Доказательства теорем по математике

Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Геометрия, как и всякая наука, возникла под влиянием жизненных потребностей. Необходимость повседневного удовлетворения их ставит человека перед целым рядом вопросов о форме окружающих его предметов, вычислениях, связанных с землемерием, строительным делом и т. д. Слово "геометрия" означает "землемерие" и ясно указывает на источник его происхождения.

Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом ежегодно подвергалась затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каждый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием. Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять емкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян - пирамиды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их сооружение требовало знания пространственных форм. Все это указывает на чисто опытное происхождение геометрии.

Но математика росла и развивалась, особенно бурно последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое отражение и в содержании школьных программ по математике, как в США, так и в ряде других стран.

Возможно тот факт, что в школьной программе геометрия занимает одно из последних мест, объясняется тем, что педагоги мало знают о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями. Я имею в виду многие блестящие результаты, такие, как теорема Фейрбаха, теореме Чевы, теорема Менелая и т. д.

Элементарная геометрия – часть геометрии, входящая в элементарную математику. Границы элементарной геометрии, как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что элементарная геометрия есть та часть геометрии, которая изучается в средней школе; это определение, однако, не только не вскрывает содержания и характера элементарной геометрии, но и никак ее не исчерпывает, так как в не включается обширный материал, лежащий вне школьных программ (например, аксиоматика, сферическая геометрия). можно сказать, что элементарная геометрия есть исторически и, соответственно, логически первая глава геометрии (поскольку из нее развились другие геометрические направления); в свои основах она сложилась в Древней Греции, и изложение ее основ дают уже «Начала» Евклида (3 в. до н. э. ). Такое историческое определение закономерно, но и оно также не уточняет общего содержания и характера элементарной геометрии, тем более, что развитие ее продолжается и в настоящее время. Потому определение элементарной геометрии может быть раскрыто и дополнено.

Элементарная геометрия исходит из простейших фигур – точка, отрезок, прямая, угол, плоскость, и основного понятия о равенстве отрезков или углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство.

Предмет элементарной геометрии составляют:

1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур;

2) фигуры, определенные тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях.

Изучаемая в школе геометрия является иллюстрацией метода построения теории, которая получила название аксиоматического метода.

К началу III в. до н. э. в работах древнегреческого ученого Аристотеля была сформулирована идея построения научной теории. Применительно к геометрии ее реализовал Евклид в своей работе «Начала». На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько утверждений (постулатов), принимаемых без доказательства, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. система Эвклида явилась первым опытом применения аксиоматического метода и просуществовала без изменения до XIX века н. э. Однако она обладала рядом недостатков с современной точки зрения на аксиоматический метод, и на рубеже XIX – XX веков была построена геометрическая система, свободная от этих недостатков.

К середине XIX века, как уже было отмечено, основания евклидовой геометрии оставались на том же уровне, как они были изложены в работах Евклида. Однако общая тенденция к повышению математической строгости во второй половине XIX века побудила многих авторов к пересмотру основ геометрии с целью предложить полную, непротиворечивую, независимую систему аксиом. наибольшее признание среди различных сформулированных систем получила аксиоматика немецкого Давида Гильберта, изложенная в его книге «Основания геометрии» в 1899 г. Ему удалось построить аксиоматику геометрии, расчлененную настолько естественны образом, что логическая структура геометрии становилась совершенно прозрачной: три группы аксиом управляют каждая своим основным отношением – принадлежности, порядка, равенства. Такое расчленение позволило, во-первых, формировать аксиомы кратким и простым образом; во-вторых, исследовать, как далеко можно развить геометрию, если положить в основу не всю аксиоматику, а только ту или иную ее группу. При этом система задавала действительно абстрактную теорию, в которой объекты и отношения между ними – это просто какие-то мыслимые «вещи», про которые известно только то, что они удовлетворяют аксиомам.

Элементарная геометрия включает те вопросы геометрии, которые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определенные множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом то забывают, что при введении общих понятий кривой выпуклого тела длины и др. Фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающихся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функций. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах математической логики. Вместе с тем, соответственно такому пониманию элементарной геометрии, можно говорить об элементарной геометрии n-мерного эвклидова пространства, о элементарной геометрии Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы этих геометрических теорий, которые характеризуются теми же чертами.

