Классификация софизмов по темам математического цикла

Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает нас от повторения её в других математических рассуждениях.

Софизм – это умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия, не учитываются условия применимости формул и правил. Софизм является особым приёмом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.    Поиск заключённых  в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключённой в софизме, зачастую оказываются  более поучительными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилам, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закрепить» то или иное математическое правило или убеждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому её пониманию и осмыслению.

Поэтому выбранная мной тема особенно актуальна. Актуальностью работы является знакомство учеников с миром софизмов – это погружение в проблемы философии, математики древности, обучение глубине мышления, развитие интуиции, восприятие познавательной активности, настойчивости  в достижении цели.

Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность проследить, как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений.

Думаю, многие не раз слышали такие высказывания, как: «Все числа равны» или «два равно трём». Таких примеров может быть много. И услышав их, я заинтересовалась: что они значат? кто это придумал? можно - ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел?

На эти и на многие другие вопросы я хочу ответить в своей работе, так как считаю, что данная тема необходима для применения на практике и актуальна в наше время.

Софизм — интеллектуальное мошенничество?

Софи́зм (в переводе с греческого - «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.

В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы строятся на том, что в рассуждении незаметно подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, — различаются тождественные объекты. Будучи интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы, только в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.

Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и незаметно отождествляются в том или ином рассуждении. Софизмы встречаются довольно часто и в самых различных областях жизни: в математике, в экономике, в философии, в логике и, особенно, в риторике (науке и искусству красноречия).

Значение софизмов не однозначно

С одной стороны, цель софизма - выдать ложь за истину. Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина.

С другой стороны И. П. Павлов писал: «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математическом рассуждении часто содействовало развитию математики.

Чем полезны софизмы и что они дают?

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Всё это нужно и важно.

От истоков философской мысли

Софистика – это искусство ведения спора. Она вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры. Имея в этом выгоду или просто интерес, многие умные и хитрые люди строго логически доказывали, что черное – это белое, истина – это ложь, добро – это зло и т. д. Так появились софизмы – формально кажущиеся правильными, но по существу ложное умозаключение. Эти рассуждения могут быть истинны в каждой отдельной части, но неверные в целом.

Софизм – слово греческого происхождения, в переводе означающее хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку. Речь идет о "доказательстве", направленном на формально – логическое установление абсурдного положения. В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, на скрытом выполнении невозможных действий, на незаконных обобщениях. Систематический анализ софизмов был дан впервые Аристотелем   (384-322 до н. э. ) в особом трактате, в котором все ошибки разделяются на два класса: "неправильности речи" и ошибки "вне речи", т. е. в мышлении. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит замаскированные ошибки. Часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Для этого они разрабатывали разнообразные логические, риторические и психологические приемы. К логическим приемам нечестного, но удачного ведения дискуссии и относятся софизмы. Однако, одних только софизмов для победы в любом споре недостаточно. Ведь если объективная истина окажется не на стороне спорящего, то он, в любом случае, проиграет полемику, несмотря на все свое софистическое искусство. Это хорошо понимали и сами софисты. Поэтому помимо различных логических, риторических и психологических уловок в их арсенале была важная философская идея (особенно дорогая для них), состоявшая в том, что никакой объективной истины не существует: сколько людей, столько и истин. Софисты утверждали, что все в мире субъективно и относительно. Если признать эту идею справедливой, то тогда софистического искусства будет вполне достаточно для победы в любой дискуссии: побеждает не тот, кто находится на стороне истины, а тот, кто лучше владеет приемами полемики.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, придуманные в V веке до нашей эры мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Например, одна из них: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».

В истории развития математики софизмы способствовали повышению строгости в рассуждениях и более глубокому пониманию понятий и методов математики.

Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, вывеси из остальных аксиом геометрии, но все попытки не увенчались успехом. Полученные «доказательства» оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Можно сказать, что они подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики – создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н. И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н. И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. И путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, привёл его к созданию новой геометрии. Этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку.

