Геометрия - удивительная наука

« Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»

Г. Галилей.

Геометрия - удивительная наука. Ее история насчитывает не одно тысячелетие, но каждая встреча с ней способна одарить и обогатить волнующей новизной маленького открытия, изумляющей радостью творчества. Действительно, любая задача элементарной геометрии является, по существу, теоремой, а е решение – скромной (а иногда и огромной) математической победой.

Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является как бы символом геометрии; но он не только символ, треугольник

— атом геометрии.

     Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге "Начал" Евклида.

Школьная геометрия становится интересной и содержательной, становится собственно геометрией только с появлением треугольника. Предшествующие понятия — точка, прямая, угол — представляются расплывчатыми абстракциями, а набор теорем и задач, с ними связанный, просто скучным.

Треугольник неисчерпаем — постоянно открываются его новые свойства.

Крылатую фразу Козьмы Пруткова «Никто не обнимет необъятного» в полной мере можно отнести и к геометрии треугольника. В самом деле, треугольник, как кладезь прекрасных и поразительных геометрических конструкций, поистине неисчерпаем. Их пестрота и изобилие, с трудом поддающиеся какой-либо систематизации, не могут не восхищать. Впрочем, иной раз эти благородные чувства перерастают в изумлённое раздражение, едва ли не в протест: если уж с виду такая «игрушечная» область геометрии настолько сложна, то в чём же вообще тогда можно разобраться?

Интересно попробовать понять, а почему тот или иной результат геометрии треугольника оказывает на нас большее или меньшее воздействие. В грубом приближении ответ на этот вопрос следующий: красивая теорема в геометрии треугольника связана, как правило, с замечательными точками, прямыми или окружностями. Но прямая или окружность замечательна, если содержит какие-нибудь замечательные точки треугольника. В точки эти, стало быть, всё и упирается. Однако как сравнивать степень их «замечательности» между собой? Очевидно, точка тем более замечательна, чем с более естественными и содержательными конфигурациями треугольника она взаимодействует. Поэтому в первый ряд следует поставить, конечно, таких заслуженных ветеранов, как точку пересечения медиан (центр тяжести), центр описанной окружности, центр вписанной окружности, точку пересечения высот (ортоцентр).

Меня очень заинтересовала эта тема, поэтому в своей работе я хотела бы рассмотреть некоторые замечательные точки, связанные с треугольником.

II. Из истории замечательных точек треугольника

        

В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный").

Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника.

        На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века, они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер.

        В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера".

В двадцатых годах XIX века французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середины отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.

        Эта окружность называется "окружностью девяти точек", или "окружностью Фейербаха", или "окружностью Эйлера". К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на прямой Эйлера.

III. Замечательные линии треугольника

1. Медианы треугольника

Определение.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Любой треугольник имеет три медианы.

AD, BE, CF – медианы ∆АВС

Свойство медианы треугольника.

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

BD – медиана

Доказать:

Доказательство:

Проведём высоту ВЕ к стороне АС

ВЕ – общая высота ∆ABD и ∆BDC, а значит, их площади относятся как основания, то есть

Так как BD – медиана, то AD = DC, тогда , следовательно,.

Доказано.

2. Биссектрисы треугольника

Определение.

Биссектриса треугольника - это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

СF, АD, BE - биссектрисы ∆ АВС.

Свойство биссектрисы угла

Теорема

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Доказательство:

1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры МК и МL к прямым АВ и АС и докажем, что МК=МL.

2) Рассмотрим ∆ АМК и ∆АМL - прямоугольные.

3) Они равны по гипотенузе и острому углу (АМ— общая гипотенуза, ﮮ1=ﮮ2 по определению биссектрисы)

4) Следовательно, МК=МL.

Обратно:

1) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ — биссектриса угла ВАС

2) Проведем перпендикуляры МК и МL к прямым АВ и АС.

3) ∆ АМК и ∆АМL – прямоугольные, они равны по гипотенузе и катету (АМ — общая гипотенуза, МК=МL по условию).

4) Следователь но, ﮮ1 =ﮮ. 2. Но это и означает, что луч АМ — биссектриса угла ВАС.

Теорема доказана.

Свойство биссектрисы треугольника.

