Что такое линейная функция

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх + b, где х – независимая переменная, k и b некоторые числа.

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.

При построении графика линейной функции часто удобно в качестве одной из точек брать точку с абсциссой 0.

При k = 0 формула у = kх + b, которой задается линейная функция, имеет вид у = 0х + b, т. е. у = b.

Линейная функция, задаваемая формулой у = b, принимает одно и то же значение при любом

Если k0, то линейная функция возрастает, если k0, то – убывает.

ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где х- независимая переменная, k – не равное нулю число. Число k называется коэффициентом.

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции, так как формула у = kх получается из формулы у = kх + b при b = 0.

Значит графиком прямой пропорциональности является прямая.

Эта прямая проходит через начало координат, так как при х = 0 значение у равно 0.

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начало координат прямую.

Расположение графика функции у = kх в координатной плоскости зависит от коэффициента k.

При k0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k0 – во второй и четвертой.

ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = , где х – независимая переменная и k – не равное нулю число.

Областью определения функции у = является множество всех чисел, отличных от нуля.

Это следует из того, что выражение имеет смысл при всех х0.

Так как число 0 не входит в область определения функции, то на графике нет точки с абсциссой 0, т. е. график не пересекает ось у.

Так как ни при каком х значение у не равно нулю, то график не пересекает ось х.

Положительным значениям х соответствуют положительные значения у. Чем больше положительное значение х, тем меньше соответствующее значение у.

Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой.

Гипербола состоит из двух ветвей.

При k0 одна из них расположена в первой координатной четверти, а другая – в третьей.

При k0 одна ветвь расположена во второй, а другая в четвертой координатной четверти.

ФУНКЦИЯ у = х2

График функции у = х2 называют параболой.

Для построения графика функции у = х2 необходимо знать свойства данной функции.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ У = Х2

1. Если х = 0, то у = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если х 0, то у0.

Все точки графика функции, кроме точки (0;0), расположены выше оси х.

3. Противоположным значениям х соответствует одно и тоже значение у.

Точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси у.

ФУНКЦИЯ у = х3

График функции у = х3 называют кубической параболой.

Для построения графика функции у = х3 необходимо знать свойства данной функции.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ У = Х3

1. Если х = 0, то у = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если х0, то у0; если х, то у.

Значит график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

3. Противоположным значениям х соответствуют противоположные значения у.

Точки графика, имеющие противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат.

ФУНКЦИЯ у =

Так как выражение имеет смысл при х0, то областью определения функции у = служит множество неотрицательных чисел.

График функции у = , где х0, представляет собой ветвь параболы.

Для построения графика функции у = необходимо знать свойства данной функции.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у =

1. Если х = 0, то у = 0.

Начало координат принадлежит графику функции.

2. Если х0, то у0.

График расположен в первой координатной четверти.

3. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. График функции идет вверх.

ФУНКЦИЯ y = aх2

Данная функция представляет частный случай квадратичной функции у = ах2 + bх + с.

При а = 1 формула y = aх2 принимает вид y = х2. С этой функцией мы уже встречались.

График функции у = aх2 можно получить из графика функции y = х2 растяжением от оси х в а раз, если а, и сжатием к оси х в раз, если 0.

График функции у = aх2 , где а как и график функции у = х2 , называют параболой.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у = ах2 при а 0

1. Если х=0, то у=0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если х0, то у0.

График расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График симметричен относительно оси у.

4. Функция убывает в промежутке (-; 0] и возрастает в промежутке [0; +).

5. Наименьшее значение равно нулю, функция принимает при х=0.

Наибольшего значения функция не имеет.

6. Областью определения функции является промежуток (-; +).

7. Область значений функции является промежуток [0; +).

Из перечисленных свойств следует, что при а 0 ветви параболы направлены вверх. Ось у является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы

ФУНКЦИЯ у = aх2 при а0

График функции у = - aх2 (при а) может быть получен из графика функции у = aх2 с помощью симметрии относительно оси х.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у = ах2 при а 0

1. Если х=0, то у=0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если х0, то у0.

График расположен в нижней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График симметричен относительно оси у.

4. Функция возрастает в промежутке (-; 0] и убывает в промежутке

[0; +).

5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при х=0.

Наименьшего значения функция не имеет.

6. Областью определения функции является промежуток (-; +).

7. Область значений функции является промежуток (-; 0].

Из перечисленных свойств следует, что при а 0 ветви параболы направлены вниз. Ось у является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с её осью симметрии называют вершиной параболы.

ФУНКЦИЯ у = aх2 + n

Данная функция представляет частный случай квадратичной функции у = ах2 + bх + с.

Вообще график функции у = aх2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = aх2 с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n, или на – n единиц вниз, если n.

ФУНКЦИЯ у = a(х – m)2

Данная функция представляет частный случай квадратичной функции у = ах2 + bх + с.

Вообще график функции у = a(х – m)2 является параболой, которую можно получить из графика функции у = aх2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если m, или на – m единиц влево, если m.

ФУНКЦИЯ у = a(х – m)2 + n

Данная функция представляет частный случай квадратичной функции у = ах2 + bх + с.

Вообще график функции у = a(х – m)2+n является параболой, которую можно получить из графика функции у = aх2 с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на m единиц вправо, если m, или на – m единиц влево, если m, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n, или на – n единиц вниз, если n.

Параллельные переносы можно производить в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси х, а затем вдоль оси у или наоборот.

ФУНКЦИЯ у = ах2 + bх + с

График функции у = ах2 + bх + с есть парабола, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

Значит графиком функции у = ах2 + bх + с есть парабола, вершиной которой является точка (m;n), где m = - , n =.

Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси у.

при а0 ветви параболы направлены вверх, при а0 – вниз.

Чтобы построить график квадратичной функции нужно:

1. найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2. построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3. соединить отмеченные точки плавной линией.