Классификация ошибок

Логические

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической  форме (Силлогизм - тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

1. Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа».

2. Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы - против наказания её, значит, вы находите её невинной».

3. Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».

4. Особенно распространённая ошибка «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum), то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы – простые тела, бронза - металл: бронза - простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

Терминологические

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы (всякое «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum) предполагает такое словоупотребление); наиболее характерные:

1. Ошибка гомонимия (лат. aequivocatio), например: реакция, в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор это как врач и как учёная степень.

2. Ошибка сложения - когда разделительному термину придается значение собирательного. Все углы треугольника больше 2 р в том смысле, что сумма меньше 2 р.

3. Ошибка разделения, обратная, когда собирательному термину дается значение разделительного: "все углы треугольника равны 2 р" в смысле "каждый угол равен сумме 2 прямых углов".

4. Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определенного слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

5. Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: сколько будет: дважды два плюс пять? Здесь трудно решить имеется ли в виду 2*2+5=9 или 2*(2+5)=14.

Более сложные софизмы проистекают из неправильного построения целого сложного хода доказательств, где логические ошибки являются замаскированными неточностями внешнего выражения. Сюда относятся:

«Предвосхищение Основания»

(лат. petitio principii) ошибка логическая в доказательстве, заключающаяся в том, что в качестве аргумента (основания), обосновывающего тезис, приводится положение, которое хотя и не является заведомо ложным, однако нуждается в доказательстве.

«Подмена Тезиса»

(лат. ignoratio elenchi) логическая ошибка в доказательстве, состоящая в том, что начав доказывать некоторый тезис, постепенно в ходе доказательства переходят к доказательству другого положения, сходного с тезисом. При этом происходит нарушение закона тождества по отношению к тезису: тезис на всем протяжении доказательства должен оставаться одним и тем же. Опасность этой ошибки заключается в том, что благодаря сходству доказанного положения с тезисом создается иллюзия о доказанности именно тезиса.

1. «A dicto secundum ad dictum simpliciter»

Выражение, следующее от простого, представляет заключение от сказанного с оговоркой к утверждению, не сопровождаемому этой оговоркой.

2. «Non sequitur» представляет отсутствие внутренней логической связи в ходе рассуждения: всякое беспорядочное следование мыслей представляет частный случай этой ошибки.

Психологические

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизма предполагает два фактора: а - психические свойства одной и б - другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизма зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в отсутствии развития способности управлять вниманием, активно мыслить, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности фактических знаний по данному предмету, лености в мышлении (ignava ratio). Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм: обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через а.

Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении - боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет, любовь и ненависть, прочно ассоциировавшиеся с известными представлениями. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через с, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d. Аргумент для человека (лат. argumentum ad homuiem), вводящий в спор личные счеты, и аргумент для общества (лат. argumentum ad populum), влияющий на аффекты толпы, представляют типичные софизмы с преобладанием аффективного элемента.

Волевые причины

При обмене мнений мы воздействуем не только на ум и чувства собеседника, но и на его волю. Во всякой аргументации (особенно устной) есть элемент волевой - императивный - элемент внушения. Категоричность тона, не допускающего возражения, определенная мимика (обозначим за e) действуют неотразимым образом на лиц, легко поддающихся внушению, особенно на массы, с другой стороны, пассивность (обозначим за f) слушателя особенно благоприятствует успешности аргументации противника. Таким образом, всякий софизм предполагает взаимоотношение между шестью психическими факторами: a + b + c + d + e + f. Успешность софизма определяется величиной этой суммы, в которой (a + с + е) составляет показатель силы диалектика, (b + d + f) есть показатель слабости его жертвы. Само собой разумеется, что логические, терминологические и психологические факторы теснейшим образом связаны между собой.

Классификация софизмов по темам математического цикла

Распределим некоторые софизмы, помогающие нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.

• Арифметические

Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы? Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

« Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.

Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А∙В>В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

А(В-А)>(В+А)(В-А). (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)).

Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0. Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А).

«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».

Возьмем два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

А> – В и В> – В. (1)

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

А·В>В·В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что

А>В. (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

В> – А и А> – А, (3)

Аналогично предыдущему получим, что В·А>А·А, а разделив на А>0, придем к неравенству

А>В. (4)

Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств. )

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства

(А+В)(В+В)>0, или А>– В, что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде

(В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В> – А).

• Алгебраические

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т. е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

«Отрицательное число больше положительного».

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения: а и – а

Они равны, так как каждое из них равно –(а/с). Можно составить пропорцию: а = –а

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т. е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

«Всякое положительное число является отрицательным»

Пусть п — положительное число.

Очевидно, 2п-1<2п.

Возьмем другое произвольное положительное число а и умножим обе части неравенства на ( – а): – 2ап + а< – 2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину ( – 2ап), получим неравенство а<0, доказывающее, что всякое положительное число является отрицательным.

(Ошибка: в софизме нарушено следующее правило: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. )

7 класс

( Тема: разложение на множители)

Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или.

(Ошибка: ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки. )

( Тема: формулы сокращенного умножения)

Любые два неравных числа равны

Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму числом а, т. е. х + z = а.

Умножив обе части этого равенства на x-z, получим

(x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax-az.

Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим x2-ax = z2-az.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства число а2/4, будем иметь x2-ax+ а2/4 = z2-az + а2/4 или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим:

(x – а/2)2 = (z – а/2)2 а извлекая из обеих частей последнего равенства квадратные корни, придем к выражению

(x – а/2) = (z – а/2)

Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве равны, то заключаем, что х=z

(Ошибка заключается в неверном извлечении корня квадратного из квадрата числа. )

(Тема: решение систем линейных уравнений)

«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой».

Решим систему двух уравнений: х+2у=6, (1) у=4- х/2

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6

(Ошибка: уравнение можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде: х+2у=6, х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т. е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают.

Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще. )

«Четыре равно восьми».

Возьмём систему уравнений:

2х +у =8 х – 2 = – у/2

Преобразуем данную систему уравнений:

2х +у =8 (1) х = (4 – у) /2 (2)

Решим её подстановкой 2го уравнения в 1, получаем 4 – у + у = 8, т. е. 4 = 8

(Ошибка: уравнения данной системы несовместимы).

8 класс

(Тема: арифметический квадратный корень)

«Любое число равно нулю».

Каково бы ни было число a, верны равенства:

(+a)2 = a2 и ( – a )2 = a2

Следовательно, (+a)2 = ( – a )2, а значит,

+a = – a, или 2a = 0, И поэтому a = 0.

(Ошибка: ( – a )2 = a2 ↔ -a = a).

«Пять равно одному».

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3:

Получим числа 2 и – 2.

При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4.

Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1.

(Ошибка: из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны. )

«Четыре равно пяти».

Имеем числовое равенство (верное):

16 – 36 = 25 – 45;

16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2;

4 – 4,5 = 5 – 4,5;

(Ошибка: (4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ 4 – 4,5 = 5 – 4,5)

(Тема: решение неравенств)

«Из двух неравных чисел первое всегда больше второго».

Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:

(a – b)2 > 0, т. е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab

К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2

Получим: a2 – b2 > 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) > 2b (a – b)

После деления обеих частей на (a – b) имеем: a + b > 2b, откуда следует, что a > b

(Ошибка: при делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b) на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b < 0)).

9 класс

(Тема: числовые последовательности)

Формула суммы членов геометрической прогрессии не верна

Рассмотрим бесконечный ряд

1-1 + 1-1 + 1-1 +. (1) и попытаемся найти его сумму S.