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

АD – биссектриса

Доказать:

Доказательство:

Проведём высоту АН к стороне ВС

АН – общая высота ∆ABD и ∆АDC, а значит, их площади относятся как основания, то есть

Так как АD – биссектриса ∆АВС, то , тогда

Из двух равенств для отношения площадей получаем или.

Доказано.

3. Высоты треугольника

Определение.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Любой треугольник имеет три высоты.

В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.

В тупоугольном треугольнике АВС две высоты СF и ВЕ падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника; третья АD – внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике катеты служат и высотами.

4. Серединные перпендикуляр

Определение.

Серединный перпендикуляр – прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

На рисунке прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Свойство серединного перпендикуляра

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка

Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство:

Пусть прямая m— серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О — середина этого отрезка.

1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ.

1. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О — середина от резка АВ.

2. Пусть М и О — различные точки. ∆ОАМ и ∆ОВМ - прямоугольные, они равны по двум катетам (ОА = ОВ, ОМ— общий катет), поэтому АМ=ВМ.

2) (Обратно) Рассмотрим произвольную точку N, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка N лежит на прямой m.

1. Если N — точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и потому лежит на прямой m.

2. Если же точка N не лежит на прямой АВ, то треугольник АNВ равнобедренный, так как АN=ВМ (рис. 227, б). Отрезок NO — медиана этого треугольника, а значит, и высота. Таким образом, NO АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т. е. N— точка прямой m.

Теорема доказана.

IV. Замечательные точки треугольника.

1. Точка пересечения медиан.

Теорема.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке (являющейся центром тяжести треугольника).

Доказательство.

1. Пусть точка О - точка пересечения его медиан и.

2. Так как и - медианы, то и - середины сторон ВС и АС, тогда проведем - среднюю линию ∆АВС (по определению).

3. Так как - средняя линия ∆АВС, то по свойству средней линии =АВ, ║ АВ

4. Так как. ║ АВ, то и , как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и секущими и.

5. Так как. и , то ∆ АОВ ∞ ∆ по двум углам, значит их стороны пропорциональны:.

6. Так как =АВ, то =ВО и =АО, поэтому АО=2и ВО=2.

7. АО=2, тогда

8. ВО=2, тогда

9. , , следовательно, получаем, что точка О – точка пересечения медиани , делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

10. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан и делит каждую их них в отношении 2:1, считая от вершины. И, следовательно, совпадает с точкой О.

11. Итак, все три медианы ∆АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказано.

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или барицентром.

Физически точка пересечения медиан треугольника является его центром масс, причем как центром масс системы трех материальных точек с равными массами, находящихся в вершинах треугольника, так и центром масс пластинки, имеющей форму данного треугольника. Положением равновесия треугольника, шарнирно закрепленного в произвольной точке X, будет такое положение, при котором луч ХМ направлен к центру Земли. Для треугольника, шарнирно закрепленного в точке пересечения медиан, любое положение является положением равновесия. Кроме того, треугольник, точка пересечения медиан которого опирается на острие иглы, также будет находиться в положении равновесия.

2. Точка пересечения серединных перпендикуляров

Теорема.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

1) Рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС ∆АВС.

2) Допустим, что m n,

3) Так как т – серединный перпендикуляр к АВ, то ВА т

4) ВА т и m n , тогда ВА п

5) Так как п – серединный перпендикуляр к СВ, то ВС п

6) Получили, что ВА п и ВС п, то есть через точку В проходят две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n, что невозможно, следовательно, наше допущение неверно, а значит,.

7) По свойству серединного перпендикуляра ОВ = ОА и ОВ = ОС.

8) Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к этому отрезку.

9) Следовательно, все три серединных перпендикуляра n, m и p к сторонам ∆ АВС пересекаются в точке О.

Доказано.

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром, описанной около этого треугольника.

3. Точка пересечения высот.

Теорема.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1) Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке.

2) Проведем через каждую вершину ∆АВС прямую, параллельную противоположной стороне.

3) Получим ∆ А2В2С2.

4) Так как АВ А2В2 , АС А2С2, ВС В2С2, то АВА2С и АВСВ2 - параллелограммы, то и АВ = СВ2 и АВ = СА2 как противоположные стороны параллелограммов, поэтому А2С = СВ2.

5) Аналогично доказывается, что С2А=АВ2 и С2В=ВА2.

6) Получили, что точки А, В и С - середины сторон ∆А2В2С2.