Тема моей работы: «Различные доказательства теорем элементарной геометрии не изучаемых в школе». Она рассматривает «именные теоремы, или теоремы великих ученых. Эта тема интересна тем, что доказывая теоремы школьного курса геометрии мы не всегда знаем, что они основаны на доказательстве какой-либо теоремы, доказанной еще в древние времена.

Рассмотрим доказательства именных теорем, не забывая о великих математиках, доказавших их.

1. Чева Джованни (Ceva Giovanni) (3. 3. 1648, Милан,- 13. 12. 1734, Мантуя) - итальянский инженер и математик. Окончил Пизанский университет. Основные работы по геометрии и механике. Доказал (1678) теорему о соотношении отрезков некоторых прямых, пересекающих треугольник (теорема Чевы). Построил учение о секущих, которое положило начало синтетической геометрии; оно изложено в соч. "О взаимно пересекающихся прямых" ("De line is rectis se inuicem secantibus", Mediolani, 1678).

Теорема. Пусть дан треугольник АВС и три прямые, проходящие через его вершины. Прямая, проходящая через его вершинуА, пересекает прямую ВС в точке А1, прямая, проходящая через вершину В пересекает сторону АС в точке В1, прямая, проходящая через вершину С, пересекает сторону АВ в точке С1. Эти прямые проходят через одну точку тогда и только тогда, когда

Доказательство

Необходимость.

Для случая пересекающихся прямых

Рассмотрим треугольник АВВ1 и прямую СС1, которая его пересекает.

По теореме Менелая

Рассмотрим треугольник СВВ1 и прямую АА1, которая его пересекает.

По теореме Менелая

Разделим первое соотношение на второе

Для случая непересекающихся прямых

По теореме Фалеса запишем пропорции: и

Перемножим пропорции: , значит

Достаточность.

Пусть в точке Р пересекаются прямые СС1 и ВВ1. прямая АР пересечет прямую ВС в точке А’.

По уже доказанному.

Но тогда , что означает, что А и А’ совпадут ч. т. д.

2. Теоре́ма Менела́я — это классическая теорема аффинной геометрии.

Подобный результат в сферической геометрии упоминается в трактате «Sphaerica» Менелая Александрийского (приблизительно 100-ый год нашей эры) и по-видимому, аналогичный результат на плоскости был уже известен. Эта теорема носит имя Менелая, поскольку более ранних письменных упоминаний об этом результате не сохранилось.

Хотя обоих математиков - древнегреческого и итальянского - разделяют 17 веков, теоремы, названные их именами, обладают двойственностью. Если в любой из них заменить прямую точкой и точку прямой, то теорема Менелая станет теоремой Чевы, и наоборот. Полезны они вот почему: те задачи, которые традиционно решаются довольно сложно с помощью аппарата векторной алгебры, решаются буквально в одну строчку с помощью теорем Менелая и Чевы. Это касается и обратных теорем. Доказательство принадлежности трех точек одной прямой решается очень просто с помощью теоремы, обратной теореме Менелая, доказательство того, что три прямые пересекаются в одной точке, так же легко решается с помощью теоремы, обратной теореме Чевы. Это наиболее важное событие в истории геометрии (открытие этих теорем), оказавшее влияние как на процесс развития математики, так и на развитие техники и смежных областей науки!

Теорема. Пусть на прямых BC, CA, AB, содержащих стороны треугольника ABC, даны соответственно точки A', B', C'. Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

Доказательство.

Необходимость.

Проведем BKA'B'. Из подобия треугольников CA'/A'B=CB'/B'K; BC'/C'A=KB'/B'A. Тогда AB'/B'C*CA'/A'B*BC'/C'A= =AB'/CB'*CB'/KB'*KB'/AB'=1. Если записать тоже самое в векторах, то с учетом направленности вектора получим требуемое равенство.

Достаточность.

Пусть A', B', C' не лежат на одной прямой, но верно равенство (1). Тогда пусть A'B' пересекается  с AB в точке C". Тогда верно равенство (1) и для точек A', B', C". Но тогда при записи равенства один, сокращением на AB'/CB'*CA'/BA' (2), получаем, что BC"/AC"=BC'/AC'. Если записать все это в векторах, то получится равенство (2) с векторами. Отсюда C"=C', т. е. A', B', C' лежат на одной прямой.

