Каскады из правильных многогранников

В школьном курсе геометрии даны весьма бедные сведения о правильных многогранниках. Из-за нехватки времени не удается уделить должное внимание правильным многогранникам, а ведь они эстетически привлекательны. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего дидактические возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулировать много интересных, вполне доступных учащимся задач, которые необходимы для развития познавательных интересов учащихся, формирования их пространственных представлений. К таким задачам относятся задачи на построение каскад из правильных многогранников. Задачи на построение этих тел интересны своей взаимозависимостью, которая основывается на известных теоретических фактах.

В своей работе мы хотим показать практическое приложение правильных многогранников. Использование моделей многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Кроме того, иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету.

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ МНОГОГРАННИКОМ?

Многогранником называется тело (часть пространства), ограниченное со всех сторон конечным числом плоскостей. Поверхность многогранника состоит из конечного числа плоских многоугольников.

ВЫПУКЛЫЕ И ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности называется гранью. Грани выпуклого многогранника – выпуклые многоугольники. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

Для любых выпуклых многогранников существует некоторое постоянное соотношение между числом вершин, граней и ребер, которое было установлено Леонардом Эйлером (1707-1783).

Сумма чисел граней и вершин выпуклого многогранника на два больше числа его ребер:

В + Г = Р+2,

Где В – число вершин, Г - число граней, Р – число ребер многогранника.

Данная формула называется формулой Эйлера.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер, а соседние грани сходятся под равными углами.

Следует заметить, что правильных многоугольников можно построить бесконечно много, а правильных многогранников всего пять: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Подтвердить это можно с помощью разверти выпуклого многогранного угла. В самом деле, для того чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360º, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60κ < 360, 90κ < 360 и 108κ < 360 (κ – число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), можно доказать, что правильных многогранников ровно пять.

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого «тетраэдр», «гексаэдр», «октаэдр», «додекаэдр», «икосаэдр» означают: «четырехгранник», «шестигранник», «восьмигранник», «двенадцатигранник», «двадцатигранник».

1. Тетраэдр (правильный четырехгранник), гранями которого являются правильные треугольники .

2. Гексаэдр (правильный шестигранник – куб), гранями которого являются правильные четырехугольники – квадраты.

3. Октаэдр (правильный восьмигранник), гранями которого являются правильные треугольники .

4. Додекаэдр (правильный двенадцатигранник), гранями которого служат правильные пятиугольники .

5. Икосаэдр (правильный двадцатигранник), гранями которого служат правильные треугольники

Форма правильных многогранников – образец совершенства!

У правильных многогранников есть интересная особенность. Оказывается, первый из них (тетраэдр) стоит немного особняком: если считать центры его граней вершинами нового многогранника, то вновь получим тетраэдр. Зато четыре оставшихся разбиваются на две пары. Центры граней куба образуют октаэдр, а центры граней октаэдра – куб. То же происходит с парой додекаэдр – икосаэдр. При изготовлении моделей правильных многогранников используют специальные развертки (а-тетраэдр, б – гексаэдр, в – октаэдр, г – додекаэдр, д – икосаэдр).

ГЛАВА II. ТЕЛА ПЛАТОНА.

Правильные многогранники также называют телами Платона, так как они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизирует огонь, т. к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр – воду, т. к. он самый «обтекаемый»; куб – землю, как самый «устойчивый»; октаэдр – воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным.

Для всех тел Платона справедлива формула Эйлера; например, для тетраэдра

В + Г = Р + 2 = 8.

4 + 4 = 6 + 2 = 8.

Простота этой формулы в том, что она не связана ни с расстоянием, ни с углами. Для нахождения количества граней, вершин и ребер правильного многогранника используем формулу. После этого нетрудно заполнить таблицу, в которой приведены сведения об элементах правильных многогранников

ТАБЛИЦА 1.