7) Так как АА1, ВВ1 и СС1 – высоты ∆АВС, то

8) , а по построению АВ А2В2 , АС А2С2, ВС В2С2, то

9) Таким образом, прямые АА1 ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке.

Доказано.

Точка пересечения высот остроугольного или прямоугольного треугольника называется ортоцентром.

Теорема.

Точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC делит его высоту BB1 на отрезки, отношение которых, считая от вершины, равно

Доказательство.

1) ∆ BC1O – прямоугольный, тогда

2) ∆ BC1C – прямоугольный, тогда

Доказано.

Замечание. Если один из углов тупой, то в (*) соответствующий косинус нужно взять по модулю.

4. Точка пересечения биссектрис.

Теорема

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть в ∆АВС биссектрисы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О

Проведем из этой точки перпендикуляры ОК , ОL и ОМ соответственно к прямым АВ,ВС и СА.

По свойству биссектрисы неразвернутого угла имеем, что ОК = ОМ и ОК = ОL.

Тогда ОМ = ОL, т. е. точка О равноудалена от сторон АСВ и ,значит лежит на биссектрисе СС1 этого угла.

Следовательно, все три биссектрисы ∆АВС пересекаются в одной точке

Доказано.

Точка пересечения биссектрис треугольника называется ицентром и является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Теорема.

Пусть биссектрисы AL1,BL2,CL3 треугольника АВС пересекаются в точке O. Тогда

, где АВ = с, ВС = а, АС = в

AL1,BL2,CL3 – биссектрисы

Доказать:

Доказательство.

Пусть CL1 = x, тогда BL1 = a – x

АL1 – биссектриса треугольника АВС. По свойству биссектрисы треугольника получим , значит, , откуда

Рассмотрим ∆АСL1. СО – биссектриса этого треугольника АВС, тогда , откуда

Аналогично доказывается и для двух других биссектрис.

Доказано.

V. Прямая Эйлера.

Самым удивительным свойством замечательных точек треугольника является то, что некоторые из них связаны друг с другом определенными соотношениями. Например, точка пересечения медиан М, точка пересечения высот Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причем точка М делит отрезок ОН так, что справедливо соотношение ОМ : МН = 1 : 2.

Эта теорема была доказана в 1765 г. Леонардом Эйлером, который своей неутомимой деятельностью значительно развил многие области математики и заложил основы многих новых ее разделов. Он родился в 1707 г. в Швейцарии. В 20 лет Эйлер по рекомендации братьев Бернулли получил приглашение приехать в Санкт-Петербург, где незадолго перед этим была организована академия. В конце 1740 г. в России в связи с приходом к власти Анны Леопольдовны сложилась тревожная обстановка, и Эйлер переехал в Берлин. Через 25 лет он снова вернулся в Россию. В общей сложности в Петербурге Эйлер прожил более 30 лет. Находясь в Берлине, Эйлер поддерживал тесную связь с русской академией и был ее почетным членом. Из Берлина Эйлер переписывался с Ломоносовым. Их переписка завязалась следующим образом. В 1747 г. Ломоносова избрали в профессоры, т. е. в действительные члены академии; императрица это избрание утвердила. После этого реакционный чиновник академии Шумахер, яро ненавидящий Ломоносова, послал его работы Эйлеру, надеясь получить о них плохой отзыв. В своем отзыве Эйлер писал: «Все сии сочинения не токмо хороши, но и превосходны, ибо он изъясняет физические и химические материи самые нужные и трудные, кои совсем неизвестны и невозможны были к истолкованию самым остроумным и ученым людям, с таким основательством, что я совсем уверен о точности его доказательств. Желать надобно, чтобы все прочие академии были в состоянии показать такие изобретения, которые показал господин Ломоносов».

Теорема Эйлера.

В треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Доказательство.

Пусть М – точка пересечения медиан, Н – точка пересечения высот, Н1 – центр описанной окружности

Рассмотрим ∆А1В1С1 с вершинами в серединах сторон ∆АВС

Пусть Н1 и Н — их ортоцентры.