Если точки A',B' и C' лежат соответственно на прямых BC,CA и AB треугольника , то они коллинеарны, тогда и только тогда когда

Проведем через точку С прямую, параллельую прямой AB, и обозначим через K точку пересечения этой прямой с прямой B'C'. Поскольку треугольники и подобны (по двум углам), то и, значит -

С тругой стороны, так как подобными являются также и треугольники и , то и, следовательно -

Но в таком случае

Остаётся заметить возможны два расположения точек A',B' и C', либо две из них лежат на соответствующих сторонах треугольник а одна на продолженни, либо все три лежат на продолжениях соответствующих сторон, отсюда для отношений направленных отрезков имеем ч. т. д.

Теорема. Если стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС пересекаются в одной и той же точках a, b,c, то между отрезками, определенными таким образом на сторонах, имеем соотношение:

Доказательство.

Чтобы это доказать, проведем через вершины треугольника до пересечения с трансверсалью (трансверсалью называется любая прямая, пересекающая стороны треугольника) три прямые, параллельные какому-нибудь одному и тому же направлению, на которых установим одно и то же положительное направление.

Пусть α, β, γ – расстояния вершин от трансверсали, считая по проведенным параллельным прямым; имеем

, , , откуда, перемножая, получим:

Если бы трансверсаль была параллельна стороне ВС, то точку а следовало бы рассматривать как лежащую в бесконечности, а отношение как равное 1. Искомое соотношение обратилось бы при этом в , т. е. в теорему о прямой, параллельной какой-либо стороне треугольника. Если бы две стороны АВ и АС треугольника сделались параллельными, то точка А лежала бы в бесконечности; написав выражение в виде , мы заменили бы через 1 и получили бы теорему о прямой, параллельной одной из сторон треугольника.

ч. т. д.

Обратная теорема. Если не сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС взяты три точки a, b, c, удовлетворяющие соотношению то эти три точки лежат на одной прямой.

Действительно, прямая ab пересекает сторону АВ в некоторой точке c' так, что имеет место равенство:

Это равенство при сравнении его с предыдущим, показывает, что и что, следовательно, точки с и с' совпадают.

Примечание. Эта теорема, в сущности, сводится к теореме о прямой параллельной какой-либо стороне треугольника. Действительно, можно найти такие три отрезка α, δ и γ (заданные по величине и по знаку), что имеют место равенства:

, , откуда в силу соотношения следует

Вследствие этого три попарно гомотетичные фигуры, в которых точки А, В и С будут тремя соответвенными точками и α, δ, γ – тремя соответственными отрезками, будут иметь точки a, b, c центрами подобия.

3. Теорема Фейербаха. Доказанная в 1822 году теорема Карла Вильгельма Фейербаха (1800–1834) утверждает, что окружность девяти точек (окружность, проходящая через середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами) касается вписанной окружности треугольника и трёх его вневписанных окружностей. Эта теорема — один из самых красивых фактов элементарной геометрии.

Теорема Фейербаха. Окружность Эйлера касается вписанной и вневписанных окружностей.

Доказательство.

Пусть центр вписанной окружности - I, центр вневписанной окружности, касающейся BC - I', точки их касания с BC - L' и L", середины сторон DABC - A', B', C'. GH - отрезок, симметричный отрезку BC относительно AI. Т. к. I, I' лежат на AI, BC - внутренняя касательная к этим 2-м окружностям, то GH тоже внутренняя касательная. Пусть GH∩A'B' - M, GH∩A'C' - N. Пусть GH∩BC=P, тогда P лежат на AI. Т. к. GH симметрична BC, то AG=AC, т. е. AI пересекает GC  в середине. A'B', как средняя линия пересекает CG в середине, т. е. AI, A'B', CG пересекаются в одной точке. Назовем ее K. Из св-в вневписанной и вписанной окружностей получаем CL'=BL"; L'L"=AB-AC (обозначим вершины так, чтобы AB>AC). A'L'=(AB-AC)/2=BG/2=A'K(ср. лин. ). DA'PK~DAPB, т. е. A'M/A'K=BG/BA; DA'CB'~DACB, т. е. BG/BA=A'K/A'B', т. е. A'M/A'K=A'K/A'B'. Отсюда A'M*A'B'=A'K2=A'L'2=A'L"2. Из этого соотношения A'M=(c-b)2/(2c). Т. к. c>b, то A'M

