Гипербола в физике и химии

Мир кривых гораздо разнообразнее и богаче мира точек, но только математики ХХ века сумели овладеть его богатством

Р. Винер

Древнегреческие геометры знали лишь несколько линий, отличных от прямых и окружностей. Большинство из них они изучали в связи с тремя знаменитыми задачами древности: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. О том, почему они заинтересовались удвоением куба, рассказывают следующую легенду. Однажды на острове Делосе вспыхнула эпидемия чумы. Дельфийский оракул, к которому обратились жители острова, сказал, что для прекращения эпидемии чумы надо вдвое увеличить золотой кубический жертвенник в храме Аполлона в Афинах. Островитяне собрали золото и изготовили новый жертвенник, ребра которого были вдвое больше ребер прежнего. Однако чума не прекратилась, и разгневанные жители указали оракулу на его ошибку. В ответ они услышали, что неверно поняли предписание – удвоить надо было не ребра, а объем куба, то есть увеличить ребра куба 3√2. Поскольку греческие математики применяли лишь геометрическую алгебру, они ставили эту задачу иначе: по данному отрезку а построить такие отрезки х и у, что а: х = х:у = у:2а. Легко видеть, что тогда длина отрезка х будет равна 3√2. Попытки решить Делосскую задачу циркулем и линейкой к успеху не привели. Тогда геометры попытались решить эту задачу, определяя точки пересечения кривых, отличных от прямых и окружностей. Геометр Менехм, живший в IV веке до нашей эры, предложил использовать для этой цели конические сечения, то есть кривые, получающиеся при пересечении конуса плоскостью, перпендикулярной одной из образующих. Он получил три различные кривые в зависимости от того, какой конус рассекал – остроугольный, прямоугольный или треугольный. Позднее их назвали, эллипсом, параболой и гиперболой.

Чтобы понять, как связаны эти кривые с Делосской задачей, заметим, что пропорцию а:х=х:у=у:2а можно переписать в виде системы двух уравнений: х2=ау у2 =2ах

Из системы вытекает равенство ху=2а2 – уравнение гиперболы. Наиболее интересный результат о конических сечениях получил математик Аполлоний(IIIв. до н. э. ), живший в малоазиатском городе Пергаме. Он доказал, что все три кривые можно получить, пересекая один и тот же конус плоскостями, по-разному наклоненными к оси конуса. Если α<β, то плоскость пересекает лишь часть образующих конуса. В этом случае Аполлоний продолжал все образующие конусы за его вершину и рассматривал сечение получившегося двухполостного конуса. Оно состоит из двух ветвей и называется гиперболой. Если провести сначала сечение кругового конуса, перпендикулярное его оси, а потом поворачивать секущую плоскость, оставляя одну точку ее пересечения с конусом неподвижной, то увидим, как окружность будет сначала вытягиваться, потом вторая вершина эллипса уйдет в бесконечность и вместо эллипса получится парабола, а потом плоскость пересечет и вторую полость конуса и получится гипербола. Значит, парабола в некотором смысле слова является кривой, промежуточной между эллипсом и гиперболой.

• Осью гиперболы называется прямая, соединяющая её фокусы.

• Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы.

• Расстояние от начала координат до одной из вершин гиперболы называется большой или действительной полуосью а гиперболы.

• Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью b гиперболы.

• Отношение фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы называется эксцентриситетом: ε=, где с – расстояние между фокусами. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.

• Расстояние от фокуса до гиперболы вдоль прямой, параллельной оси ординат называется фокальным параметром p.

• В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием rp.

• Прицельным параметром называется расстояние от фокуса до одной из асимптот гиперболы. Прицельный параметр равен малой полуоси гиперболы.

• Директрисами гиперболы называются прямые: х=±.

• Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось. Угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент k1 соответствующего диаметра связан соотношением

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

3. Каноническое уравнение гиперболы

При построении гиперболы целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы, провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника,- асимптоты гиперболы и отметить вершины А1 и А2 гиперболы.

Для любой гиперболы можно найти декартову систему координат такую, что гипербола будет описываться уравнением:

или b 2= c2-a2.

Числа и называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Каждая гипербола имеет пару асимптот:

и или y= и y=-.

Гипербола есть линия второго порядка.

Кривая, определяемая уравнением -=1, также есть гипербола.

Гиперболы - =1 и -=1имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряжёнными.

4. Уравнение гиперболы в полярных координатах.

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

, где p- фокальный параметр; r- фокальный радиус;

ε- эксцентриситет;

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

5. Равносторонняя гипербола

Гипербола называется равновторонней, если её полуоси равны (a=b).

Её каноническое уравнение: х2-у2=а2.

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения у=х и у=-х и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет иметь вид у =.

6. Гипербола в физике.

