Квадратные уравнения и его корни

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств. Решение многих задач математики, физики и практики сводится к решению алгебраических уравнений.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики.

Овладение данными приёмами поможет мне экономить время и эффективно решать уравнения.

Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

Квадратным уравнением называется уравнение ах² + bх + с = 0, где а≠0, а, b,с – заданные числа числа, х – неизвестное.

Коэффициенты а, b,с квадратного уравнения называют так: а- первым или старшим коэффициентом, b-вторым коэффициентом, с-свободным членом.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.

1) ах² = 0, х=0

2) ах² + с = 0, ах² = -с

1. если с>0, то нет действительных корней

2. если с<0, то х²= -с/а х=

3) ах² + bх = 0, х(ах+в)=0 х=0 или ах=- в х=- в/а

Пример1: 5х²=0 х=0

Ответ: х= 0

Пример2: 3х² - 27 = 0

3х²=27 х²=9 х 1,2=

Ответ: х1,2 =

Пример3: х²+7=0 х²=-7

Ответ: нет действительных корней

Пример4: х²- 6х=0 х(х-6)=0 х1=0 или х2=6

Ответ: х1=0; х2=6

3. История квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребность решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложено в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты переводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В “Арифметике” Диофант нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96”.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 – x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение

(10 + x) (10 – x) = 96, или же

100 – x² = 96, x² – 4 = 0 (1)

Отсюда x = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения y (20 – y) = 96 y² – 20y + 96 = 0 (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удаётся свести задачу к решению не полного квадратного уравнения(1).

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:

«Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных уравнений и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) “Квадраты равны корнями”, т. е. ax² = bx.

2) “Квадраты равны числу”, т. е. ax²= c.

3) “Корни равны числу”, т. е. ax = c

4) “Квадраты и числа равны корням”, т. е. ax² + c = bx/

5) “Квадраты и корни равны числу”, т. е. ax² + bx = c.

6) “Корни и числа равны квадратам”, т. е. bx + c + ax²

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приёмами ал-джабар и ал-мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Квадратные уравнения в Европе XIII - XVIIв. в.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в книге “Книге абака”, написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объёмистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других стран Европы. Многие задачи из “Книги абака” переходили почти во все европейские учебники 16 – 17 веков и частично 18 века.

Общие правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x² + bx = c, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в 16 веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способов решения квадратных уравнений принимает современный вид.

4. Решение квадратных уравнений.

4. 1 Метод выделения полного квадрата

Пример1: решить квадратное уравнение х² + 2х – 3=0

➢ Преобразуем это уравнение так: х² + 2х = 3, х² + 2х +1= 3+1,

(х + 1)² = 4.

Следовательно, х+1=2 или х+1= -2, откуда х1=1, х2= -3.

Решая уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное.

4. 2 Решение квадратных уравнений по формуле.

ах² + bх + с = 0

D=b²- 4ac

Если D =0,то х=

Если D>0,то

Если D<0, то уравнение не имеет действительных корней

Пример1: х² - 4х +5 =0

D=16-4·1·5

D<0, то уравнение не имеет действительных корней

Пример2: 2х² + 3х + 1 = 0

D=9-4·2·1=1 х1=

Ответ: -1; - ½

4. 3 Теорема Виета

Если - корни уравнения х² + bх + c = 0, то справедливы формулы

Т. е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример1: х² - 14х – 15 =0

Ответ: 15; -1

Теорема Виета aх² + bх + c = 0 x1 + x2 = - b/a x1· x2 = c/a

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

В числителе с , в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда.

В числителе в, b знаменателе а.

5. Приёмы устного решения квадратного уравнения.

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х1 = 1; х2 = с/а.

Пример: 5х² - 8х +3 = 0

Так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1 = 1; х2 = 0,6

Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 выполняется равенство а + с = в, то х1 = -1; х2 = - с/а.

Пример: 5х² + 8х +3 = 0

Так как 5 + 3 = 8, то х1 = - 1; х2 = - 0,6

Пример. Решить уравнения с большими коэффициентами:

5. 2 Приём «Переброски»:

Пример1:

2х² - 11х +5=0 х²-11х+10=0

делим на 2

Пример2:

6х² - 7х – 3 = 0 х² - 7х -18 = 0

делим на 6

Ответ:1,5; -1/3

6. Комплексные числа.

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящей работы знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решение уравнений с комплексным переменным.

7. Действия с комплексными числами.

Рассмотрим решение квадратного уравнения х²+1=0. Отсюда х²=-1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом i²=-1, откуда i=. Решение квадратного уравнения, например, х² –8х+25=0, можно записать следующим образом: х=4=4=4=

=43=43i.

Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а+bi, где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z=(a+c)+(b+d)i. Числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi)+(а-bi)=2а. Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi=c+di, если a=c, b=d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т. е. z=a+bi=0, если a=0,b=0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b=0, то a+bi=a - действительное число. Если а=0, b0, то a+bi=bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a+ bi и c+di называется комплексное число х+уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х=а-с, у=b-d. Значит, (а+bi)-(c+di)=(a-c)+ (b-d)i.

Произведение комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z = (ac-bd)+(ad+bc)i, z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a +bi)(a-bi)=a2+b2

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:(a+bi):(c+di) =. = = +i.

Степень числа i является периодической функцией показателя с периодом 4. Действительно, i2 =-1, i3 =-i, i4 = 1, i4n = (i4)n = 1n = 1, i4n+1=i, i4n+2 =-1, i4n+3 =-i.

Квадратное уравнение с комплексным неизвестным.

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2=a, где а - заданное число, z - неизвестное.

На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z=0, если а=0;

2) имеет два действительных корня z1,2=, если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2=a, если:

1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.

1)z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2- i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем

(z-i)(z+i)=0, z1=i, z2=-i.

Ответ. z1,2=i.

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение: z2=(-1)25, z2=i252, z2-52i=0, (z-5i)(z+5i)=0, откуда z1=5i, z2=-5i.

Ответ. z 1,2=5i.

3) z2=-3, z2=i2()2, z2-()2i2=0, (z-i)(z+i)=0, z1 =i, z 2=-i.

Ответ. z1,2=i.

Вообще уравнение z2=a, где а<0 имеет два комплексных корня: Z1,2=i.

Используя равенство i2=-1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: =i, =i=2i, = i.

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2+bz+c=0, где а,b,с- действительные числа, а0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2= = = = =23i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 - это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13 - свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2+bz+c=0, z1+z2= -, z1z2=.

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z²+2z+5=0.

8. Заключение.

В данной работе рассмотрены способы решения квадратных уравнений. А также рассмотрены приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики. Овладение данными приёмами поможет мне экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

В настоящем работе дано понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом.

Таким образом, цели работы - рассмотреть способы решения квадратных уравнений: метод выделения полного квадрата, решение квадратных уравнений по формуле, теорема Виета; изучить приёмы устного решения квадратного уравнения; рассмотреть решение квадратного уравнения с комплексными неизвестными - достигнуты.