4. Птолемей (Птоломей) Клавдий, знаменитый греческий геометр, астроном и физик; жил в Александрии в первой пол. II в. Главный труд "Великое Собрание", более известный в арабск. переводе под назв. "Альмагест". В геометрии имя П. носит теорема о произведении диагоналей вписанного четырехугольника. В астрономии П. дана теория эпициклов для объяснения видимого движения небесн. светил вокруг неподвижной земли (Птолемеева система). Другие соч: "География", "Harmonicorum libri III" (учение о гармонии) вполне сохранились, и "Оптика" (часть и в арабском переводе; в ней содержится учение об отражении и преломлении света); также 3 книги о музыке, важный источник сведений о древней музыке.

Теорема. Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений противоположных сторон равнялась произведению его диагоналей.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть a=AB; b=BC; c=CD; d=DA; e=AC; f=BD, тогда, пользуясь соотношением Бретшнайдера(В любом четырехугольнике (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C), где e=AC;  f=BD; a=AB; b=BC; c=CD; d=DA, ÐBAC=ÐA; ÐBCD=ÐC. ), получаем: (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Т. к. ABCD вписан в окружность, то ÐA+ÐC=180o, т. е. cos(A+C)=-1, т. е. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. Отсюда (ef)2=(ac+bd)2, т. е. ef=ac+bd.

Достаточность.

ef=ac+bd, т. е. (ef)2=(ac)2+(bd)2+2abcd. По соотношению Бретшнайдера (ef)2=(ac)2+(bd)2-2abcdcos(A+C). Отсюда cos(A+C)=-1. Т. к. A+C<360o, то ÐA+ÐC=180o, т. е. ABCD вписан в окружность.

ч. т. д.

Теорема. Сумма произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника равна произведению их диагоналей.

Проведем СМ так, чтобыМСD=ВАС.

ΔАВС~ΔDМС

ΔАDС~ΔВСМ

Сложим полученные равенства АВ*DC+BC*AD=AC*DM+AC*BM ч. т. д.

5. Блез Паскаль родился в 1623 г. в провинциальном городке. Блез оказался одарённым блестящим умом. В 14 лет он начал посещать математический кружок (из которого впоследствии выросла Французская академия наук), а в 16 — уже написал работу о конических сечениях («теорема Паскаля»), названную коллегами «наиболее сильным и ценным вкладом в математическую науку со дней Архимеда».

Теорема. У вписанного в окружность шестиугольника точки пересечения противоположных (если они есть) лежат на прямой, называемой прямой Паскаля вписанного шестиугольника.

Доказательство.

Пусть наш шестиугольник - AB'CA'BC'. Пусть M=(AB')∩(A'B); P=(BC')∩(B'C); N=(CA')∩(C'A); X=(AB')∩(CA'); P=(BC')∩(CA'); N=(CA')∩(BC'). По свойству секущих XA*XB'=XC*XA' (1); YB*YC'=YC*YA' (2); ZB*ZC'=ZA*ZB' (3). По теореме Менелая к DXYZ и к тройкам точек (A; C'; N); (C; B'; P); (B; A'; M) получаем:

После перемножений данных выражений и применения формул (1); (2); (3) получаем, что:

Отсюда по теореме Менелая следует, что M, N, P коллинеарны.

Теорема. Во всяком шестиугольнике, вписанном в окружность, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой.

Доказательство.

Пусть ABCDEF – шестиугольник, противоположные стороны которого AB и DE пересекаются в точке L, стороны BC и EF – в М, стороны CD и FA – в N. рассмотрим треугольник IJK, образованный сторонами AB, CD, EF, другими словами, сторонами данного шестиугольника, взятыми через одну.

Точки L, М, и N расположены соответственно на сторонах JK, KI, IJ этого треугольника. Эти точки лежат на одной прямой, если имеет место соотношение:

Но, если мы пересечем последовательно треугольник IJK каждой из оставшихся сторон DE, BC, FA шестиугольника, мы получим соотношения:

Перемножив почленно эти три равенства, мы можем написать, группируя надлежащим образом множители числителя и знаменателя:

Но каждая из трех последних дробей, которые входят в левую часть, равна 1. Например, произведения CI*DI и EI*FI равны как произведения отрезков, отсеченных окружностью на секущих, выходящих из точки I. Таким образом, получается соотношение и теорема доказана.