Точка Н1 ортоцентры ∆А1В1С1, значит, С1Н1 – высота ∆А1В1С1, то есть С1Н1 А1В1, а следовательно, С1Н1 АВ

С1Н1 АВ и С1 – середина АВ, следовательно, С1Н1 – серединный перпендикуляр к АВ

Аналогично, А1Н1 – серединный перпендикуляр к СВ, следовательно, точка Н1 совпадает с центром О описанной окружности ∆АВС.

Так как Н – ортоцентр ∆АВС, то СН – высота, тогда СН С1Н1, следовательно, ∆С1Н1М ∆СНМ.

По свойству точки пересечения медиан С1М : СМ = 1 : 2, тогда коэффициент подобия ∆А1В1С1 и ∆АВС равен 2, поэтому С1Н1 : СН = 1:2, кроме того,.

Следовательно, , а значит, точка М лежит на отрезке Н1Н.

Так как коэффициент подобия ∆С1Н1М и ∆СНМ равен 2, то Н1М:МН=1:2.

Доказано.

VI. Окружность девяти точек.

В 1765 г. Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности.

Докажем это свойство треугольника.

Пусть А1, В1, С1 – середины сторон ∆АВС, В2 — основание высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

Точки В и В2 симметричны относительно прямой А1С1.

Следовательно, ∆А1В2С1= ∆А1ВС1= ∆А1В1С1, поэтому , а значит, точка В2 лежит на окружности, описанной около ∆А1В1С1.

Для остальных оснований высот доказательство аналогично.

Впоследствии было обнаружено, что на той же окружности лежат еще три точки — середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Это и есть окружность девяти точек.

Докажем это.

Пусть Н – ортоцентр ∆АВС, А3 и С3 — середины отрезков АН и СН, С2 — основание высоты, опущенной из вершины С на АВ.

Так как А1С3 и А3С1 — средние линии ∆ВСН и ∆АВН, а А1С1 и А3С3 — средние линии ∆АВС и ∆АСН, то А1С1А3С3 — прямоугольник.

Тогда точки А1 и А3 лежат на окружности с диаметром С1С3, а так как , то на этой окружности лежит и точка С2.

Итак, точки А3 и С3 лежат на окружности, проходящей через точки А1, С1 и С2. Эта окружность совпадает с окружностью, рассмотренной Эйлером.

Для точки В3 доказательство аналогично.

Доказано.

VII. Расстояние между «замечательными» точками

1. Между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан.

По свойству медиан имеем

AOB : OBA2 = (b + c) : a, поэтому AOB : AA2 = (b + c) : (b + c + a).

По свойству биссектрисы треугольника AC : AB = CA2 : A2B, тогда

Следовательно,

Тем самым получим

Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины 2bccos  = b2 + c2 – a2, и можно получить равенство

Одним из упрощений равенства будет

2. Между центром описанной окружности и точкой пересечения медиан.

O – центр описанной окружности, OM – точка пересечения медиан, A1 и C1 – середины сторон соответственно AB и BC.

1. В ∆ C1KB   

2. Тогда CK=a-0,5c cos

3. ∆ CC1K ∞ ∆ COMN, тогда CN : CK = NOM : KC1 = 2 : 3, поэтому 

5. A = , тогда COB = 2, поэтому COA1 = , OA1 = Rcos

7. В ∆OPOM по теореме Пифагора

8. Известно, что 2accos = a2 + c2 – b2, 2bccos = b2 + c2 – a2 (теорема косинусов); (теорема синусов).

9. Получаем

3. Между центром описанной окружности и центром вписанной окружности

O1 – центр описанной, O2 – центр вписанной окружностей.

1.  A =,  CO1B = 2, поэтому BO1K = , O1K = Rcos и

2. Так как O2 – центр вписанной окружности, то O2M = r.

3. Так как из точек A, B, C проведены по две касательные к описанной окружности, то отрезки касательных, концами которых являются точки касания и вершины треугольника, равны и BK = p – b.

4. Поэтому

5. O1P = Rcos – r.

6. В ∆O1PO2 по теореме Пифагора имеем O1O22 = O1P2 + O2P = O1P2 + KM2,

7. Упростим

Тем самым формула Эйлера O1O22 = R2 – 2Rr.

VIII. Задачи

Задача 1.

Доказать, что если О— точка пересечения медиан треугольника АВС, то треугольники АОВ, ВОС и АОС равновелики.

Доказательство.

