Графические приёмы при решении задач по математике

9 класс - предпрофильный, и поэтому у нас ввели элективный курс по математике «Функции и графики». Я выбрала это направление и не пожалела, так как при проведении пробного экзамена встретились задания, связанные с функцией, её свойствами и графиками. В ходе изучения курса выяснилось, что умение строить графики часто помогает решать многие уравнения и неравенства, и порой является единственным средством их решения. По мере развития математики графический метод проникает в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике (именно с ней будет связано моё дальнейшее образование). Значит, растет и важность изучения этого раздела математики в школе.

Разбирая задания ГИА, я столкнулась с задачами с параметрами, с которыми знакомились на уроках только поверхностно. Просмотрев варианты ЕГЭ 11 класса, убедилась в том, что и здесь встречаются подобные задания. Поэтому особое внимание в своей работе я уделила именно задачам с параметрами.

Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они ещё не умели считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела, чем дольше горит костёр, тем теплее будет в пещере.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы.

Определение и свойства функции.

Слово «функция» (от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение «функция от x» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств».

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский.

В школьном учебнике математики дается следующее определение функции:

Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение у. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Записывают: y =f(x) (читается: «Эф от икс»). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке х.

1. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Графически область определения функции есть проекция графика функции на ось абсцисс.

2. Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции. Графически область значений функции – это проекция графика функции на ось Оу.

3. Функцию у = f(х) с областью определения Х называют четной, если для любого х є Х число (-х) є Х и справедливо равенство: f(-х) = f(х).

График любой четной функции у = f(х) с областью определения Х симметричен относительно оси ординат, так как для любого х є Х точки плоскости (х; f(х) ) и (-х; f(х)) симметричны относительно оси Оу.

4. Функцию f с областью определения Х называют нечетной, если для любого х є Х число (-х) є Х и справедливо равенство: f(-х) = -f(х).

График любой нечетной функции у = f(х) с областью определения Х симметричен относительно начала координат, так как для любого х є Х точки плоскости (х; f(х) ) и (-х;-f(х)) симметричны относительно начала координат.

5. Функцию у = f(х), определенную на промежутке Х, называют возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка выполняется: х1 < х2 <=> f(х1) < f(х2).

6. Функцию у = f(х), определенную на промежутке Х, называют убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка выполняется: х1 < х2 <=> f(х1) > f(х2).

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

1. Линейная функция, ее свойства и график

Функция вида у = kх + b , где k и b – числа, называется линейной. Графиком линейной функции является прямая.

Свойства функции у = kх + b

1. D(у) = ( -∞; +∞ )

2. Е(у) = ( -∞; +∞ ), если k ≠ 0 и b, если k = 0

3. у(-х) = -kх + b – функция не является ни четной, ни нечетной.

4. у = 0 при х = -b/k , А ( -b/k; 0 )

Частные случаи.

Пусть k = 1, b = 0 , тогда у = х Пусть k = -1, b = 0, тогда у = -х

Пусть k ≠ 0, k ≠ ±1, b = 0, тогда у = kх

2. Функция у = k / х, ее свойства и график.

Функция вида , где k ≠ 0 называется обратной пропорциональностью. Графиком является гипербола.

1. D(у) = ( -∞; 0) U ( 0; +∞)

2. Е(у) = ( -∞; 0) U ( 0; +∞)

3. – нечетная функция, график симметричен относительно точки О (0;0)

4. при k > 0 k > 0

Функция убывает при х є (-∞;0) и х є (0;+∞) у > 0 при х є (0;+∞); у < 0 при х є (-∞;0) при k < 0 k < 0

Функция возрастает при х є (-∞;0) и х є (0;+∞) у > 0 при х є (-∞;0); у < 0 при х є (0;+∞)

5. х = 0 – уравнение вертикальной асимптоты у = 0 – уравнение горизонтальной асимптоты

3. Квадратичная функция, ее свойства и график.

Функция вида у = ах2 + bх + с, где а, b, с – числа, а ≠ 0, называется квадратичной. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0; при а < 0 ветви параболы направлены вниз.

1. D(у) = R

2. у(-х) = ах2 + bх + с – функция не является ни четной, ни нечетной

3. Нули функции: у = 0; ах2 + bх + с = 0; х1,2 =, где D = b2 – 4ас – дискриминант.

