Дроби и проценты

С самых древних времен для решения практических жизненных вопросов людям приходилось считать предметы и измерять величины, то есть отвечать на вопросы "Сколько?": сколько овец в стаде, сколько мер зерна собрано с поля, сколько верст от села до уездного центра и т. д. Так появились числа. Как считал великий древнегреческий философ и математик Пифагор, "Бог создал единицу, а остальные числа придумали люди". Сначала "люди придумали", конечно, знакомые нам натуральные числа - для счета отдельных предметов.

Однако для ответа на вопрос "Сколько?" натуральных чисел очень часто не хватало. Так, убив мамонта и разделив его поровну, 10 охотников не могли сказать, "сколько мамонта" получил каждый. И еще долгое время после того, как мамонты вымерли, разделив три лепешки поровну на пятерых своих детей, их мама не могла сказать, сколько же лепешек получил каждый. Человечеству понадобилось придумать новые - дробные - числа, придумать дроби.

Для ответа на более сложные вопросы - например, сколько овец в двух стадах, у кого из двух земледельцев урожай больше, - понадобилось научиться складывать числа, сравнивать их между собой. Так постепенно, в течение тысячелетий, формировалось понятие числа. Люди учились называть и записывать числа, проводить с ними вычисления и создали тот пласт человеческой культуры, который в дальнейшем был назван арифметикой.

Решая даже простейшие задачи типа «Разделить 3 яблока между четырьмя детьми наполовину», результат нельзя выразить целым числом, придётся делить на доли и подсчитывать их число. В этом случае результат будет выражаться при помощи двух натуральных чисел, одно из которых покажет, на сколько равных долей разделили, а другое - сколько таких долей взяли. Если первое число b, а второе a, то записывают a/b. Выражение такого вида называют дробью.

Дроби появляются не только при делении, а и при измерении величин, так как выбранная единица измерения величины далеко не всегда содержится целое число раз в измеряемом объекте.

Значит, введение дробей, как и целых чисел, продиктовано практическими потребностями.

Один известный философ прошлого говорил, что действительное изображается в мышлении не в целых, а в дробях.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина и двоичные дроби

1 , 1 , 1 ,

4 8 16 затем к ним присоединилась дробь 1/3 и её двоичные деления 1/6, 1/12 и т. д. От двоичных дробей египтяне перешли к дробям вида 1/n, которые называли единичными или основными дробями. Другие дроби они представляли при помощи единичных, составляя для этой цели специальные таблицы.

Вавилоняне пользовались шестидесятеричными дробями, знаменателями которых являются степени числа 60.

Римляне пользовались дробями со знаменателем 12, называя 1/12 унцией.

В средние века, как и в древности, учение о дробях считалось самым трудным разделом арифметики. Римский оратор и писатель Цицерон говорил, что без знаний дробей никто не может признаваться знающим арифметику. А у немцев сохранилась такая поговорка «Попасть в дроби», что означает попасть в трудное положение. Трудности при изучении дробей обусловлены тем, что надо было заучивать таблицы и умножения, и сложения дробей зачастую без понимания и выяснения сущности этих действий.

У многих народов дроби называли ломаными числами. Этим названием пользуется и автор первого русского учебника по математике Л. Ф. Магницкий.

Интересное и меткое «арифметическое» сравнение делал Л. Н. Толстой. Он говорил, что человек подобен дроби, числитель которой есть то, что человек представляет собой, а знаменатель – то, что он думает о себе. Чем большего человек о себе мнения, тем больше знаменатель, а значит тем меньше дробь.

С введением десятичной позиционной системы счисления появляются и новые дроби – десятичные. Выполнение действий с такими дробями значительно упрощается, так как они основаны на действиях с целыми числами.

Заслуга в развитии учения о десятичных дробях принадлежит среднеазиатскому учёному Джемшиду ал-Каши (ΧV в. ). Систему десятичных дробей он описал в книге «Ключ к арифметике» (1427).

В Европе первым изложил учение о десятичных дробях голландский математик и инженер Симен Стевин, посвятивший этому вопросу труд под названием «Десятая» (1585). Записывал он десятичные дроби не так, как теперь. Например, число 28,375 представлялось так:

28 0 3 1 7 2 5 3, где цифры в кружочках показывают место десятичных знаков. Запятую как знак дробности ввёл знаменитый математик, физик и астроном И. Кеплер (1571-1630).

