенства

(a – 1)x > 1?

(Ответ: a [1;2]).

Защита проекта: выступление на научно – практической конференции школьников.