Гипотезы дружественных чисел

Дружественные числа - пара чисел, из которых каждое равняется сумме своих делителей (например, 220 и 284).

Пифагор говорил: «Мой друг тот, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284». Эти числа замечательны тем, что сумма младших делителей каждого из них равна второму числу. Действительно:

1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,

а 1+2+4+71+142=220

В то время существовало много попыток найти новые дружественные числа, но так как те математики высокой квалификацией не отличались, то в их сочинениях присутствовали такие записи:

"Чтобы добиться взаимности в любви ,нужно на чем-либо написать числа 220 и 284, меньшее дать объекту любви, а большее съесть самому".

Каждое совершенное число дружественно самому себе. Первая пара различных дружественных чисел (220=1+2+4+71+142 и 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110) была известна древнегреческому ученому Пифагору (6 в. до н. э. ); открытие второй пары (17296,18416) приписывалось ранее французскому ученому П. Ферма. Но недавно в одном из трактатов арабского ученого Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены строки: «Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ».

А задолго до Ибн аль-Банны другой арабский математик абу-Хасан Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа: если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

   При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны и Ферма 17296 и 18416.

   При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским математиком и философом Рене Декартом.

Большой вклад в отыскание дружественных чисел внес ученый Л. Эйлер, который в 1747-1750 гг. указал сразу 59 пар дружественных чисел. Среди них которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил пять способов отыскания дружественных чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений.

В настоящее время известно около 1100 пар дружественных чисел. В 1867 шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

Гипотезы дружественных чисел.

Если дружественные числа равны, то они называются совершенными (например. 6, 28, 496, ). Обозначим их s. Пусть m=2p-1 – числа Мерсенна (числа Мерсенна – простые числа при определённом p), тогда

Рассмотрим дружественный ряд – ряд, в котором каждый член равен сумме делителей предыдущего члена. Имеют место следующие недоказанные гипотезы (свойства дружественных рядов):

Гипотеза 1. Дружественный ряд независимо от его первого члена сходится к единице. Проверено для первых 1000 чисел, исключая 30, которые являются членами рядов, начинающихся с чисел 138,276,552,564,570,660,702,828,840,858,936,966,996 (члены этих рядов возрастают до -1млрд). Среди этой тысячи 3 ряда являются периодическими, которые переходят к совершенным числам (220, 284 и 562).

Гипотеза 2. Вероятность того, что сумма делителей чётного числа будет чётной и сумма делителей нечётного числа будет нечётной очень большая, а именно около 95% для четных и 98% для нечётных чисел (для чисел в интервале от 2 до 500). Эта вероятность увеличивается при увеличении числа. Для чисел в интервале от 2 до 100000 эта вероятность для чётных и нечётных чисел соответственно равна 99,24% и 99,69%.

Гипотеза 3. Сумма делителей нечётного числа обычно меньше самого числа. Вероятность этого для первых 10000 чисел равна 0,24%, для первых 100000 чисел 0,212%, для вторых 100000 – 0,182%, т. е. убывает.

Гипотеза 4. Сумма делителей любого числа близка к самому числу.

Следствия из гипотез:

1.       Ряд долго сохраняет свою чётность (чётность своего первого члена).

2.       Нечётный ряд быстро распадается (т. е. сходится к 1).

3.       Чётный ряд распадается медленно.

Множественные тайны

   Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. В Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

   Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число четное, а другое - нечетное? Конечно или бесконечно число пар дружественных чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?

   В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском дружественных рядов (или общительных чисел) - замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел

1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953920 делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 чисел, первое из которых равно 14316.

Сегодня известны более 600 дружественных пар, многие числа пар состоят более чем из 30 цифр. В наше время новые пары открываются с помощью компьютера.