Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Доказательство теоремы Архимеда

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее не имеет времени насладиться.

Е. Т. Белл

В наши дни каждый школьник получает первичные знания по математике. Еще до школы ребята учатся считать, а затем на уроках получают представление о неограниченности числового ряда, об элементах геометрии, о дробных и иррациональных числах, изучают начала алгебры и математического анализа. Эти знания абсолютно необходимы каждому молодому человеку, независимо от того, кем он станет в будущем: рабочим, инженером, механизатором, врачом, офицером или ученым. Зачатки счета теряются в глубине веков и относятся к тому периоду истории человечества, когда еще не было письменности. Писать человек научился тогда, когда он довольно далеко продвинулся в умении считать. Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И в наше время, как и в далеком прошлом, практика выдвигает перед математикой сложные задачи. Чтобы решить их, необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования. Цель моей работы рассказать о некоторых не так широко известных, но, на мой взгляд, очень интересных теоремах выдающихся математиков прошлого и современности, а также о применении этих теорем для решения задач геометрии.

§1 Теорема АРХИМЕДА

1. 1 Доказательство теоремы Архимеда.

B сочинениях Архимеда, большая часть из которых дошла до нас в арабских переводах, встречается много интересных геометрических задач. Одну из задач Архимеда редакция журнала «Квант» поместила под юбилейным тысячным номером в «Задачнике «Кванта». Я хочу разобрать другую задачу Архимеда — задачу об арбелосе (так у греков назывался скорняжный нож, предназначенный для разделки и очистки кож; он имел форму). Утверждение Архимеда заключается в том, что окружности, равны. Докажем это, следуя в основном рассуждениям самого Архимеда. Решение Архимеда опиралось на одно свойство касающихся окружностей которое можно сформулировать так:

Пусть прямая пересекает данную окружность в точках K и M. Рассмотрим произвольную окружность, касающуюся данной в точке P, а прямой KM в точке L. Тогда прямая PL проходит через середину одной из двух дуг KM, на которые данная окружность разделена прямой KM.

Докажем это.

Рассмотрим для определенности случай. Пусть O- центр данной окружности, O1 – центр построенной окружности. Точки O, O1 и P лежат на одной прямой. Пусть прямая PL пересекает данную окружность в точке Е. Треугольники PO1L и POE равнобедренные. У них есть один общий угол – угол при вершине P. Значит они подобны, и O1L параллельна OE. Но O1L перпендикулярна KM. Следовательно, OE также перпендикулярна KM. Значит, Е – середина дуги.

С помощью этого свойства можно доказать теорему Архимеда.

Рассмотрим окружность, касающуюся BD в точке L. Дуги AD – в точке P и полуокружности AB – в точке F . Согласно доказанному свойству, прямая PL проходит через точку C, а прямая FL –через A.

Проведем через L в построенной окружности диаметр LN. Углы NPL иAPC – прямые (как опирающиеся на диаметры в соответствующей окружности), поэтому точки P, N и A лежат на одной прямой. Точно так же лежат на одной прямой точки N, F и B. (Прямыми являются углы NFL и AFB).

Обозначим через G точку пересечения AL с большей полуокружностью. Рассмотрим треугольник ALC. Высотами в нем являются LB, AP и CG. Продолжим их до пересечения в одной точке, которую обозначим через S.

Из подобия треугольников SNL и SAB получим. Но прямые NB и SC параллельны, так как они перпендикулярны AL. Значит,. Откуда следует, что , при этом NL – диаметр одной из окружностей, вписанных в части арбелоса. Понятно, что находя диаметр второй окружности, мы придем к тому же равенству.

2. Решение задачи с использованием теоремы Архимеда

Задача №1. Окружность, вписанная в арбелос.

Пусть радиусы двух меньших полуокружностей, образующих арбелос, равны a u b. Найдите радиус окружности, вписанной в арбелос, m. e. радиус окружности, касающейся большей полуокружности внутренним образом u двух меньших — внешним образом.

Решение. Обозначим центры трех полуокружностей, образующих арбелос, через О1, О2 и О3 , их радиусы соответственно a, b и (a+b), О — центр искомой окружности, x — ее радиус.

Все отрезки, соединяющие попарно точки О1, О2, О3 и O, можно выразить через a, b и x:

О1 О3 = b, О302 =a, О1О = a + x, О2О= b + x, О3О = a + b — x.