Название многогранника Число ребер при вершинеЧисло сторон грани Число граней Число ребер Число вершин

Тетраэдр 3 3 4 6 4

Гексаэдр (куб) 3 4 6 12 8

Октаэдр 4 3 8 12 6

Додекаэдр 3 5 12 30 20

Икосаэдр 5 3 20 30 12

ТАБЛИЦА 2

Название многогранника Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы

Тетраэдр

Октаэдр

Додекаэдр

Икосаэдр

ГЛАВА III. КАСКАДЫ ИЗ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ.

Правильные многогранники можно вписывать друг в друга. Так, в куб можно вписать октаэдр . Центры граней куба образуют вершины вписанного в него октаэдра. В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба.

Многогранники, обладающие таким свойством, называются взаимно двойственными. Таким образом, октаэдр и куб — взаимно двойственные многогранники.

Другим примером взаимно двойственных правильных многогранников являются додекаэдр и икосаэдр. (Центры граней додекаэдра находятся в вершинах вписанного в него икосаэдра. И наоборот, центры граней икосаэдра служат вершинами вписанного в него додекаэдра).

Правильные многогранники можно вписывать друг в друга не только таким способом, о котором рассказано выше. Например, в куб можно вписать тетраэдр. При этом вершины тетраэдра будут лежать в вершинах куба. В свою очередь, куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы вершины куба лежали в вершинах додекаэдра .

При вписывании одного правильного многогранника в другой, вершины первого могут лежать на серединах ребер второго. Такими многогранниками являются тетраэдр и вписанный в него октаэдр .

Есть и еще один способ: некоторые противоположные ребра вписываемого многогранника лежат на гранях описываемого. При этом середины ребер совпадают с центром соответствующих граней. Таким способом можно вписать в куб икосаэдр или додекаэдр .

Комбинируя рассмотренные случаи, в любой правильный многогранник можно вписать все остальные правильные многогранники.

Действительно в куб можно вписать октаэдр, тетраэдр, икосаэдр и додекаэдр, т. е. все остальные правильные многогранники.

В додекаэдр можно вписать икосаэдр, куб и тетраэдр. Вписывая в куб додекаэдр и октаэдр, получим октаэдр вписанный в додекаэдр, и, следовательно, в додекаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.

В икосаэдр можно вписать додекаэдр и, следовательно, куб и тетраэдр. Вписывая в куб икосаэдр и октаэдр, получим октаэдр, вписанный в икосаэдр. Таким образом, в икосаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.

Рассмотрим октаэдр. В него можно вписать куб и тетраэдр. Описывая около куба, вписанного в октаэдр, додекаэдр, получим додекаэдр, вписанный в октаэдр . Аналогично, описывая около куба икосаэдр, получим икосаэдр, вписанный в октаэдр. Таким образом, в октаэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.

Рассмотрим оставшийся правильный многогранник — тетраэдр. В него можно вписать октаэдр. Вписывая в октаэдр куб, икосаэдр и додекаэдр, получим, что в тетраэдр можно вписать все остальные правильные многогранники.

Последовательно вписывая друг в друга правильные многогранники, получим так называемые каскадное вписывание.

Важное замечание, необходимое при построении каскадного вписывания правильных многогранников. Во-первых, центры последовательно вписанных друг в друга правильных многогранников совпадают; во-вторых, если вершины вписанного многогранника лежат в центрах граней описанного многогранника, то радиус сферы, описанной около вписанного многогранника, будет равен радиусу сферы, вписанной в описанный многогранник.

ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ НА КОМБИНАЦИИ МНОГОГРАННИКОВ.

Если вершины вписанного многогранника лежат на серединах ребер описанного многогранника, то радиус сферы, описанной около вписанного многогранника (R), равен радиусу сферы, касающейся середин ребер вписанного многогранника (r).

В качестве примера приведу вычисления ребер следующих каскадно вписанных друг в друга правильных многогранников.

Тетраэдрикосаэдр додекаэдр

(а4,r4,R4)(a20, r20, R20) (a12,r12,R12)

октаэдркуб

(a8,r8,R8)(a6,r6, R6)

Здесь аi обозначена длина ребра соответствующего многогранника, через ri – радиус вписанной сферы, через Ri – радиус описанной сферы (i=4,6,8,12,20).

