Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Что такое вектор

Векторный метод является одним из важнейших математических методов. Он занял прочное место и в школьном курсе геометрии. Векторный метод эффективен, во-первых, при доказательстве параллельности прямых и отрезков; во-вторых, при делении отрезка данной точкой в заданном соотношении; в-третьих, при выяснении принадлежности трех точек одной прямой; в-четвертых, при доказательстве зависимостей между длинами отрезков, наконец, при нахождении величины углы.

Векторный метод применяется не только в математике, но и в физике. Многие физические величины в физике, например сила, перемещение, скорость, являются векторными величинами. При изучении электрических и магнитных явлений появляются новые примеры векторных величин. Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. Электрический ток, т. е. направленное движение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. Магнитная индукция также на рисунке изображается в виде вектора.

В математике в настоящее время на векторной основе излагаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрии. Впервые в школе с понятием вектора учащиеся встречаются в курсе физики. Лишь при изучении тригонометрических функций в традиционном курсе школьной математике раньше использовалось понятие вектора. Поэтому у учащихся обычно складывалось неправильное представление о том, что вектор-понятие физическое. Между тем вектор - чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач этих наук.

II. История.

Под векторной величиной или вектором (в широком смысле слова) понимают величину, обладающую направлением, как, например, сила, скорость, ускорение и т. д.

Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков в XIX веке в связи с потребностями механики и физики. Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например:√2, √5), не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н. э. ), а позднее «геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном, а труде Евклида «Начала», сложения и вычитания сводились к сложению и вычитанию отрезков, а умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

Впоследствии в XVI-XVII вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.

Однако геометрические исчисления сыграли значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложения сил, приходит к выводу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующий под углом 90˚, необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу.

Значительно позже французский математик Луи Пуансо (1777-1859) в книге «Элементы статики», вышедшей в 1803 г. , разрабатывает теорию векторов, которой пользуется при рассмотрении сил, действующих в различных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий.

Продолжительное время вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а другой - его концом. С разработкой теории преобразований вектор стали рассматривать не только как направленный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный парой точек - точкой О и ее образом О₁.

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях над векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями.

III. Понятие вектора.

Определение.

Вектор - отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой.

Обозначение: или

Любая точка пространства является также вектором. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец такого вектора совпадают.

. С Обозначение: или

Любой вектор характеризуется двумя величинами:

1) Направление;

2) Длина.

Определение.

Длина вектора - длина соответствующего отрезка.

Обозначение: ,

Векторы

Коллинеарные Неколлинеарные

Сонаправленные Противоположно направленные

Определение.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат, либо на одной, либо на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

а а и в - коллинеарные

Определение.

Сонаправленные векторы - это ненулевые векторы,

1) лежащие на параллельных прямых, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проходящей через начала векторов, и

2) лежащие на одной прямой, если они направлены в одну сторону.

Нулевой вектор является сонаправленным с любым вектором.

Обозначение:

Определение.

Противоположно направленные векторы - это ненулевые векторы,

1) лежащие на параллельных прямых, если их концы лежат по разные стороны от прямой, проходящей через начала векторов, и

2) на одной прямой, если они направлены в разные стороны.

Обозначение:

Определение.

Равными называются векторы, которые сонаправлены и длины их равны.

, если: 1) ; 2)

Откладывание вектора от данной точки.

Если точка А - начало вектора а, то говорят, что вектор отложен от точки А.

отложен от точки А

Теорема.

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

IV. Действия над векторами.

1. Сложение.

Пусть материальная точка переместилась из точки О в точку А, а затем из точки А в точку В. В результате этих двух перемещений , которые можно представить векторами и , материальная точка переместилась из точки О в точку В. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором. Поскольку перемещение из точки О в точку В складывается из перемещения из О в А и перемещения из А и В, то вектор естественно назвать суммой векторов и : + =

1 способ «Правило треугольника»

Алгоритм.

1) Отметить точку.

2) Отложить от данной точки вектор равный первому.

3) От конца построенного вектора отложить вектор равный второму.

4) Вектор суммы будет направлен от начальной точки к конечной.

Сложение коллинеарных векторов.