Обозначим ∠О О3 О2 = φ, ∠ О О3 О1 = 180° — φ. Запишем теорему косинусов для треугольников О О3 О2 и О О3 О1:

(b + x)2 = a2 + (a + b − x)2 − 2а(а + b − х) соsφ,

(a + b)2 = b2 + (a + b − x)2 + 2b(a + b − x) cosφ.

Упростим каждое из уравнений:

(2b + а)х = а2 + аb − а(а + b − x) соsφ,

(2a + b)х = b2 + аb + b(а + b − x) соsφ.

Теперь умножим первое уравнение на b, a второе — на а и сложим их. При этом исключается соsφ. Получим

2x(b2 + аb + а2) = 2(bа2 + аb2),

Откуда.

§2 Теорема Птолемея

2. 1 Доказательство теоремы Птолемея

Т е о р е м а. Если четырехугольник ABCD вписанный, то

АВ•СB+ВС•AD=AC• ВD.

Доказательство теоремы будет в основном следовать доказательству самого Птолемея, приведенному им в книге «Альмагест». Возьмем на диагонали АС такую точку E, что ∠АВЕ= ∠DВС. Тогда Δ АВЕ∾ Δ DВС, так как ∠ВАЕ= ∠ВАС= ∠BDС. Поэтому АВ : DВ=АЕ : DС, Т. е. АВ • DС=АЕ • DВ.

Ясно также, что ∠СВЕ= ∠DВА, a значит, ΔСВЕ ∾Δ DBA, так как ∠ВСЕ = ∠BDA. Поэтому СВ : DB = СЕ : DA, Т. е. СВ • DA = СЕ• DB. Сложив полученные равенства, получим:

АВ • СВ + ВС • АD = АЕ • ВD + СЕ • ВD = АС • BD.

2. 2 Решение задач с использованием теоремы Птолемея.

Задача № 2.

Пусть. Докажите, что.

Решение.

Пусть правильный семиугольник вписан в окружность. Применяя теорему Птолемея к четырехугольнику , получаем , т. е.

=> что и требовалось доказать.

Задача № 3.

Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям: а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно; б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

Решение.

Пусть оба касания внешние и. Прямая, проходящая через центр О окружности радиуса x параллельно отрезку, соединяющему точки касания, пересекает окружность радиуса (с центром в центре окружности радиуса y) в точках A и B . Тогда и. Квадрат искомой длины общей внешней касательной равен.

Аналогичные рассуждения показывают, что оба касания внутренние, то квадрат длины внешней касательной равен , а если окружность радиуса х касается внешне, а окружность радиуса y – внутренне, то квадрат длины внутренней касательной равен (в случае внутреннего касания окружностей предполагается, что R>x и R>y).

§3 Теорема Штейнера-Лемуса

Нетрудно построить треугольник по трем его медианам или же по трем высотам. Но, оказывается, по трем биссектрисам в общем случае треугольник построить нельзя. И вообще с биссектрисами все обстоит гораздо «хуже», чем с медианами и высотaми. Многие теоремы, справедливые и легко доказываемые для медиан или высот, становятся весьма труднодоказуемыми, а то и попросту неверными для биссектрис. Как мы знаем, в равнобедренном треугольнике равны соответствующие пары медиан, высот и биссектрис. Верны и обратные теоремы: если в треугольнике равны две медианы (высоты, биссектрисы) , то этот треугольник равнобедренный. Для медиан и высот соответствующая теорема доказывается без труда. Гораздо сложнее обстоит дело с биссектрисами. Впервые доказательство того, что из равенства двух биссектрис следует равнобедренность треугольника, дано в работах немецких геометров Штейнера и Лемуса. C тех пор это утверждение носит название тeоремы Штейнера — Лемуса.

Теорема. Любой треугольник , у которого равны длины биссектрис двух углов (измеряемые от вершины до противоположной стороны), является равнобедренным.

Эта теорема была послана великому шведскому геометру Якобу Штейнеру в 1840 году С. Л. Лемусом (имя которого, если бы не этот случай, было бы давно забыто) с просьбой дать чисто геометрическое доказательство. Штейнер дал довольно сложное доказательство, которое вдохновило многих других на поиски более простых методов. Работы по теореме Штейнера - Лемуса появились в различных журналах в 1842, 1844, 1848 годах и почти каждый год с 1854 года по 1894 год, а также в большом количестве и в течении следующего столетия.