Очевидно, что этот ряд можно рассматривать как геометрическую прогрессию с первым членом а1=1 и знаменателем прогрессии q = -1. To, что это так, легко убедиться непосредственно, последовательно умножая первый член а1 на знаменатель q. Сумма S бесконечного числа членов геометрической прогрессии вычисляется по известной формуле

S=a1/(1 – q) и при а1 = 1 и q = -1 эта сумма S = 1/2

В то же время мы можем найти значение суммы (1), предварительно заключив в скобки каждую пару слагаемых, состоящую из одного положительного и одного отрицательного слагаемого, т. е. S =(1 – 1) – (1 – 1) – (1 – 1) +, что, естественно, приводит к значению суммы S, равному

S = 0 – 0 – 0 –. = 0.

Итак, значения суммы, вычисленной по формуле геометрической прогрессии (равное 12) и с помощью процедуры, описанной выше (равное 0), приводят совершенно к разным результатам.

Следовательно, формула суммы членов бесконечной геометрической прогрессии не верна.

(Ошибка: ошибка в софизме состоит в следующем: знаменатель прогрессии (1) равен -1, и вычисления по формуле (2) проводить нельзя, так как формула (2) для суммы бесконечно убывающей прогрессии справедлива только для знаменателя 0< q < 1)

Сумма слагаемых изменяется от перегруппировки слагаемых

Рассмотрим сумму бесконечного числа слагаемых, поочередно равных плюс единице и минус единице, т. е.

S =1-1 + 1-1 + 1-1 +. , (1) и попробуем найти значение этой суммы S.

Сначала поступим следующим образом. Будем объединять слагаемые в пары, начиная со второго слагаемого, ставя перед каждой парой знак «минус», т. е.

S = 1-(1-1)-(1-1)-. = 1-0-0-. =1.

Теперь переставим каждое положительное слагаемое той же суммы (1) на место отрицательного и обратно, тогда

S = -1 + 1-1 + 1-1 + 1-. = = -1 + 0 + 0 +. = -1.

Итак, по-разному переставляя слагаемые суммы (1), мы пришли к различным значениям этой суммы: 1 и -1. Значит, сочетательное и переместительное свойства алгебраической суммы не имеют места.

(Ошибка: ошибка в софизме состоит в следующем: знаменатель прогрессии (1) равен -1, и вычисления по формуле (2) проводить нельзя, так как формула (2) для суммы бесконечно убывающей прогрессии справедлива только для знаменателя 0< q < 1)

10 класс

(Тема: равносильные уравнения)

1)Возьмем верное неравенство: x2-x2=x2-x2; разложим его на множители:

(x+x)(x-x)=x(x-x); сокращаем: x+x=x; получается: 2x=x, следовательно, 2=1.

2) x=1; x2=x; x2-1=x-1; x+1=1, но т. к. x=1, то 2=1.

(Ошибка: «сокращение» уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице).

Любое число равно его половине.

Возьмем два равных числа a и b, a=b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведения по b2. Получим: a2-b2= ab- b2, или (a+b)(a-b) =b (a-b).

Отсюда a+b=b или а+а=а, так как a=b. Значит, 2а=а, или а=а/2.

( Ошибка: «сокращение» уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице).

Логарифм отрицательного числа существует

Если логарифм отрицательного числа loga(-A) не существует, то не существует и 21oga(-A).

Однако на основании свойства логарифмов, в силу которого n logaA = logaAn, (1) при п = 2 имеем

21oga(-A) = loga(-A)2, (2) а так как loga(-A)2=loga(+A)2, где существование loga(+A)2 не вызывает сомнения, то мы должны заключить, что и loga (-А)2, которому он равен, также должен существовать.

Далее, в равенстве loga (-A)2 = 2 loga (-А) левая часть есть выражение loga(-A)2, которое существует , следовательно, существует и правая часть, а именно логарифм loga(-A).

Таким образом, логарифм отрицательного числа loga(—А) существует точно так же, как и логарифм положительного числа.