1. Пусть АА1 и ВВ1 – медианы ∆АВС

2. Рассмотрим ∆АОВ и ∆ВОС

4. Так как медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, то , отсюда следует,

5. Аналогично доказывается, что

Доказано.

Задача 2.

Доказать, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот или их продолжений вдвое больше, чем расстояние от центра описанной около треугольника окружности до противолежащей выбранной вершине стороны или ее продолжения.

Доказательство.

1. Пусть D — точка пересечения высот или продолжения высот треугольника AВС, О — центр описанной около этого треугольника окружности.

2. Покажем, например, что расстояние от вершины А до точки D вдвое больше расстояния от точки O до стороны BС.

3. Пусть точка Е — основание перпендикуляра, опущенного из точки О на сторону ВС, которая, очевидно, будет серединной точкой этой стороны.

4. Если ∆AВС является прямоугольным и если точки А и D совпадают, а значит, совпадают и точки О и Е, то АD = 2ОЕ = 0

5. Если совпадают точки С и D или В и D, то ОЕ — средняя линия соответствующих треугольников и, таким образом, АD = 2ОЕ.

6. Рассмотрим остроугольный или тупоугольный ∆ AВС.

7. Проведем через вершины ∆AВС прямые, параллельные его сторонам.

8. Тогда ∆А1В1С1 с вершинами в точках пересечения проведенных прямых будет подобен ∆ AВС с коэффициентом подобия k = 2.

9. Пусть ВН— высота ∆AВС, опущенная из вершины В.

10. Тогда отрезки ВD и АD лежат соответственно на серединных перпендикулярах к сторонам С1A1 и С1В1 ∆А]В1С1 и поэтому точка D — центр описанной около ∆ А]В1С1 окружности (высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке – центре окружности, описанной около треугольника, средними линиями которого являются стороны данного треугольника).

11. Так как в подобных фигурах все соответствующие линейные элементы пропорциональны, а в нашем случае k = 2, то отсюда и следует, что АD = 2ОЕ.

Доказано.

Задача 3.

Докажите, что три медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.

Доказательство.

1. Пусть АА1, ВВ1 и СС1 – медианы ∆АВС пересекаются в точке О.

2. Так как треугольники АОВ, ВОС и АОС равновелики, а медианы ОС1, ОА1 и ОВ1 этих треугольников делят каждый из них на два равновеликих треугольника, то получаем требуемое.

Доказано.

Задача 4.

Стороны треугольника AB = 30, BC = 28, CA = 26. Найти расстояние между центром описанной около треугольника окружности и точкой пересечения медиан.

Решение.

1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона,

3. В ∆C1KB:  BC1 = 15, C1K = 12, KB = 9, тогда CK = 19.

4. ∆ CC1K подобен ∆COMN, тогда  CN : CK = NOM : KC1 = 2 : 3, поэтому

7. В ∆ OPOM по теореме Пифагора

Задача 5.

Если АD, ВЕ, СF — высоты треугольника AВС, О — точка пересечения этих высот или их продолжений, то АО • ОD=ВО • ОЕ=СО • ОF.

Доказательство.

1. Очевидно, что в случае прямоугольного треугольника имеем АО • ОD=ВО • ОЕ=СО • ОF = 0

2. В остроугольном и тупоугольном треугольниках получим, что точки А, F, D С лежат на окружности с диаметром АС, тогда АО • ОD = СО • ОF (если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды).

3. Аналогично доказывается, что ВО • ОЕ=СО • ОF

Доказано.

Задача 6.

В ∆АВС AC = 6, AB = 8, BC = 7. Найти расстояние между центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан.

Решение.

1. Из свойства медиан треугольника следует, что AOB : OBA2 = 14 : 7 = 2 : 1 и  OAB : AA2 = 2 : 3.

2. По свойству биссектрисы треугольника AC : AB = CA2 : A2B, тогда

3. Следовательно, , тогда 

4. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины и 2bccos = 51, то

IX. Заключение

Тема: «Четыре замечательные точки треугольника» является одной из тем, на изучение которой отводится очень мало времени в курсе школьной геометрии, тем не менее, тема эта очень интересна. Данный реферат является кратким учебным пособием по этой теме. В работе обобщен и систематизирован весь теоретический материал по данной теме, приведена подборка теорем и задач. Реферат предназначен для учащихся старших классов и может служить пособием для подготовки в ВУЗы.