До сих пор теорема Штейнера — Лемуса и различные вариации на ее тему вызывают живой интерес y математиков, как любителей, так и профессионалов, a различные математические журналы время от времени возвращаются к этой старинной теме.

B 1963 г. журнал «American Mathematical Monthly» («Американский математический ежемесячник») объявил конкурс на лучшее доказательство теоремы Штейнера — Лемуса. Среди многочисленных откликов были обнаружены интересные и ранее неизвестные доказательства. Одно из них, лучшее, по мнению редакции журнала, приводится в книге «Новые встречи с геометрией» авторов Коксетер Г. С. , Грейтцнер С. Л. Именно это доказательство я рассмотрел в своей работе.

Доказательство. Пусть в ΔАВС равны биссектрисы АА1 и СС1. Предположим, что ΔABC не является равнобедренным. Пусть для определенности ∠ВСА > ∠ВАС. Возьмем на КА1 точку А2 так, что ∠СI СА2==∠СI AА2 (рис. 7). Из равенства углов СIАА2 и С1СА2 следует, что точки A, C, С1, и А2 лежат на одной окружности, ∠СIАC и ∠АСА2 острые. (∠ACA2 острый, потому что∠АСА2= ∠АСС1 + ∠С1СА2= (∠ВСА + ∠ВАС)/2 =90° −).

Значит, АА2> СС1, поскольку хорде АА2 соответствует в построенной окружности больший острый угол (∠ACA2), чем хорде СС1 (∠С1АС). Получилось противоречие: СС1<АА2<АА1=СС1. Следовательно, ∠ВАС=∠ВСА и ВА=ВС.

B советской литературе обычно встречается доказательство теоремы Штейнера—Лемуса, основанное на следующем признаке равенства треугольников: если сторона, противолежащий этой стороне угол и биссектриса этого угла одного треугольника равны соответственно стороне, углу и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны. Докажем этот признак.

Данные треугольники можно расположить так, как расположены ΔАВ1С и ΔАВ2С : они имеют общую сторону АС, вершины В1 и В2 находятся по одну сторону от прямой АС и от серединного перпендикуляра к АС (если В1 и В2 по рaзные стороны от серединного перпендикуляра, то можно вместо В2 взять точку, симметpичную В2 относительно этого перпендикуляра). По условию ∠АВ1С= ∠АВ2С, следовательно, описанные окружности ΔАВ1С и ΔАВ2С совпадают. Проведем биссектрисы В1М1 и В2М2 (они равны) и продолжим их до пересечения с описанной окружностью. Обе биссектрисы при продолжении пересекут эту окружность в точке K — середине дуги АС. Если В1 и В2 не совпадают и раcположены, то В2К>В1К, так как хорда В2К ближе к центру окружности, чем хорда В1К1 a КМ2<КМ1, так как проекция Наклонной КM2 на прямую АС меньше, чем проекция на ту же прямую наклонной КМ1. Следовательно,

B2 M 2=В2К—КМ2>В1К—КМ1 = B1M1, что противоречит условию В1М1 =В2М2. Значит, точки В2 и В, должны совпасть.

Вернемся (в ΔАВС биссектрисы АА1 и СС1 равны). B ΔАВА1 и ΔСВС1 имеем: угол B — общий, АА1 = СС1, биссектриса ВК — общая, следовательно, по доказанному признаку эти треугольники равны.

Заметим, что на самом деле мы доказали несколько более общее утверждение: если в ΔАВС равны отрезки АА1 и СС1 (где А1 на ВС, С1 на АВ), а их точка пересечения находится на биссектрисе угла B, то АВ =ВС.

После знакомства c теоремой Штейнера—Лемуса естественным образом возникает вопрос: верно ли аналогичное утверждение для биссектрис внешних углов треугольников? Напомним, что биссектрисой внешнего угла треугольника называется отрезок биссектрисы угла; смежного c углом треугольника, от соответствующей вершины до точки пересечения этой биссектрисы c продолжением противоположной стороны треугольника. B упоминавшейся нами книге Коксетера приводится пример так называeмого треугольника Ботемы: в треугольнике АВС c углами ∠A =12°, ∠С=132°, ∠B=36° биссектрисы внешних углов А и C равны между собой (они равны стороне АС).