В данном случае самым внутренним многогранником является куб, а самым внешним – тетраэдр. Поэтому сначала рассмотрим первый этап: октаэдр куб, т. е. описывание октаэдра около куба.

Задача 1. Пусть куб вписан в октаэдр . Вершины куба находятся в центрах граней октаэдра. Зная длину стороны куба найти длину стороны октаэдра и по полученным расчетам построить модель каскадного вписывания.

Решение: Обозначим через а6 длину ребра куба, тогда где R6 – радиус сферы, описанной около куба. Пусть r8 – радиус сферы вписанной в октаэдр, r8=, где а8 – длина ребра октаэдра. Так как R6 = r8, получаем, что

Следовательно, а8=1,5а6, что позволяет найти ребро октаэдра а8, вписанного в куб с ребром а6.

Произведем расчеты длин сторон для изготовления модели куба вписанного в октаэдр: пусть сторона куба а6=6см. Вычислим по полученной формуле длину стороны октаэдра а8=1,5 6=1,5·1,4·6=12,6см. Зная длины сторон куба и октаэдра изготовим модель.

Аналогичным образом можно задать сторону октаэдра и, выполнив несложные преобразования получить формулу для вычисления стороны куба.

Второй этап: додекаэдр октаэдр

Задача 2. Пусть октаэдр вписан в додекаэдр. Вычислить длину ребра додекаэдра а12,, описанного около октаэдра.

Решение: Вершины октаэдра лежат в серединах противоположных ребер додекаэдра. Следовательно, радиус сферы, описанной около октаэдра, равен радиусу сферы, касающейся середин ребер додекаэдра. Радиус этой второй сферы легко найти, рассмотрев треугольник АОВ на рис. 12, АВ – ребро додекаэдра, точка О – центр октаэдра и додекаэдра. Треугольник АОВ показан отдельно. На нем хорошо видно, что ОН, радиус искомой сферы, равен высоте равнобедренного треугольника, опущенной из вершины О. Так как , то Замечая, что имеем:

Далее , отсюда = а8 и, следовательно, а12=.

Расчеты для изготовления модели октаэдра вписанного в додекаэдр: пусть сторона октаэдра а8=6см, тогда а12=3,2см.

Третий этап: икосаэдр додекаэдр.

Задача 3. Додекаэдр вписан в икосаэдр. Вычислить длину ребра икосаэдра а20, описанного около додекаэдра.

Решение: Эти многогранники двойственны, поэтому r20=R12, т. е. и, следовательно а20=

Расчеты: а12 = 3см, тогда а20 =

Четвертый этап: тетраэдр икосаэдр.

Задача 4. Вычислить длину ребра тетраэдра а4, описанного около икосаэдра.

Решение: Грани икосаэдра лежат на гранях тетраэдра, причем центры соответствующих граней совпадают, т. е. равны радиусы вписанных сфер: r4=r20, тогда и, следовательно,

Расчеты: а20=3см, тогда а4 = 11см.

После того как были вычислены ребра всех правильных многогранников, участвующих в данном каскадном вписывании мы изготовили модели, которые успешно использовались на уроках геометрии в 10 классе при изучении темы «Правильные многогранники.

Мы выполнили модели каскадно вписанных правильных многогранников попарно. Можно построить модель каскадного вписывания сразу всех правильных многогранников при этом следует начинать с самого внутреннего многогранника – куба – и-заканчивать внешним – тетраэдром.

Заключение

Стереометрия, как ни один другой математический предмет, нужна в школьном курсе геометрии, поскольку именно она дает человеку необходимые пространственные представления, знакомит с разнообразием пространственных форм, законами восприятия и изображения пространственных фигур, что позволяет человеку правильно ориентироваться в окружающем мире. С другой стороны, стереометрия дает метод научного познания, способствует формированию мышления школьников, включению их в активную познавательную деятельность. Кроме этого, изучение стереометрии формирует необходимые практические навыки в изображении, моделировании и конструировании пространственных фигур, в измерении основных геометрических величин (длин, величин углов, площадей, объемов).