Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Теоретические основы решения уравнений, содержащих параметр

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, , k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y, z. Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если: а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров; б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. «Словарь иностранных слов».

Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла, рассматривать их как задачи исследовательские.

Задачи с параметрами традиционно и заслуженно считаются наиболее трудными: а) нехватка времени на них школьной программе; б) исследовательский характер; в) умение решать классические задачи без параметра, умение всесторонне исследовать квадратный трехчлен.

Основные типы задач для уравнений с параметром.

I. Решить уравнение f (x, a) = 0 при всех а: а) найти все значения переменной а, при которых уравнение имеет решение; б) найти эти решения при каждом таком а; в) в ответе указать, что при остальных значениях а, задача не имеет решений.

II. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет решение.

Задача требует исследования, а не формального применения формул

III. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет одно (единственное) решение, ровно два или сколько-нибудь еще.

Например:

Задача:

В 7, 8, 9 кл. учится 105 учащихся. В 8 кл. на n больше, чем в 7 кл. , а в 9 кл. на 3 меньше, чем в 7 кл. Сколько учащихся в каждом классе, если в каждом их не менее 30 человек,

7 кл. х x + x + n + x – 3 = 105

8 кл. х + n 3x = 108 – n

9 кл. x – 3 x – неизвестное число; n – известное, натуральное число, параметр.

3x = 108 – n x = 108-n/3=36-n/3, т. е.

3 7 кл. 36 – n/3

8 кл. 36 – n/3 + n = 36 + 2n/3

9 кл. 36 –n/3 - 3 = 33 –n/3.

Исходя из условия задачи меньшее количество учащихся в 9 кл. , и т. к. не менее 30, то решим неравенство: 33 –n/3≥30 n/3 ≥ 3 n ≤ 9 т. к. количество учащихся в каждом классе это натуральное число, значит n – кратно 3. Учитывая оба условия n ≤ 9 и n кратно 3 можно сделать вывод n = 3; 6; 9.

n = 3n = 6n = 9

7 кл. 36 –n/3, т. е. 36 – 3/3 = 35; 36 – 6/3 = 34; 36 –9/3 = 33

8 кл. 36 +2n/3, т. е. 36 +6/3 = 38; 36 +12/3 = 40; 36 +18/3 = 42

9 кл. 33 –n/3, т. е. 33 –3/3 = 32; 33 –6/3 = 31; 33 –9/3 = 30

Итак, возможны 3 варианта ответа: в 7, 8, 9 классах могло быть соответственно 35; 38; 32 или 34; 40; 31 или 33; 42; 30 учащихся.

Рассмотрим самые простые уравнения с параметром, которые сводятся к решению линейного или квадратного уравнения: f (x, a) = 0, т. е. линейное уравнение ax = 0 f (x; a; b; c) = 0, т. е. квадратное уравнение ax² + bx + c.

4 Решение квадратных уравнений с параметром

При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения.

1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта.

D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней).

2. Если D > 0 то аx² + вx + с = а (x – x1) (x – x2)

3. Если D > 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного ax² + вx + с = а (x – x1)²

4. Если уравнение приведенное то x1 + x2 = – р, аx1 • x2 = q

5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня а) в < 0, с > 0 оба корня положительны б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль.

г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль.

Пример 1.

При каких значениях параметра а уравнение аx (аx + 3) + 6 = x (аx – 6) является а) квадратным б) неполным квадратным в) линейным

Преобразуем: а²x² + 3 аx + 6 = аx² – 6x а²x² – аx² + 3 аx + 6x + 6 = 0 а (а – 1)x² + 3 (а + 2)x + 6 = 0 а) уравнение квадратное, если старший коэффициент ≠ 0 а (а – 1) ≠0 а ≠ 0, а ≠1 т. е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1 б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0.

3 (а + 2) = 0 а = – 2 в) линейное, если коэффициент при x² равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2

Ответ: при а ≠ 0; 2 уравнение квадратное при а = – 2 неполное квадратное при а = 0,2 линейное.

5 Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax²+bx+c, где a≠0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 ветви направлены вверх.

Выражение x²+px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b²- 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена: при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена); при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена); при D<0 точек пересечения с осью Ох нет (и корней трехчлена нет).

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а<0- целиком ниже оси Ох.

Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимым условием успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Рассмотрим некоторые свойства квадратного трехчлена.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета.

Между корнями квадратного трехчлена ax²+bx+c и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения : x1+x2= -b/a, x1•x2= c/a.

Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x²+px+q : x1+x2= -p, x1•x2= q.

Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2= -p, x1•x2=q, то x1 и x2 – корни приведенного квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений: D=b²-4ac0; x1•x2=c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие : x1+x2= -b/a>0 , а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a<0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и остаточно выполнения соотношения x1•x2=c/a<0.

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a<0 будет выполняться и условие c•a<0, а это значит, что дискриминант D=b²-4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена.

Рассмотрим теперь особенности расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки : при каких значениях параметра корни ( только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами p и q и т. д. ; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

Сформулируем данные утверждения в удобной для решения форме.

Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена f(x)= ax2+bx +c, причем х1< x2 , D=b2-4ac≥0 , а≠0 и даны А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда:

Теорема 1. Оба корня меньше числа А, то есть х1<А, х2<А тогда и только тогда, когда а>0 (1) а<0 (4) х0 = -b/2a < A (2) или х0 = - b/2a 0 (3) f(A) < 0 (6)

Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему : x0= -b/2a < A, a∙ f(A) >0.

Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х1<А<х2 тогда и только тогда, когда а>0 или a<0 f(A) <0 f(A) >0

Запишем условия данных систем одним неравенством : a∙f(A) <0.

Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х1>А и х2>А тогда и только тогда, когда а>0 (1) a<0 (4) х0 >А (2) или x0 >A (5) f(A) >0 (3) f(A)<0 (6)

Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим: х0 >А, а∙f(A) >0.

Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А<х1<В и А<х2<В тогда и только тогда, когда a>0 (1) a<0 (5)

A0 (3) f(A)<0 (7) f(b) >0 (4) f(B)<0 (8)

Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим

А<х0<В, a∙f(A)>0, a∙f(B)>0.

Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х1<А<В<х2 тогда и только тогда, когда а>0 a<0 f(A)<0 или f(A)>0 f(B)<0 f(B)>0

Упростив данные системы, получим: a∙f(A)<0, a∙f(B)<0.

Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена и теорем о расположении корней квадратного трехчлена.

Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х2+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1(о знаках корней квадратного трехчлена). Составим систему :

D= (a+1)2- 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0, x1∙x2=9>0, <=> a< -1.

-2∙(a+1)>0.

Решив последнюю систему, получим , что -∞

Ответ:- ∞

Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х + (4-а2)=0 имеет два корня разных знаков?

Решение. Воспользуемся теоремой 2 ( о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а2 <0 а2 > 0

│а│> 2 => а< -2 и а> 2.

Ответ: а<-2 и а>2.

Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х2 – 2ах + а2 – а- 6 =0 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D>0 , а+6>0, x0<0 , a<0, f(0)>0 ; a2-a-6>0.

Решив последнюю систему, получим -6

Ответ : -6

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.

Решение. Пусть х1 и х2 корни квадратного трехчлена, причем х1<2<х2. Воспользуемся теоремой 2

(о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D= 16a2 +48a +13 >0,

F(2)= 22 + (4a+5)∙2 +3- 2a<0.

Решив систему, получим 17+6а<0 или а < -17/6.

Ответ: а< -17/ 6.

Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения 4х2 – 2х + а =0 находятся между числами -1 и 1?

Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1, то -1<х1<1 и -1<х2<1. Воспользуемся теоремой 4 (о знаках корней квадратного трехчлена) и составим систему :

-1< х0= 2/4< 1, 6 + а >0 ,

4∙(4+2+а)>0, => 2 + а >0 ,

4∙(4 -2+а)>0, 4 – 16а>0;

D=(-2)2 - 4∙4а >0;

Решив систему, получим -2< а < ¼.

Ответ: -2< а < ¼.

Задачи.

Решить уравнение x2 – bx + 4 = 0 D = b2 – 16.

а) если > 4, т. е. b < – 4 и b > 4 (b ? ( – ; 4)U(4; + ), то D >0 и уравнение имеет 2 корня x1,2 = б) если = 4, т. е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x = в) если < 4, т. е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Ответ: если b < – 4 и b > 4, то 2 корня x1,2 = если b = ± 4, то 1 корень x = если – 4 < b < 4, то корней нет.

x (a² – 1) = (a + 1)(1 – x)

Путем преобразований получим уравнение: а² x – x = а – аx + 1 – x а²x – x + аx + x = а + 1 а(а + 1) x = а + 1 x = а) если а ≠ 0; а ≠1 уравнение имеет единственный корень x = б) если а = – 1, то уравнение имеет множество корней, x – любое число в) если а = 0, то уравнение корней не имеет.

Ответ: при а ≠ 0; а = 1 x = при а = – 1 x – любое число при а = 0 корней нет.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)