1) Во многих законах физики графиком является гипербола. Вот один из законов:

Зависимость давления данной массы газа от его объема. Для различных температур газа расположение кривой зависимости на координатной плоскости различно. Изотермы, изображающие зависимость V от P для газа, который подчиняется закону Бойля-Мариотта, представляют собой гиперболы, располагающиеся на графике тем выше, чем выше температура.

 Один из основных газовых законов, согласно которому при постоянной температуре объём V данной массы идеального газа обратно пропорционален его давлению р, т. е. pV = C = const Постоянная С пропорциональна массе газа и его абсолютной температуре Т.          Закон установлен по опытным данным английским учёным Р. Бойлем (1662) и независимо от него французским учёным Э. Мариоттом (1676).

2) Оптические свойства гиперболы.

Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.

7. Гиперболоидные конструкции

У гиперболы две оси симметрии, одна из которых пересекает гиперболу, а вторая с ней не пересекается. Вращая гиперболу вокруг каждой из этих осей, получают два гиперболоида вращения. Первый из них состоит из двух полостей, и его называют двуполостным (а), а второй состоит из одного куска, и его называют однополостным (б).

а) б) в)

Однополостной гиперболоид вращения обладает замечательным свойством – через каждую точку этого гиперболоида проходят две прямые линии, целиком лежащие на нём. Поэтому однополостной гиперболоид как бы соткан из прямых линий. Его можно получить, взяв в пространстве две скрещенные прямые и вращая одну из них вокруг второй. Это свойство однополостного гиперболоида использовал русский инженер В. Г. Шухов при строительстве радиостанции в Москве (башни Шухова). Она состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов, причём каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок, соединённых в точках пересечения (в). Так же устроена и Эйфелева башня в Париже. Гиперболоиды изучаются не только в трёхмерном пространстве, но и в пространствах многих измерений. Гиперболоиды в четырёхмерном пространстве оказались теснейшим образом связанными со специальной теорией относительности. Тем самым установлена неожиданнейшая связь между исследованиями древнегреческих геометров и самыми замечательными завоеваниями теоретической физики ХХ века.

Гиперболоидные конструкции в строительстве и архитектуре — сооружения в форме гиперболоида вращения или гиперболического параболоида (гипар). Такие конструкции, несмотря на свою кривизну, строятся из прямых балок.

Первая в мире гиперболоидная башня В.  Г.  Шухова Сиднейская телебашня

8. Литературная гипербола.

Гипербола— стилистическая фигура явного и намеренного преувеличения, с целью усиления выразительности и подчёркивания сказанной мысли, например, «я говорил это тысячу раз» или «нам еды на полгода хватит».

Гиперболическое представление – это не только преувеличение, но и преуменьшение чего-либо.

Примеры из литературных произведений:

Миллион казацких шапок высыпал вдруг на площадь.

за одну рукоять моей сабли дают мне лучший табун и три тысячи овец.

— Н. Гоголь. Тарас Бульба

И в ту же минуту по улицам курьеры, курьеры, курьеры можете представить себе, тридцать пять тысяч одних курьеров!

— Н. Гоголь. Ревизор

Например, в «Повести о том, как поссорился Иван Иванович с Иваном Никифоровичем» Н. В. Гоголя основным художественным средством выразительности служит гипербола, использование которой придает сатирический эффект всему произведению. Например, «Иван Иванович несколько боязливого характера. У Ивана Никифоровича, напротив того. Шаровары в таких широких складках, что если бы раздуть их, то в них можно было бы поместить весь двор с амбаром и строениями».

«Гиперболо́ид инженера Га́рина» — фантастический роман А.  Н.  Толстого, написанный к 1927 году. На создание этого романа А.  Н.  Толстого вдохновил завораживающий образ конструкции Шуховской башни, построенной в 1922 году в виде уходящих в высоту секций-гиперболоидов. В статье «Как мы пишем» (декабрь 1929 года) Толстой сообщает: "Когда писал «Гиперболоид инженера Гарина», старый знакомый Оленин рассказал мне действительную историю постройки такого двойного гиперболоида, инженер, сделавший это открытие, погиб в Сибири. Пришлось ознакомиться с новейшими теориями молекулярной физики. Много помог мне академик П.  П.  Лазарев". В романе при незначительном увеличении одной составляющей происходит значительное увеличение второй за счет концентрации энергии в пространстве.

9. Гиперболоидные формы в природе.

III. Заключение

В ходе работы над проектом я познакомилась с большим количеством информации о гиперболе, ее элементах, различных уравнениях, истории появления этой кривой. Источниками были справочники, научно-популярная литература, сеть Интернета.

Исследуя практическую сторону вопроса, я обнаружила практическое применение гиперболической зависимости в физике, в архитектуре. В окружающей природе тоже встречаются гиперболические формы. Также для сравнения я рассмотрела понятие гиперболы в литературе и соответствующие примеры из художественных произведений.

Углублять свои знания, открывать для себя что-то новое всегда очень полезно и интересно.