Рассмотрим таблицу:

D > 0 (2 различных корня ) D = 0 (один корень ) D < 0 (нет корней )

у < 0 при х є ( х1; х2) у < 0 нет корней у < 0 нет решений у >0 при хє ( -∞;х1) υ (х2; +∞) у >0 при хє( ­∞; х0) υ (х0; +∞) у >0 при любом х є R

Функция убывает при х є ( -∞; х0 ]; Функция возрастает при х є [ х0; +∞ )

Е(у) = [ у0; +∞ )

у<0 при хє ( -∞; х1) υ (х2; +∞) у<0 при хє (-∞;х0) υ (х0;+∞) у < 0 при любом х є R

у >0 при х є ( х1; х2 ) у > 0 нет решений у > 0 нет решений

Функция убывает при х є ( х0; +∞ ); Функция возрастает при х є ( -∞; х0 )

Е(у) = ( -∞; у0 ]

Основные способы преобразования графиков.

1) Симметрия относительно осей координат.

Функции у = f(х) и у = -f(х) имеют одну и ту же область определения. Их графики симметричны относительно оси Ох и график функции у = -f(х) получается из графика функции у = f(х) симметричным отображением последнего относительно оси Ох.

Функции у = f(х) и у = f(-х) имеют области определения, симметричные относительно точки О. Графики этих функций симметричны относительно оси Оу, поэтому график функции у = f(-х) получается из графика функции у = f(х) симметричным отображением последнего относительно оси Оу.

2) Сдвиг вдоль осей координат (параллельный перенос).

График функции у = f(х - а) получается сдвигом вдоль оси Ох на величину а графика функции у = f(х) вправо, если а > 0, и влево, если а < 0. Например, х2 вправо по Ох на 2 единицы (х – 2)2

График функции у = f(х) + В получается сдвигом графика функции у = f(х) вдоль оси Оу на величину В вверх, если В > 0, и вниз, если В < 0.

Например, х2 вниз по Оу на 4 единицы х2 – 4

3) Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат.

График функции у = Вf(х) получается растяжением в В раз (В > 1) вдоль оси Оу графика функции у = f(х).

Если 0 < В < 1, то график функции у = Вf(х) получается из графика функции у = f(х) сжатием в 1/В раз вдоль оси Оу графика функции у = f(х).

Например, sin х растяжение в 2 раза вдоль Оу 2 sin х

График функции у = f(kх) получается сжатием в k раз (при k > 1) или растяжением в 1 /k раз (при 0 < k < 1) вдоль оси Ох графика функции у = f(х).

Например, sin х сжатиеме в 2 раза вдоль Ох sin 2 х

4) Графики функций, связанных с модулем.

Для построения графика функции у = f(х) надо сохранить ту часть графика функции у = f(х), точки которой находятся на оси Ох или выше этой оси, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции у = f(х), которая расположена ниже оси Ох.

Для построения графика функции у = f(х) надо сохранить ту часть графика функции у = f(х), точки которой находятся на оси Оу или справа от нее, и симметрично отразить эту часть относительно оси Оу.

Графический метод решения уравнений и неравенств.

Для того чтобы решить уравнение с одним неизвестным графическим способом, нужно, перенося все его члены в левую часть, представить это уравнение в виде. После этого необходимо построить график функции. Абсциссы точек пересечения или касания этого графика с осью х равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.

В ряде случаев при решении уравнений с одним неизвестным целесообразней воспользоваться другим способом. Для этого уравнения записывается в виде и заменяется системой решаемой графически. Абсциссы точек пересечения или касания графиков f1(x) и f2(x) равны корням исходного уравнения.

П р и м е р 1. Решить уравнение.

Изобразим в одной системе координат (см. рис. ) графики функций и.

Графики пересеклись в точке (–1; 2). Следовательно, корень данного уравнения.

В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие-либо свойства функций.

Если, например, одна из функций , возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней, либо имеет один корень, который иногда можно угадать.

П р и м е р 2. Решить уравнение.

Перепишем уравнение в виде. Очевидно, что является корнем данного уравнения. А в силу того, что возрастает на R, а убывает на R, других корней нет.

Или другая разновидность функционально-графического метода: если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций , равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение равносильно системе.

П р и м е р 3. Решить уравнение.

Наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение функции также равно 0.

Значит, уравнение равносильно системе

Отсюда – корень уравнения.

П р и м е р 4. (ЕГЭ).

Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции. Сколько корней имеет уравнение ?

Р е ш е н и е.

Ясно, что при , , ,.

В силу нечетности будет равна 0 в точках , и , так как ее график симметричен относительно начала координат. То есть уравнение имеет 3 корня.

Знакомство с параметром.

Прежде, чем перейти к решению задач, рассмотрим, что такое параметр и что означает решить уравнение (неравенство) с nараметром.