Возможны и другие вариации на тему Штейнера — Лемуса. Так, например, легко видеть, что если расстояния от основания медианы (или высоты) треугольника до середины сторон, заключающих эту медиану (высоту), равны между собой, то треугольник равнобедренный. Для биссектрисы аналогичное утверждение уже неверно. Можно доказать, что в любом ΔАВС, стороны которого связаны соотношением АВ + ВС = АС, основание биссектрисы угла B обладает требуемым свойством. Проверить это можно, используя теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника и формулу длины медианы треугольника. (Напомним эту формулу: если стороны треугольника a, b и c, a ma — медиана к стороне а, то m= (2b2+2с2—а2).

Обозначим для краткости стороны ΔАВС стандартным образом: ВС=а, СА=b, АВ = с. По условию а+с= b. ПУСТЬ а ≠с. Проведем биссектрису ВВ1 угла B . Нам надо проверить, что медианы в ΔАВВ1 и ΔСВВ1, выходящие из вершины В1, равны между собой. Обозначим их соответственно m и n. Поскольку АВ1+В1С=b и по теореме о биссектрисе

AB1 : B1C = AB : BC = c : a.

4m2=2+2ВВ12 —с2,

4n2=2+2BB12 —а2, откуда

4m2 − 4n2 = 2− 2+ a2 −c2 = 2 поскольку b= a + c.

§4 Теорема Морлея

На рубеже ХIХ и ХХ столетий корона элементарной геометрии обогатилась еще одной прекрасной жемчужиной — теоремой Морлея o трисектрисах. Теорема эта представляется еще более неожиданной, если вспомнить, что сравнительно недавно математика наконец-то доказала неразрешимость задачи о делении произвольного угла на три равные части c помощью циркуля и линейки (трисекции угла) и ряда других классических задач (квадратуры круга, удвоения куба и др. ).

Теорема. Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

Эта теорема была открыта Франком Морлеем в 1904 году. Он упоминал об этой теореме своим друзьям в Кембридже (Англия) и опубликовал ее двадцать лет спустя в Японии. Тем временем она была переоткрыта и представлена, как задача в журнале «Educational Times». Рассмотрим произвольный ΔАВС. Проведем лучи, делящие каждый из его внутренних углов на три равные части (эти лучи нaзываются трисектрисами). Обозначим через DEF треугольник, вершинами которого являются точки пересечения трисектрис, прилежащих к соответствующим сторонам треугольника. Тогда ΔDEF является правильным.

Существует очень много различных доказательств теoремы Морлея. Самое простое по своей идее, но далеко не самое красивоe состоит в том, что стороны ΔDEF выражаются через углы исходного ΔАВС и радиус окружности, описанной около ΔАВС. Вернее, выражается одна из сторон, и по виду полyченной формулы можно сделать заключение, что и другие стороны равны тому же выражению. (если углы ΔАВС равны 3α, 3β, 3γ, a R — радиус описанной окружности, то каждая из сторон ΔDEF равна 8R sinα sinβ sinγ. )

Все известные нам геометрические доказательства теоремы Морлея являются косвенными, в отличие от прямого алгебраического, o котором мы только что говорили. Правда, провести четкое разграничение между прямыми и косвенными доказательствами не всегда возможно. Если не вдаваться в детали, то суть этого различия в следующем. B прямом доказательстве мы используем лишь одну логическую фигуру — следствие. Исходя из условия задачи, мы выстраиваем цепочку следствий, соединяющую это условие c тем, что нам нужно доказать. B косвенных доказательствах участвуют и другие виды рассуждений, например рассуждение от противного. Блюстители «чистоты» идут еще дальше. Они считают доказательство прямым, ММ все используемые в его процессе теоремы также имели прямое доказательство. Проверить это в конкретных случаях возможно далеко не всегда.

Доказательство теоремы Морлея, которое я хочу здесь привести, основывается на следующем простом многим известном факте:

Пусть К — центр окружности, вписанной в ΔPQR (точка пересечения его биссектрис), тогда ∠PKR=90°+(∠PQR)/2 (рис. 13).