2 способ «Правило параллелограмма»

Алгоритм.

1) Отметить точку.

2) Отложить от данной точки оба вектора.

3) Достроить рисунок до параллелограмма.

4) Вектор суммы будет направлен из данной точки к противоположенной вершине.

Сумма нескольких векторов.

Из законов сложения векторов следует, что для нахождения суммы нескольких векторов векторы откладывают последовательно друг за другом причем сумма не зависит от того в каком порядке они складываются.

Пример.

«Правило многоугольника»

Если А, А1, А2, А3,. Аn - произвольные точки, то.

Законы сложения векторов.

2) (переместительное)

3) (сочетательный)

2. Вычитание.

Определение.

Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме c вектором дает вектор.

Построение вектора разности.

1 способ (по определению)

Алгоритм:

1)Отложить точку.

2)Отложить от этой точки оба вектора.

3)Вектор разности соединяет концы полученных векторов и направлен к тому вектору от которого отнимают.

Определение.

Вектором противоположным вектору называется вектор противоположно направленный вектору и имеющий равную с ним длину.

- противоположный вектору , если: 1) ; 2)

Обозначение:

- противоположный вектору вектору - противоположный вектор или

Теорема

Для любых векторов и выполняется равенство

2 способ( по теореме1)

Алгоритм.

1) Построить вектор противоположный тому, который вычитают.

2) Выполнить сложение по любому правилу.

3. Умножение вектора на число.

Определение.

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при 0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Из определения произведения вектора на число следует, что для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны.

Из этого определения следует также, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Теорема.

Если векторы и коллинеарны и , то существует такое число k, что.

и коллинеарны

Доказать: существует такое число k, что.

Доказательство.

Возможны два случая: и.

Случай 1.

1. Возьмем число.

2. Так как k 0, то векторы и сонаправлены, а значит, и сонаправлены.

4. Получили , и сонаправлены, значит,

Случай 2.

1. Возьмем число.

2. Так как k < 0, то то векторы и противоположно направлены, а значит, и сонаправлены.

4. Получили , и сонаправлены, значит,

Доказано.

Верно и наоборот: Если , то векторы и коллинеарны.

4. Скалярное произведение векторов.

Углом между двумя ненулевыми векторами и называется угол между векторами, равными данным и имеющим общее начало.

Например:

Пусть и данные векторы. Отложим от произвольной точки В векторы и. Если векторы и не являются сонаправленными, то лучи ВА и ВС образуют АВС. Градусную меру этого угла обозначим буквой и будем говорить, что угол между векторами и равен.

Ясно, что не зависит от выбора точки В, от которой откладываются векторы и. Если векторы и сонаправлены, то угол между векторами и равен 00.

Если векторы и противоположно направлены, то угол между векторами и равен 1800.

Если угол между векторами и равен 900, то векторы и называются перпендикулярными.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Обозначение: , где - угол между и.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение таких векторов принимается равным нулю.

Свойства скалярного произведения.

1. (коммуникативность).

2. (дистрибутивность).

3. , т. е. числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

4. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Из этого свойства вытекает справедливость следующей теоремы: для того, чтобы два нулевых вектора и были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю.

5. Выражение обозначают и называют скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

6. Косинус угла между нулевыми векторами а и в равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение числовых значений длин векторов, т. е.

V. Применение векторов к доказательству теорем

Средней линией треугольника называется отрезок , соединяющий середины двух его сторон.

Теорема 1. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

MN-средняя линия

Доказать:

2)MN= АС

Доказательство:

1. Пусть

2. Тогда по определению

4. М – середина АВ, тогда и , значит

5. N – середина BC, тогда и , значит

6. Получаем, , следовательно,

7. , а это означает, что и

Доказано.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины его боковых сторон.

Теорема 2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

ABCD – трапеция

MN- средняя линия

Доказать:

Доказательство.

1. По правилу многоугольника или , сложим эти равенства почленно и получим:

2. М – середина АВ, тогда и , значит , следовательно,

3. N – середина CD, тогда и , значит , следовательно,

4. Следовательно, получаем, что , тогда

5. Так как векторы и сонаправлены, то векторы и также сонаправлены

6. Так как векторы и сонаправлены, то

7. Таким образом получили, что MN AD и MN=.