В России учение о десятичных дробях впервые изложил Л. Ф. Магницкий в своей «Арифметике».

Из школьного курса математики нам известно, что слово «процент» происходит от латинских слов и означает «на сто». Поэтому одну сотую часть стали называть процентом. Идея выражения частей целого в одних и тех же долях родилась ещё в древности и вызвана практическими потребностями. И сейчас проценты применяются в различных областях человеческой деятельности.

Я предлагаю Вашему вниманию набор различных интересных задач на примеры с дробями.

1. Найдите дробь, у которой числитель меньше знаменателя и которая не изменяется, если её запись перевернуть «вверх ногами».

2. Рыбаки выловили сетью в ставке 80 рыбин, пометили их и снова выпустили в ставок. На второй день они поймали 150 рыбин, среди которых 5 оказалось помеченных. Сколько всего рыбин в ставке?

Примечание. Помеченная рыба равномерно распределяется с остальной.

3. Когда спросили у пастуха, сколько овец в отаре, то он ответил: «60 овец пьют воду, а остальные 0,6 всех овец пасутся». Сколько овец в отаре?

4. Масса зерна составляет 0,5 т и ещё 0,8 всей массы. Какова масса зерна?

5. Найдите ошибку:

12,5 ׃ 12,5 = 2,4 ׃ 2,4

25 (0,5 ׃ 0,5) = 4 (0,6 ׃ 0,6)

25 · 1 = 4 · 1

5 · 5 = 2 · 2(?)

6. Кузнечик может прыгать ровно на 0,5 м. в любом направлении. Может ли он за несколько прыжков переместиться ровно на 7,3 м?

7. Восстановите недостающие числа в примерах ( сумма дробей в примере в) – правильная дробь):

а) 5 - ٱ = 1 ; в)

40 11 40

8. Половину пути туристы шли пешком, а половину ехали автобусом, затратив на весь путь 5,5 ч. Если бы весь путь они ехали автобусом, то затратили бы 1ч.

Сколько всего времени затратят туристы, если весь путь будут идти пешком? Во сколько раз быстрее ехать автобусом, чем идти пешком?

9. Числа 2,75 и 8 обладают тем свойством, что произведение этих чисел равно сумме составляющих их цифр: 2,75 · 8 = 2 + 7 + 5 + 8 = 22. Найдите ещё хотя бы одну такую пару неравных между собою чисел.

10. Медведь с базара плюшки нёс,

Но на лесной опушке

Он половину съел

И плюс ещё полплюшки.

Шёл, шёл, уселся отдохнуть

И под «ку-ку» кукушки

Вновь половину плюшек съел

И плюс ещё полплюшки.

Стемнело, он ускорил шаг,

Но на крыльце избушки

Он снова пол-остатка съел

И плюс ещё полплюшки.

С пустой кошелкою – увы!

Он в дом вошёл уныло

Хочу, чтоб мне сказали вы,

А сколько плюшек было?

11. Ручные часы отстают на 5 мин в час; 5,5 ч назад они были поставлены на точное время. Сейчас на часах, показывающих точное время, 1ч дня. Через сколько минут ручные часы покажут 1ч дня?

12. Минуткин обычно заводил часы до отказа два раза в сутки: утром в 8 ч 30 мин и ночью, ложась спать. Утром приходилось делать 9 полных оборотов головки часов, а ночью – 11. В котором часу ложился спать Минуткин?

13. Проводя наблюдения на географической площадке, ученики записывали температуру ежедневно с 15 до 19 апреля включительно. Средняя температура за эти дни оказалась равной 17,5˚. Какая температура была 19 и 15 апреля, если она ежедневно повышалась на 1,5˚?

14. В классе 35 учеников. Всем им вместе 280 лет. Найдётся ли в этом классе 25 учеников, которым вместе будет не менее 225 лет?

15. С пришкольного участка прямоугольной формы размером 70 ×35 м собрали 14,7ц кукурузы. Докажите, что среди квадратов этого участка, каждый из которых имеет размер 0,7 × 0,7 м, непременно найдутся такие, которые дали одинаковый урожай.

16. При делении одного числа на другое получили дробь, целая часть которой равна делителю, а после запятой записано делимое. Какие это числа?