Примечание. Предыдущее доказательство остается в силе, если точки A и B, C и D, E и F попарно совпадают и стороны треугольника IJK являются касательными к кругу.

При этом теорема принимает следующую форму: Касательные, проведенные через вершины треугольника, вписанного в круг, пересекают соответствующие стороны в трех точках, лежащих на одной прямой.

6. Жерар Дезарг родился в 1593 году (по другим источникам - в 1591г. ). Паскаль называл его старшим свом современником и именно под влиянием работ Дезарга занялся проективной геометрией. В эпоху, когда не существовало еще научных журналов, активность таких математиков как Дезарг находила свое выражение в переписке ученых и деятельности дискуссионных кружков. Он состоял в переписке c Мареном Мерсенном, Декартом, Ферма, Паскалем и многими другими учеными. Из дискуссионных кружков ученых вырастали академии. Свою "теорему Дезарга" о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 году. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии. Так, Виктора Понселе, ученика Гаспара Монжа, директора Политехнической школы в Париже, в 1813 году привлекла система представлений, которую на два столетия раньше создавал Дезарг.  Научные труды Дезарга легли в основу проективной геометрии. Проективно - геометрические идеи Дезарга привлекли интересы ряда ученых.

Теорема. Треугольники А1В1С1 и А2В2С2 расположены на плоскости так, что прямые А1А2, В1В2 и С1С2 имеют общую точку О. Пусть А – точка пересечения прямых В1С1 и В2С2, В – точка пересечения прямых А1С1 и А2С2, С – точка пересечения прямых А1В1 и А2В2. Тогда точки А, В, и С лежат на одной прямой.

Доказательство.

Применим теорему Менелая к треугольнику ОВ1С1 и прямой АВ2С2.

Аналогично для треугольников ОС1А1 и ОА1В1, пересекаемых прямыми ВС2А2 и СА2В2 соответственно.

Перемножив, после сокращений получим

Точки А, В и С лежат на сторонах или продолжениях сторон треугольника А1В1С1 и по теореме Менелая лежат на одной прямой.

Для того, чтобы доказать теорему Дезарга следующим способом надо вспомнить три пространственные аксиомы:

1. Две плоскости определяют одну и только одну прямую; три плоскости, не проходящие через одну прямую, определяют одну и только одну точку.

2. Две пересекающиеся прямые определяют одну и только одну точку и одну и только одну плоскость.

3. Две точки определяют одну и только одну прямую. Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют одну и только одну плоскость.

Эта система аксиом остается неизменной, если обменять местами слова «точка» и «плоскость» (при этом первая аксиома поменяется местами с третьей, а вторая останется неизменной).

Теорема. Пусть даны в пространстве два треугольника АВС и А'B'C'. Пусть эти треугольники расположены так, что прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке О. Тогда, во-первых, три пары соответствующих сторон треугольников пересекаются в трех точках R, S, T и, во-вторых, эти три точки лежат на одной прямой.

Доказательство.

Первая часть этой теоремы доказывается весьма просто. Две пересекающиеся прямые АА' и ВВ' определяют согласно второй пространственной аксиоме некоторую плоскость. Но в этой плоскости расположены также прямые АВ и А'В' так, что согласно второй плоскостной аксиоме они пересекаются в некоторой точке R. Остается неопределенным, лежит ли точка R в конечной части пространства или в бесконечности. Существование двух других точек пересечения S и T можно доказать таким же образом.

Вторую часть теоремы легко установить в том случае, когда треугольники расположены в различных плоскостях. Тогда эти плоскости определяют одну – конечную или бесконечно удаленную – прямую пересечения (по первой пространственной аксиоме). Из каждой пары соответствующих сторон треугольника: одна расположена в одной плоскости, другая – в другой. А так как обе стороны пересекаются, то точка их пересечения должна лежать на прямой, принадлежащей обеим плоскостям. Таким образом мы доказали теорему Дезарга для общего случая.