ПАРАМЕТР ( от греческого - отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Если в уравнение или неравенство наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство - параметрическим.

Примеры параметрических уравнений и неравенств:

; ; ; ;.

Со времён Декарта последними буквами латинского алфавита x, у и z обычно обозначают переменные, а первыми a, b и c – параметры. Это позволяет во многих случаях не указывать, какой буквой обозначен параметр, а какой – переменная.

Решить уравнение или неравенство с параметром – значит:

1. указать, при каких значениях параметра есть решения;

2. найти их;

3. выяснить, при каких значениях параметра решений нет.

То есть для каждого значения параметра нужно указать множество решений данного уравнения или неравенства.

К задачам с параметрами можно отнести и поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Основное, что нужно усвоить при знакомстве с параметром – это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Графический метод решения задач с параметрами

При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведу примеры.

1. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три различных действительных корня. Решение: построим график функции у=. Уравнение у=а определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

По рисунку видно, что прямая у=4 пересекает график функции у= в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а=4.

2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2-6х+5=а имеет ровно три различных корня.

Решение: Построим график функции у=х2-6х+5 для х≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а=5.

3. Найти все значения а, при которых неравенство имеет хотя бы одно положительное решение.

1) х+а0 2)x+a<0

-x-a+x<2 a> x-x-2 х+а+х<2 а<2-x

Множество точек координатной плоскости, значения координаты х и параметра а которых удовлетворяют данному неравенству, представляют собой объединение двух областей, ограниченных параболами. Решением данного задания является множество точек, расположенных в правой полуплоскости при

Ответ:

4. При каких значения параметра а, система имеет четыре решения

Решение: Уравнение вида х+у=а на координатной плоскости задает семейство квадратов. Уравнение х2+у2=4 на координатной плоскости задает окружность с центром в начале координат и радиусом равным 2.

Построив графики данных уравнений, видим, что четыре решения система имеет при а=2

Ответ: а=2

5. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х2 + (4а + 5)х + 3 – 2а = 0?

Р е ш е н и е:

Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения, причем х1 < 2 < х2.

Учитывая расположение корней квадратного трехчлена, придем к следующей системе:

Или 17 + 6а < 0, откуда а <.

О т в е т: а <.

6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х2 + ах + 1 различны и лежат на отрезке [0; 2].

Р е ш е н и е: Изобразим схематически условие задачи

Если а , то корни данного квадратного трехчлена принадлежат отрезку [0; –2].

О т в е т:.

7. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет положительные корни.

Решение. 1-й способ.

Чтобы квадратное уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант его был неотрицателен.

В каком случае оба корня положительны? Например, если и сумма корней положительна и произведение корней положительно.

Пусть х1 и х 2 - корни уравнения, тогда, по теореме Виета: и. И имеем систему неравенств:

Решим квадратное неравенство:

Решением системы неравенств будет промежуток.

2-й способ.

Рассмотрим функцию. Ее графиком является парабола. Изобразим параболу, удовлетворяющую условиям задачи.

Запишем условия, соответствующие этому расположению параболы.

Решим каждое из этих неравенств.

Отметим решения каждого неравенства на координатной прямой и найдем пересечение решений:

Решением системы неравенств будет промежуток.

О т в е т: при b уравнение имеет положительные корни.

8 Найти все значения а, при которых корни уравнения х2 + х + а = 0 действительные, различные и оба больше а.

Решение:

Дадим геометрическую интерпретацию поставленной задачи. Очевидно, если f(а) > 0, х0 > а и D > 0, где f(х) = х2 + х + а, то оба корня действительны, различны и оба больше а. Запишем эти условия системой неравенств: а2 + а + а > 0 а(а + 2)>0

-1/2 > а < = > а <-1/2 -2 -1/2 0 х

1-4а > 0

Решаем систему методом интервалов, решением является множество (-∞; -2). Ответ. а є (-∞; -2)

Заключение.

Несмотря на то, что задачи на построение графиков как таковые сравнительно редко предлагаются на экзаменах, использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направление исследований, а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Как оказалось, исследование функций и построение графиков порой существенно облегчает решение уравнений и неравенств, позволяет определить число корней, угадать значения корня.

Кроме того, при написании данной работы я сформировала собственные навыки решения уравнений и неравенств с параметрами, которые пригодятся мне при дальнейшем обучении.

Но самое главное: прежде чем пробовать решать задачи с параметрами, нужно разобраться с теорией. Знание основных понятий темы «Функции», умение уверено строить и преобразовывать графики элементарных функций является хорошей основой для использования графиков функций при решении задач, в том числе с параметрами.