17. Группа туристов должна прибыть на вокзал в 5 ч. К этому времени с турбазы за ними должен был прибыть автобус. Однако, прибыв на вокзал в 3 ч 15 мин, туристы, не ожидая автобуса, пошли пешком на турбазу. Встретив по дороге автобус, они сели в него и прибыли на турбазу на 15 мин раньше предусмотренного времени. С какой скоростью шли туристы до встречи с автобусом, если скорость автобуса 60 км/ч?

18. Тане надо было разложить 80 тетрадей не две стопки так, чтобы число тетрадей в одной из них составляло 60% числа тетрадей в другой. Помогите ей решить эту задачу.

19. В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом драмкружке от числа мальчиков?

20. Из числа построенных в этом году домов водном из районов города более 94% имеют больше пяти этажей. Какое наименьшее число домов возможно в данном случае?

21. В цехе не больше 100 рабочих, треть из них женщины, 8% рабочих имеют сокращённый рабочий день. Сколько в цехе рабочих? Сколько из них женщин и сколько человек имеют сокращённый рабочий день?

22. В свежих грибах 90% воды, а когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

23. Цену на товар сначала снизили на 10%, а затем – на 15%. Каков общий процент снижения? Был бы он таким, если бы сначала снизили на 15%, а затем - на 10%?

24. Собаки Отгадай и Угадай соревновались в беге. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевал за то же вреья делать на 30% прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

25. Определите длину пути, на котором уменьшится на 14% количество зерна в ящике сеялки с шириной захвата 4 м, если в ящик было засыпано 250 кг зерна, а норма высева 175 кг на 1 га.

26. Сравните дроби:

а) 373 737 и 37

200 200 203 300 300 304

27. Какая из дробей больше:

5 555 553 или 6 666 664 ?

5 555 557 300 300 304

28. Сравните дроби:

368 972 и 368 975.

764 797 764 804

29. Говорят, что на вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий математик Пифагор ответил так: «Половина моих учеников изучает математику, четверть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы». Сколько учеников было у Пифагора?

30. Вода при замерзании увеличивается на 1/9 своего объёма. На какую часть своего объёма уменьшается лёд при превращении в воду?

31. Найдите наименьшее число, при делении которого на 35/66, 28/165, и 25/231 получаются натуральные числа.

32. Найдите наибольшее число, при делении на которое каждой из дробей 154/195, 385/156 и 231/130 получаются натуральные числа.

33. Юра взял у Лены книгу на 3 дня. В первый день он прочитал полкниги, во второй – треть оставшихся страниц, а в третий день прочитал количество страниц, равное половине страниц, прочитанных за первые два дня. Успел ли Юра прочитать за три дня эту книгу?

34. Миша заплатить в кассу столовой за 3 блюда, а Саша – за 2 ( все блюда по одной цене). За столом к ним присоединился Гриша, и они втроём съели 5 блюд. Во время расчёта оказалось, что Гриша должен заплатить товарищам 50к. Сколько из этой суммы он должен дать Мише и сколько Саше, если каждый из них должен внести одинаковую плату?

35. Дорога от дома до школы занимает у Серёжи 30 мин. Однажды по дороге он вспомнил, что забыл дома ручку. Серёжа знал, что если он продолжит путь в школу с той же скоростью, то придёт туда за 9 мин до звонка, а если вернётся домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, он опоздает к началу урока на 11 мин. Какую часть пути он прошёл?

36. Как от куска материи в 2/3 м отрезать полметра, если под руками ничего нет, чем можно было бы измерить?

37. Не пользуясь никакой мерой длины или другими подсобными средствами, как от куска материи 8/15 м отрезать ровно полметра?

38. Ткань во время стирки садится на 1/18 часть по длине и на 1/14 по ширине. Какой длины надо взять кусок ткани, чтобы после стирки иметь 221 м ², если до стирки ширина её была 875 мм?

39. Вычислите наиболее рациональным способом:

x = 225 +375 · 138.

375 · 139 - 150

40. Вычислите наиболее рациональным способом:

333 ( 71 + 573 - 2 ).

111 111 222 222 7 · 37 · 3

41. В одном сосуде имеется a литров воды, а другой пустой. Из первого сосуда переливают половину имеющейся в нём воды во второй, затем из второго переливают 1/3 имеющейся в нём воды в первый, затем из первого переливают ¼ имеющейся в нём воды во второй и т. д. Какое количество литров воды будет в первом сосуде после 1987-го переливания?

42. На листе написано несколько ненулевых чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано?

43. Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше, чем 0,2?

44. В числителе дроби – число, у которого крайняя слева цифра 1, а за ней записано 1989 шестёрок, в знаменателе же – число, у которого крайняя справа цифра 4, а перед ней слева – 1989 шестёрок. Вася сократил эту дробь, зачеркнув все шестёрки в числителе и знаменателе, и получил 1/4. Верен ли результат полученный Васей? Можно ли только по ответу судить о правильности решения задач?

45. Вычтя из числителя дроби 537/463 некоторое число и прибавив его к знаменателю, после сокращения Таня получила 1/9. Какое число она вычитала из числителя и прибавляла к знаменателю?

46. Продолжая свои исследования с дробями, Таня прибавила к числителю некоторой дроби 4, а к знаменателю 10, после сокращения получила, к своему удивлению, исходную дробь. Она попробовала проделать это же с другой дробью, но результат уже не повторился. Какую же дробь имела первоначально Таня?

47. Когда Таня познакомила со своей задачей Светлану (см. задачу 54), то Светлана решила найти ещё одно интересное свойство дроби 2/5. При этом она обнаружила, что если к числителю этой дроби прибавить 2, а знаменатель умножить на 2, то после сокращения снова получится исходная дробь. Светлана подумала, что, как и в предыдущем случае, такая дробь единственная. Права ли она?

48. Обобщая задачу 55, члены математического кружка установили, что к числителю несократимой дроби можно прибавить не только число 2, умножая при этом знаменатель на то же число. Они нашли общий вид такого числа. Найдите и вы его?

49. Сократима ли дробь, дополняющая данную несократимую дробь до 1? Всегда ли будет справедливой подмеченная вами закономерность? Докажите.

50. Найдите натуральные числа a и b, такие, чтобы число, обратное их разности, было в три раза больше числа, обратного их произведению.

51. Найдите целые неотрицательные значения n, при которых 30n + 2 / 12n + 1 является целым числом.

52. В бочке ровно 30 л олифы. Для трёх строительных бригад их неё наполнили 3 бидона, каждый из которых вмещает целое число литров, причём ёмкость первого составляет 2/3 ёмкости второго или 3/5 ёмкости третьего. Сколько литров олифы осталось в бочке?

53. Четверо друзей купили вместе футбольный мяч. Первый из них внёс 2р. 30к. , второй – третью часть суммы, вносимой остальными, третий – четверть суммы, вносимой остальными, а четвёртый – пятую часть суммы, вносимой остальными. Определите стоимость покупки и величину взноса каждого мальчика. ?

54. В чашку влили один стакан кофе и затем из стакана, наполненного молоком, в эту чашку отлили четверть стакана молока. Перемешав тщательно содержимое чашки, из неё долили стакан с молоком. Сколько осталось молока и сколько кофе?

55. В одном стакане имеется вода, в другом – столько же молока. Из второго стакана набирают ложку молока, вливают в первый стакан и размешивают. Затем берут из первого стакана ложку смеси и вливают во второй стакан. Чего больше: молока в воде или воды в молоке?

56. После того как туристы прошли 1 км и половину оставшегося пути, им ещё осталось пройти треть всего пути и 1 км. Чему равен путь?

57. Когда Васе Верхоглядкину предложили такую задачу: «Два туриста вышли одновременно из А в В. Первый половину времени, затраченного на весь путь, шёл со скоростью 5 км/ч, а остальную часть времени шёл со скоростью 4 км/ч. Второй турист первую половину пути шёл со скоростью 5 км/ч, а вторую – со скоростью 4 км/ч. Кто из них раньше прибудет в В?» - то он заявил: «Ясно, что они придут в В одновременно». А как думаете вы?

58. На некоторую сумму куплена клубника по 2р. 40к. за кг одного сорта и на такую же сумму другого сорта по 1р. 60к. Найдите среднюю цену 1кг купленной клубники.

59. Автобус прошёл три равных по длине участка пути: первый со средней скоростью 50 км/ч, второй – 30 км/ч и третий – 70 км/ч. Какова средняя скорость движения автобуса на всём пути?

60. Найдите произведение:

(1 - 1 ) · (1 - 1 ) · (1 - 1 ) (1 - 1

1 · 3 3 · 5 5 · 7 99 · 101

Однако вы здесь можете с ней посоревноваться, если откроете секрет и по-иному запишите слагаемые. Как это сделать?