(Ошибка : формула (1), приведенная в софизме, имеет место только при А>0. Если же п — четное число, то для любого А≠0 справедлива другая формула: n logaA = logaAn (2. 1)

Поэтому при п = 2 необходимо пользоваться формулой (2. 1), так что вместо неправильного соотношения (2) в софизме мы должны записать

21ogа-A = loga(-A)2. )

Квадраты чисел 2 и 4 равны

Возведем обе части тригонометрического тождества cos2x = l-sin2x в степень 32:

(cos2х)32 = (1 - sin2 x) 32. (1)

Преобразовав левую часть полученного равенства, и прибавив к обеим его частям число 3, получим cos3 x + 3 = (1 - sin2x) 32 + 3. (2)

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

(cos3 x + 3 )2 = ((1 - sin2x) 32 + 3)2. (3)

Положив в последнем равенстве х = 90о и учитывая, что cos 90° = 0, sin 90°= 1, получим верное равенство 32=32. Положив в том же равенстве х=180°, и учитывая, что значение cos 180° = -1, a sin 180° = 0, получим

Ошибка заключается в неправильном переходе от равенства (1) к равенству (2). Согласно формуле (1. 3) корень квадратный из квадрата некоторой функции равен не самой функции, а ее модулю).

• Геометрические

Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

7 класс: Внешний угол треугольника

Сумма углов треугольника

Параллельные и перпендикулярные прямые

Треугольник

8 класс: Пропорциональные отрезки

Четырехугольники

Рациональные выражения

9 класс: Решение треугольников

Окружность

Метод координат

7 класс

(Тема: перпендикуляр)

Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра.

Рассмотрим треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; Угол ВDC также прямой.

Следовательно, ВD АС и ВЕ АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

(Ошибка: ошибка при построении чертежа: в действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т. е. ВЕ совпадает с ВD ).

8 класс

(Тема: пропорциональные отрезки)

Отрезки параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны

Рассмотрим произвольный угол с вершиной в точке Е и пересечем его стороны двумя параллельными прямыми, отрезки которых АВ и CD заключены между сторонами этого угла.

Как известно, параллельные прямые отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки, следовательно, AE/DE = BE/CE откуда

AE-DE = BE-CE. (1)

Умножив обе части последнего равенства на отличную от нуля разность AB-CD, запишем

АЕ - DE -АВ -АЕ - DE - CD = BE-CE-AB-BE-CE-CD.

Перенося первый член правой части влево, а второй член левой части вправо, получим

AE-DE-AB-BE-CE-AB=АЕ-DE-CD-BE-CE-CD, или

AB(AE-DE-BE-CE) =CD(AE-DE-BE-CE). (2)

Разделив обе части последнего равенства на. АЕ-DE-BE-СЕ, получим равенство.

(Ошибка: ошибка кроется в том, что верное равенство (2) делится на величину AE-DE-BE-CE, которая согласно равенству (1) равна нулю, что, как мы знаем, недопустимо. )

9 класс

(Тема: окружность)

В любой окружности хорда, не проходящая через ее центр, равна ее диаметру.

В произвольной окружности проводим диаметр АВ и хорду АС. Через середину D этой хорды и точку В проводим хорду BE. Соединив точки С и Е, получаем два треугольника ABD и CDE. Углы ВАС и СЕВ равны как вписанные в одну и ту же окружность, опирающиеся на одну и ту же дугу; углы ADB и CDE равны как вертикальные; стороны AD и CD равны по построению. Отсюда заключаем, что треугольники ABD и CDE равны (по стороне и двум углам). Но стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, сами равны, а потому АВ = СЕ т. е. диаметр окружности оказывается равным некоторой (не проходящей через центр окружности) хорде, что противоречит утверждению о том, что диаметр больше всякой не проходящей через центр окружности хорды.

(Ошибка: в софизме доказывается, что два треугольника ABD и CDE равны, ссылаясь при этом на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. Однако такого признака нет. Правильно сформулированный признак равенства треугольников гласит: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. )

Внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним

Из геометрии известно, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Докажем, что внешний угол треугольника равен внутреннему, не смежному с ним.