Доказывается эта утверждение очень просто:

∠PKR =180° - (∠KPR + ∠KRP) =

=180° - (∠QPR+∠QRP)/2=

=180° -(180°— ∠PQR)/2=90° -(∠PQR)/2.

Нетрудно доказать и справедливость обратного yтверждения:

Если К1 — точка внутри ΔPQR, расположенная на биссектрисе его внутреннего угла PQR и такая, что ∠PK1R=90°+(∠PQR)/2, то К1 совпадает с К — центром вписанной в ΔPQR окружности.

Опишем около ΔPKR окружность. Для всех точек дуги этой окружности, содержащей K, хорда PR видна под Одним и тем же углом 90°+(∠PQR)/2. Для всех других точек этот угол будет иным. A поскольку эта дуга пересекается c биссектрисой угла Q треугольника в единственной точке, то из условия будет cледовать, что К1 совпадает c К.

Вернемся теперь к теореме Морлея. Рассмотрим правильный

ΔDЕF (произвольный). Построим на его сторонах во внешнюю сторону равнобедренные треугольники ESF, FTD и DRE, в которых ∠ESF=60°+2α, ∠FTD=60°+2β и ∠DRE=60°-2γ, где через 3α, 3β и З γ обозначены углы исходного треугольника. Рассмотрим ΔАВС, вершинами которого являются точки пересечения соответственно прямых TF и RE, SF и RD, ТВ и SE.

Если окажется, что ΔАВС подобен исходному треугольнику, a ΔDEF образован при пересечении соответствующих трисектрис ΔАВС, то мы тем сaмым докажем и теорему Морлея.

Рассмотрим ΔBSC. В этом треугольнике SD является биссектрисой угла ∠BSC. Это следует из того, что ΔFDE правильный, a ΔFSE — равнобедренный. Найдем угол BDC. Для этого рассмотрим невыпуклый четырехугольник BSCD.

∠BDC=∠SBD+∠ВSС+ ∠DСS =

β + (бо°+2 α)+ γ =120°+ α = 90°+ (∠BSC)/2.

Таким образом, из рассмотренного выше обратного утверждения следует, что D — точка пересечения биссектрис ΔВSС, a значит, ∠FBD=∠DBC и ∠BCD=∠DCE. Рассматривая ΔАТС и ΔАВR точно так же докажем, что точки Е и F являются точками пересечения биссектрис этик треугольников.

Таким образом, ΔDEF в самом деле образован при пересечении соответствующих трисектрис ΔАВС. Теорема Морлея доказана.

Теорема Морлея допускает усиление. Можно наряду c трисектрисами внутренних углов ΔАВС рассматривать также и триccектрисы его внешних углов, а также углов, дополняющих углы Треугольника до 360°. Получившиеся 27 пpямых образуют при пересечении причудливую конфигурацию, в которой можно выделить 18 морлеевских треугольников, причем все стороны этих 18 правильных треугольников Параллельны cторонам основного треугольника.

Приложение

АРХИМЕД

Об Архимеде – великом математике и механике – известно больше, чем о других ученых древности. Прежде всего достоверен год его смерти – год падения Сиракуз, когда ученый погиб от руки римского солдата. Впрочем, историки древности Полибий, Ливий, Плyтарх мало рассказывали o его математических заслугах, от них до наших времен дошли сведения o чудесных изобретениях ученого, сделанных во время службы у царя Гиерона II. Известна история o золотом венце царя. Чистоту его состава Архимед проверил при помoщи найденного им закона выталкивающей силы, и его возгласе «Эврика!», т. е. «Нашел!». Другая легенда рассказывает, что Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль «Сиракосия». Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю».

Инженерный гений Архимеда c особой силой проявился при осаде Сиракуз, богатого торгового города на острове Сицилия.

Воины римского консула Марцеллa были надолго задержаны у стен города невиданными машинами: мощные катапульты прицельно стреляли каменными глыбами, в бойницах были установлены метательные машины, выбрасывающие грады ядер, береговые краны поворачивались за пределы стен и забрасывали корабли противника каменными и свинцовыми глыбами, крючья подхватывали корабли и бросали их вниз с большой высоты, системы вогнутых зеркал (в некоторых рассказах щитов) поджигали корабли. В «Истории Марцелла» Плутарх описывает ужас, царивший в рядах римских воинов: «Как только они замечали, что из-за крепостной стены показывается веревка или бревно, они обращались в бегство с криком, что вот Архимед еще выдумал новую машину на их погибель».

Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Следующая кинематически определенная кривая –циклоида –появилась только в XVII В. Архимед научился находить касательную к своей спирали (a его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка, a также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2:3.

Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга. Ученый вычислил отношение длины окружности к диаметру (число π) и нашел, что оно заключено между и.

Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.

Архимед нашел также сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4. B математике это был первый пример бесконечного ряда.

Большую роль в развитии математики сыграло его сочинение «Псаммит»–«О числе песчинок», в котором он показывает, как с помощью существовавшей системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа. B качестве повода для своих рассуждений он использует задачу о подсчете количества песчинок внутри видимой Вселенной. Тем самым было опровергнуто существовавшее тогда мнение о наличии таинственных «самых больших чисел».

ПТОЛЕМЕЙ

Знаменитый александрийский астроном, математик и географ II века н. э. Клавдий Птолемей – одна из крупнейших фигур в истории науки эпохи позднего эллинизма. В истории же астрономии Птолемею не было равных на протяжении целого тысячелетия – от Гиппарха (II в. до н. э. ) до Бируни (X-XI в. н. э. ).

История довольно странным образом обошлась с личностью и трудами Птолемея. О его жизни и деятельности нет никаких упоминаний у историков той эпохи, когда он жил. Если, например, о его современнике римском естествоиспытателе и враче Галене известно, что он родился в Пергаме в 129 г. н. э. и умер около 201 г. , то даже приблизительные даты рождения и смерти Птолемея неизвестны, как неизвестны и какие-либо факты его биографии.

Птолемею повезло в другом. Почти все его основные сочинения сохранились и были по достоинству оценены потомками, начиная от его младших современников (Веттий Валент и тот же Гален) и кончая астрономами наших дней. Основной труд Птолемея, широко известный ныне под названием «Альмагест», был переведен с греческого на сирийский, среднеперсидский (пехлеви), арабский, санскрит, латынь, а позднее – на французский, немецкий, английский и русский языки. Вплоть до начала XVII в. он был основным учебником астрономии. Название «Альмагест» принадлежит не самому Птолемею, оно позднейшего, притом арабского происхождения. Птолемей же писал по-гречески и назвал свое сочинение так: Megalh suntaxiz («Мэгале синтаксис»), что означает «Большое построение». Слово «синтаксис» имеет несколько значений. Его можно перевести и как «трактат» и как «сочинение». В различных источниках встречаются все эти варианты перевода.

Сам Птолемей в ссылках на свою книгу часто называет ее Maqhmatich suntaxiz, что означает «Математическое построение». Арабские переводчики труда Птолемея из уважения ли к его автору или просто по небрежности – превратили megalh («большое») в megizth («величайшее»), так что у арабов книга Птолемея стала называться сокращенно Al Magisti, откуда и произошло название «Альмагест».

В «Альмагесте» Птолемей широко использует результаты наблюдений и построения своего великого предшественника Гиппарха (II в. до н. э. ). За последние 200 лет не раз возникал вопрос, какие наблюдения и результаты заимствованы Птолемеем у Гиппарха, а какие принадлежат самому Птолемею. Дело в том, что подлинные сочинения Гиппарха до нас не дошли (за исключением небольшого «Комментария к Арату»), и вопрос этот приходится решать косвенными путями. Практически все, что известно о работах Гиппарха узнали благодаря их изложению в «Альмагесте» Птолемея. То же можно сказать и о многих других наблюдениях и математических исследованиях древнегреческих и вавилонских астрономов. Благодаря этому «Альмагест» стал своеобразной энциклопедией астрономии древности.

Кроме «Альмагеста» Птолемей оставил ряд других сочинений, причем не только по астрономии, но и по математике, оптике, географии, музыке. Ему принадлежит разработка основ математической картографии и составление списка координат 8000 географических пунктов (определенных, правда, весьма приближенно).

Заключение

Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Но математика росла и развивалась, особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений.

Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами за которые ее ценили прошлые поколения. Более того для специалистов в чистой и прикладной математике геометрия стала еще более полезной и необходимой чем она была когда-либо раньше.

Рассмотренные в работе теоремы великолепно подтверждают значение геометрии в современной математике.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)