Доказано.

Теорема 3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

АВСD – параллелограмм

Доказать:

Доказательство.

1. Пусть ( │АВ│=│CD│= a; │AD│=│BC│= b).

2. По определению суммы и разности векторов получим и

3. По свойству скалярного квадрата вектора, получим:

4. Так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, то получим , отсюда и получаем, что

Доказано.

Теорема 4. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

ABCD – ромб

Доказать:

Доказательство.

1. Пусть

2. Из определения ромба следует, что

3. По определению суммы и разности векторов получим и

4. Рассмотрим скалярное произведение векторов и , по свойствам скалярного произведения, получим

5. Так как стороны ромба равны, то a = b, тогда , следовательно, ACDB

Доказано.

Теорема 5. Диагонали прямоугольника равны между собой.

ABCD – прямоугольник

Доказать:

АС = BD

Доказательство.

1. Пусть

2. По определению суммы и разности векторов получим и

3. Найдем квадраты диагоналей, используя свойство скалярного произведения: ,

4. Так как дан прямоугольник, то , а значит, , следовательно, получим, что ,

5. Так как , , то , тогда , а значит АС = BD.

Доказано.

VI. Основные соотношения.

1 основное соотношение.

Если точка С - середина отрезка АВ, а О - произвольная точка пространства, то выполняется следующее равенство:

Дано: отрезок АВ

С – середина АВ (АС=СВ)

Доказать:

Доказательство:

1) По правилу треугольника , в тоже время

2) Сложим, почленно, эти равенства, получим

3) С – середина АВ, тогда и , значит , следовательно,

4) Получаем , тогда

Доказано.

Пусть АВ – отрезок и С – его внутренняя точка. Тогда число называется отношением, в котором точка С делит отрезок АВ.

2 основное соотношение.

Пусть С – точка, делящая отрезок АВ в отношении , О – произвольная точка плоскости. Тогда.

Дано: отрезок АВ

Доказать:.

Доказательство:

1. Так как , то

3. , тогда

4. Так как , то , следовательно,

5. , откуда получаем, , значит,

Доказано.

3 основное соотношение. Пусть точки А, В, С и О – произвольные точки плоскости.

Точка С тогда и только тогда принадлежит прямой АВ, когда существует число такое, что

А, В, С и О – произвольные точки

, где - некоторое число

Доказать:

Доказательство.

1) , раскроем скобки, получим , отсюда

2) По определению разности векторов , , тогда

3) Так как , то векторы и коллинеарны, а это возможно тогда и только тогда, когда векторы и параллельны одной и той же прямой, то есть когда точка С лежит на прямой АВ.

Доказано.

4 основное соотношение. Если М – точка пересечения медиан треугольника АВС и

О – произвольная точка плоскости, то выполняется равенство:.

∆АВС точка О

М – точка пересечения медиан

Доказать:

Доказательство.

1) Так как М – точка пересечения медиан, то АМ = 2МА1 (АА1 – медиана), то есть

2) По 2 основному соотношению получим, что

3) По 1 основному соотношению получим, что

4) Получаем,

Доказано.

VII. Задачи.

Задача 1.

В треугольнике KLM на стороне KL взята точка A так, что , на стороне LM взята точка В так, что. Пусть С - точка пересечения прямых КВ и МА. Известно, что площадь треугольника KLС равна 2. Найти площадь треугольника KLM.

KB MA=C,

Найти: SKLM

Решение:

1) Пусть SKLB=S.

2) ∆KLM и ∆KLB будут иметь общую высоту, проведенную из точки K к LM. Значит,.

3) , LB+BM=LM , тогда , значит , тогда или

4) Введем векторы и. На основании 2 соотношения получим

5) Пусть , где 0

6) Пусть , тогда из ∆AKM по 2 соотношению получим

7) В силу единственности разложения вектора по двум неколлинеарным векторам получаем систему

Сложим по частям уравнения последней системы, получаем или

8) Так как ∆KLB и ∆KLC имеют общую высоту, то их площади относятся как основания, т. е.

9) Так как , то KC=KB, следовательно, , а значит, , тогда

10) По условию SKLC=2, тогда SKLМ=4

Ответ: SKLМ=4

Задача 2.