Рассмотрим четырехугольник ABCD , такой, в котором

Через точки A, D и С проведем окружность, которая пересечет стороны АВ и ВС в некоторых точках Е и F. Соединив точки С и Е, получим вписанный в эту окружность четырехугольник ADCE. Но сумма противоположных углов всякого вписанного четырехугольника, как известно, равна 180°, потому

Сравнив равенства (1) и (2), получим

(Ошибка: ошибка кроется в том, что на самом деле окружность, проведенная через точки A, D и С данного четырехугольника ABCD, обязательно пройдет и через точку Б. Другими словами, все точки четырехугольника ABCD должны лежать на одной окружности).

• Логические

Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т. д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Девушка — не человек

Доказательство от противного. Допустим, девушка – человек. Девушка – молодая, значит девушка – молодой человек. Молодой человек – это парень. Противоречие. Значит девушка — не человек.

Полупустое и полуполное

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

Не знаешь то, что знаешь

«Знаешь ли ты то, о чём я хочу тебя спросить?» - «Нет». – «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» - «Знаю». – «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».

Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

Отец — собака

«Эта собака имеет детей, значит, она – отец. Но это твоя собака. Значит, она твой отец. Ты её бьёшь, значит, ты бьёшь своего отца и ты – брат щенят».

Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

Чем больше

«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки. Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного я проливаю. Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю. Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».

Женщина – человек

Женщина - человек. Мужчина отличается от женщины. Следовательно, мужчина не человек?

Апельсин- планета

Земля, Марс и т. д. - круглые. Значит, все планеты круглые. Апельсин тоже круглый, значит апельсин - планета?

Сидящий стоит

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

Логический софизм 

Вход в парк некоего могущественного князя был запрещен. Если нарушитель попадался, его ожидала смерть, но ему предоставлялось право выбирать между виселицей и обезглавливанием. Он должен был что-то заявить, и если его утверждение было верно, его обезглавливали, а если ложно, то его вешали. Что нужно было заявить нарушителю, чтобы избежать установленного правила и остаться живым?

«Меня повесят, естественно».

Ты не человек

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

Самое быстрое не догонит самое медленное

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

Нет конца

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т. д. до бесконечности.

Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т. к. он не может поднять это камень.

Софизм «лгун»

Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)

«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.

Исследовательская работа

Чтобы показать и подтвердить значимость софизмов в жизни, я провела исследовательскую работу в сфере учебной деятельности. Данная работа была направлена на развитие умения находить ошибку, анализировать и устранять ее; на развитие логического мышления; на формирование математической грамотности учащихся.

Исследование проводилось среди учащихся пятых и десятых классов.

В 5В классе был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Единицы измерения», в 5Г данного урока не проводилось. Затем по этой теме была проведена контрольная работа.

По итогам контрольных работ средние баллы в каждом из пятых классов разошлись. Так, средний балл в 5В классе составил – 4,2 , в 5Г – 3,6. Ни один учащийся из 5В класса не допустил ошибку при решении задач на единицы измерения, когда в 5Г классе 8 учащихся (33%) допустили ошибки в решении задач.

Такую же работу я провела в 10А и 10Б классах, где в первом из них был проведен урок – презентация, посвященный алгебраическим софизмам по теме «Равносильные уравнения», а затем проведена контрольная работа в каждом классе.

В 10А средний балл был равен – 3,9, а в 10Б – 3,1. Только один учащийся (4%) 10А класса допустил ошибку по данной теме, когда в 10Б ошибки допустили 14 человек (57%).

Все полученные данные я оформила в виде диаграмм , которые наглядно показали мне различия по уровню усвоения темы контрольной.

Таким образом, проанализировав полученные результаты, я сделала вывод, что ученики, разобравшие варианты возможных ошибок, научились находить и устранять их. Ученики, не получившие данной информации, допустили различные ошибки по данной теме.

Заключение

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но, тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то чаще они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.

Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни.

Я поняла, что софистика - это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненную череду его рассуждений. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.