Линейная функция - простейшая и важнейшая

Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, день сменяет ночь. Земля вершит свой вечный бег вокруг солнца, и Солнце вместе со всеми своими планетами вечно лети в космические дали.

Кажется, причем тут математика, а тем более функции и графики. Но, как заметил великий Г. Галилей (1564-1642) , книга природы написана на математическом языке и ее буквы - математические знаки и геометрические фигуры и именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения присущие природе.

Впервые функция вошла в математику под именем <<переменная>> в знаменитом труде Р. Декарта <<Геометрия>> (1637 г. ).

Без переменных величин И. Ньютон не смог бы выразить законов динамики, а современные ученые не смогли бы рассчитывать траектории движения космических кораблей и решать бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными ах+bу+с=0 или у = кx + m.

Графиком уравнения у = кx + т, как всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая - ее называют также графи - ком линейной функции у = kx + т.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Графиком линейной функции у = kx + m является прямая.

Пример 1. Построить график линейной функции у = 2х + 3.

Решение:

Составим таблицу:

Построим на координатной плоскости хОу точки (0; 3) и (1; 5) и проведем через них пря - мую. Это и есть график линейной функции у = 2х + 3

Уравнение прямой линии в отрезках.

Существует еще один способ построения графиков линейной функции.

Прямая АВ, пересекающая ось Ох в точке А(а; 0), а ось )у - в точке В(0; b), имеет уравнение ха+уь=1

Параметры а и Ь в этом уравнении могут быть как положительными, так и отрицательными, потому что это, конечно, не отрезки, а, соответственно, абсцисса и ордината точек пересе - чения прямой с осями Ох и Оу. Длины же отрезков, отсекаемых; прямой на осях Ох и Оу равны соответственно a и b.

Пример 2. Построить график линейной функции у = х+3.

Решение:

-х3+у3=1

Отметим на оси Ох точку (3;0), на оси Оу точку (0;-3). проведем прямую через эти точки. График готов.

Линейная функция и математическая модель.

Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции.

Первая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через2, 4,10 дней?

Если пройдет х дней, то количество у угля на складе (в тоннах) выразится формулой у = 500 + ЗОх.

Таким образом, линейная фун - кция у = ЗОх + 500 есть математическая модель ситуации.

Теперь нетрудно установить, что: при х = 2 и получили у = 560; при х = 4 имеем у = 620; при х = 10 имеем у =800.

Вторая ситуация. На складе было 500 т угля. Ежедневно стали увозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2,

4,10 дней?

Здесь математической моделью ситуации является линейная функция у = 500 - ЗОх.

С помощью этой модели нетрудно отве - тить на вопрос задачи: если х = 2, то у = 440 если х = 4, то у = 380; если х = 10, то у = 200.

Третья ситуация. Турист проехал на автобусе 15 км от пункта А до В, а затем продолжил движение из пункта В в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5ч ходьбы?

Математической моделью ситуации является линейная функ - ция у = 15 + 4х, где х - время ходьбы (в часах), у - расстояние от А (в километрах). С помощью этой модели отвечаем на вопрос задачи: если х = 2,то у = 23 (в уравнение у = 15 + 4х подставили х = 2и получили у = 23); если х = 4, то у = 31; если х = 6, то у = 39.

Линейная функция и арифметические прогрессии.

Линейная функции обладает важным свойством, отличающим ее от всех других функций, а именно: если х увеличи - вается равномерно, то ecть увеличивается (или уменьшается) на одно и то же число, то у меняется тоже равномерно. Возьмем, например, функцию у=3х-2.

Пусть х принимает значения 1, 3, 5, 7,. , каждое из которых больше предыдущего на одно и то же число 2.

Соответствующие зна - чения у будут равны 1, 7. 13. 19,.

Каждое значение у больше предыдущего тоже на одно и то же число - на 6.

Ряд чисел, который получается из ка - кого-нибудь числа прибавлением одного и того же числа, образует арифмети - ческую прогрессию. Таким образом, ха - рактерное свойство, о котором мы го - ворили, можно выразить так: линейная функция переводит одну арифметическую прогрессию в другую арифметическую прогрессию. В нашем примере функ - ция у = Зх - 2 переводит арифметиче - скую прогрессию 1, 3, 5, 7,. в ариф - метическую прогрессию 1, 7, 13, 19,.

На рисунке показано, как функция у = 2х - 1 переводит арифметическую про - грессию 0, 1, 2, 3, 4,. в арифметическую прогрессию - 1, 1, 3, 5, 7,.

Пример 1.

Найдите линейную функции, которая переводит арифметическую прогрессию

-3;-1; 1;3. в арифметическую прогрессию -2;-12;-22;-32.

Решение: Х=-3;-1; 1; 3;.

У=-2;-12;-22;-32;.

Если ХУ

Рассмотрим точки (-3;-2) и (-1;12)

-2=3к+b-12=-к+b

К=-5 b=-17

У=-5х-17

Пример 2.

Записать уравнение прямой в отрезках 2х+5у=-6 и построить график этой прямой

Решение:

-2х6+(-5у6 ) = 1

-х3-у1,2=1 Чтобы построить прямую нужно в координатной плоскости отметить две точки с координатами (-3;0) и (0;-1,2)