Доказать, что, если точка А пересечения диагоналей четырехугольника MNPQ и середины В, С его противоположных сторон MN и PQ лежат на одной прямой, то MNPQ-трапеция или параллелограмм.

MNPQ – параллелограмм

PM QN=A,

В и C лежат на одной прямой.

Доказать:

MNPQ-трапеция или параллелограмм

Доказательство.

1) Пусть

2) Так как точки A, M, P лежат на одной прямой, то и - коллинеарны, следовательно,

3) Так как точки A, N, Q лежат на одной прямой, то и - коллинеарны, следовательно,

4) Так как В-середина отрезка MN, то (по 1 соотношению)

5) Так как С-середина отрезка QC, то (по 1 соотношению)

6) , , , тогда

7) По условию точки А, В, С лежат на одной прямой, и потому существует такое число m, что , то есть.

8) и , тогда , , в силу коллинеарности векторов и получим, что m=k=l.

9) , , следовательно, , значит, прямые PQ и MN коллинеарны, причем MN и PQ не совпадают, тогда MN PQ, то есть MNPQ- трапеция или параллелограмм.

Доказано.

Задача 3.

На стороне ON параллелограмма AMNO и на его диагонали OM взяты такие точки B и C, что OB= ON, OC= OM. Доказать, что А,В и С лежат на одной прямой.

AMNO –параллелограмм,

OC= OM

Доказать:

А,В и С лежат на одной прямой.

Доказательство.

1. Пусть

2. OB= ON и , тогда

3. OС= OM и , тогда

7. , упрощаем, получаем , следовательно, и коллинеарны, значит, прямые AC и AB параллельны или совпадают, но так как АС и АВ имеют общую точку А, то АВ и АС не могут быть параллельными, тогда АВ и АС совпадают, а это значит, точки А, В и С лежат на одной прямой.

Доказано.

Задача 4.

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.

ABCD-трапеция

Доказать:

Доказательство.

По правилу многоугольника получим , в тоже время , сложим эти равенства и получим

Точка М – середина АС, тогда МА = МС и , следовательно, , значит,

Точка N – середина BD, тогда BN = ND и , следовательно, , значит,

Получаем, , значит,

Так как ABCD-трапеция, то и - коллинеарны, следовательно, им коллинеарен и вектор , а значит, MN AD, MN BC и MN=.

Доказано.

Задача 5.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположенных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.

ABCD - четырехугольник

M,N, K, E-середины сторон AВ,ВС,CD и DA.

Доказать:

MK NE = О

О – середина MK и NE

Доказательство.

1) Рассмотрим

2) Точка М – середина АВ, тогда АВ= МВ и , следовательно,

3) Точка K – середина CD, тогда CK=KC и , следовательно,

4) Точка N – середина BC, тогда BN= NC и , следовательно,

5) Точка E – середина AD, тогда AE= ED и , следовательно,

8) и , значит, , следовательно, MN=EK. MN=EK, т. е. MN EK и MN = EK,значит MNEK-параллелограмм по признаку.

9) По свойству параллелограмма MK иNE пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказано.

Задача 6.

Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

ABCD- трапеция

M и N- середины BC и AD,

AB CD= O.

Доказать:

О - лежит на прямой MN.

Доказательство.

1. ∆OAD и ∆OBC подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

2. Так как и , то

3. Точка М- середина отрезка BC, поэтому по 1 соотношению

4. Точка N- середина отрезка AD, поэтому по 1 соотношению

5. Так как , то , следовательно,

6. , отсюда следует, что векторы и коллинеарны, а значит, прямые ON и OM параллельны или совпадают, но так как они имеют общую точку О, то точка О лежит на прямой MN.

Доказано.

VIII. Заключение

Данный реферат по геометрии является учебным пособием по теме: «Векторы на плоскости», т. к. в нем собран и обобщен материал из учебника для общеобразовательных школ и из дополнительных источников. Работа содержит теоретический материал курса геометрии 8-9 классов и задачи. Также качеством своей работы я считаю то, что в ней собраны примеры задач, при решении которых очень облегчает работу именно использование векторов.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)