61. Установите правило, по которому составлена таблица, и исключите «лишнее» число:

a b c

Может ли выражение (a + b) (b + c) ( a + c) равняться 12?

Поиски решений

Попробовали решить задачи самостоятельно?

А теперь я предлагаю Вашему вниманию, небольшие подсказки – поиски решений, которые, несомненно, помогут Вам получить ответ в этих занимательных задачах.

1. Поскольку запись дроби не изменяется, если ее перевернуть «вверх ногами», то непричастны ли здесь цифры-«акробатки»? Что это за цифры?

2. Количество рыбы в ставке можно было бы найти, если бы знали, какую часть имеющейся там рыбы составляют выловленные 80 рыбин. Очевидно, для этой цели и вылавливали повторно с меченой рыбой. Порассуждаем над этим.

3. Число овец в отаре можно узнать, если знать, какую часть этою числа составляют 60 овец

4. Как и в предыдущих задачах, решение сводится к определению, какую часть всей массы составляет масса, данная в условии задачи

5. Причиной получения неверного равенства из данного верного может быть нарушение математического правила, закона, Переходя от равенства к равенству, надо обнаружить это нарушение

6. Прыгая по прямой, кузнечик за некоторое число прыжков может переместиться на 7 м. За какое? Подумаем, как он должен прыгать, чтобы переместиться на оставшееся расстояние

7. Искать недостающие числа следует, отправляясь от имеющихся результатов вычитания а), б), г) и известных знаменателей и числителей некоторых компонентов. (Используется метод проб, но целенаправленно. )

8. При отыскании знаков действий важно сравнивать полученный результат с первой компонентой.

9. Если бы удалось найти, за какое время туристы прошли пешком полпути, то можно было бы ответить и на вопросы задачи. Найти это нетрудно, так как известно, за какое время они могут проехать весь путь автобусом.

10. Порассуждаем так: во-первых, нельзя ли использовать эти же цифры, которые даны в условии для записи другого примера? Как изменить компоненты, чтобы результат остался тот же? Во-вторых, надо попробовать найти примеры, в которых числа записаны иными цифрами.

11. Задачу можно решить с помощью уравнения, но, судя по условию задачи, такое решение предвидится не очень удобным. Поищем иное решение. Обратим внимание на последнее количество съеденных плюшек. Какую часть составляет полплюшки от съеденных в третий раз плюшек? Зная число плюшек, съеденных в третий раз, можно найти, сколько плюшек было съедено во второй раз и сколько их было перед этим. Так, рассуждая «с конца», дойдем до исходного момента и определим, сколько было плюшек.

12. Если часы отстают за 1 ч на 5 мин, то за 60 мин они «отсчитают» не 60 мин. А сколько? Узнав это, можем найти, за сколько минут (часов) они «отсчитают» 5,5 ч.

13. Решение задачи сводится к определению времени продолжительности работы часов при одном обороте головки. Число нужных оборотов головки часов за сутки найти можно.

14. Задачу можно решать с помощью уравнения. Поищем иной путь решения. Температуру в первый и последний дни наблюдений можно было бы узнать, если бы знали, в какой день была средняя температура (при нечетном числе дней). В данном случае это сделать можно.

15. Ответ на вопрос задачи будем искать, сравнивая средний возраст пи-пиков различных групп класса. (Среднее нескольких чисел есть частное от имения их суммы на количество слагаемых. ) Каков был бы средний возраст ученика из группы в 25 человек, если бы им вместе было не менее 225 лет? А средний возраст ученика из остальной группы (10 человек)? Вывод?

Заключение

В истории было много разных способов для обозначения натуральных чисел, но, в конце концов, "победила" одна - десятичная позиционная система записи, которой в настоящее время пользуется весь мир.

Похожая история произошла и с обозначением дробей. Дроби, как известно, возникли в связи с делением предметов на несколько частей. И поскольку в различных практических задачах приходится делить на разное число равных частей - на 5, на 8, на 45 и т. д. , то и дроби рассматриваются с самыми различными знаменателями - и т. д. При этом вычисления с дробями гораздо сложнее, чем вычисления с натуральными числами, в чем каждый уже убедился на собственном опыте. А в Древнем Египте такие вычисления могли проводить только жрецы - самые образованные люди общества того времени.

А, значит, каждый пятиклассник, знающий дроби, – это бывший жрец.