Однако особенно важен как раз тот частный случай, когда оба треугольника лежат в одной плоскости. В этом случае доказательство можно провести при помощи проектирования в пространстве, подобно тому как доказывалась теорема Брианшона. Нам следует только доказать, что всякая плоская дезаргова фигура может быть представлена как проекция некоторой пространственной дезорговой фигуры. Для этой цели соединим все точки и прямые плоской дезарговой фигуры с некоторой точкой S, лежащей вне плоскости фигуры. Далее проведем через прямую АС плоскость; пусть эта плоскость пересекается с прямой ВS в точке В0, отличной от точки S. Затем проведем прямую ОВ0. Эта прямая лежит в одной плоскости с прямой В'S, и таким образом обе прямые пересекаются в точке В0'. Но тогда треугольники АВ0С и А'В0'С' образуют пространственную дезаргову фигуру, так как прямые, соединяющие соответствующие вершины, проходят чрез точку О. Линия пересечения плоскостей обоих треугольников изображается при проектировании из точки S в виде прямой на плоскости проекций, причем точки пересечения соответствующих пар сторон рассмотренных первоначально треугольников АВС и А'В'С' должны лежать на этой прямой. Теорема Дезарга доказана полностью.

7. Папп Александрийский греческий геометр. Жил в конце III в. после Рождества Христова, стоял во главе философской школы, о которой, кроме факта ее существования, нет других сведений. Из не дошедших до нас сочинений Паппа известны по имени, а иногда и по некоторым сведениям о содержании: "Замечания" или комментарий на Альмагест Птолемея, комментарий к "Аналемме" Диодора и комментарий к "Элементам" Эвклида. Важнейшим из сочинений Паппа является известное под именем "Собрания" (συναγωγή), излагающее содержание тех математических сочинений, которые особенно ценились современниками.

Теорема. Если на одной прямой взяты точки A1, B1, C1, а на другой - точки A2, B2, C2, то прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в трех коллинеарных точках.

Доказательство.

Пусть прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C, A, B соответственно, а прямые A1B2 и A2C1, B1C2 и B2A1, C1A2 и C2B1 пересекаются в точках A0, B0, C0 соответственно. Теперь применим теорему Менелая к следующим пяти тройкам точек: (A, B2, C1), (B, C2, A1), (C, A2, B1), (A1, B1, C1) и (A2, B2, C2). В результате получим:

После перемножения пяти данных равенств получим   , т. е. точки A, B и C коллинеарны.

ч. т. д.

8. Гаусс Карл Фридрих (1777-1855). С именем К. Ф. Гаусса связаны многие замечательные страницы в истории математики. Он дал доказательство основной теоремы алгебры (всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корень). Гаусс создал теорию поверхностей. До него были изучены геометрии только на двух поверхностях: на плоскости (планиметрия Евклида) и на сфере (сферическая геометрия). Гаусс нашел способ построения геометрии на любой поверхности, определил, какие линии играют на поверхности роль прямых, как мерить расстояния между точками на поверхности и т. д. Теория Гаусса получила название внутренней геометрии. Он не опубликовал своих работ по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Эти результаты были открыты заново его младшими современниками: русским математиком Я. И. Лобачевским и венгерским математиком Я. Больяй в первом случае и норвежским математиком Г. X. Абелем и немецким математиком К. Г. Якоби во втором.

Теорема. Для того, чтобы три точки, лежащие на прямых, содержащих стороны треугольника BC, CA, AB (A', B', C' соответственно) были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы середины отрезков AA', BB', CC' были бы коллинеарными.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть M, N, P – середины соответственно AA', BB', CC' соответственно, A", B", C" – середины BC, CA, AB соответственно. По свойству средней линии PAB; MBC; NCA. Также по свойству средних линий имеем:  (1).

По теореме Менелая. Пользуясь (1), получаем, что , откуда A", B", C" коллинеарны по теореме Менелая.

Достаточность.

Пусть A", B", C" коллинеарны, тогда по т. Менелая   (2). По свойству средних линий имеем:  (3). По (2) и (3) получаем, что , т. е. по теореме Менелая A', B', C' коллинеарны.

Изучая данную тему я пришла к заключению, что данные теоремы в основном рассматривают геометрию треугольника. И многие имена остались в истории математики только благодаря этим теоремам. Геометрия треугольника – это основа всей планиметрии. Теоремы сложны в доказательствах и восприятии, но на основе этих теорем доказываются многие теоремы школьного курса планиметрии и решаются практические задачи.